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1、1第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则一、隐函数的求导法则 这种对应关系可以有多种表示方式这种对应关系可以有多种表示方式.1、隐函数的定义、隐函数的定义常见的表示方式为常见的表示方式为上述函数称为上述函数称为显式函数显式函数.体现体现.可以确定函数可以确定函数 2定义定义隐函数隐函数.因为因为注：注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的并不是所有的方程都可以确定隐函数的.一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.例如例如3部分隐函数可以部分隐函数可以显化显化，即从方程中解出，即从方程中解出
2、 y(x)的表达式的表达式.但许多隐函数不易或者不能显化但许多隐函数不易或者不能显化.例如：例如：问题问题:如何求如何求隐函数的导数？隐函数的导数？（这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且（这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且可导所需的条件，下学期学习可导所需的条件，下学期学习.）情形情形1:隐函数可以显化隐函数可以显化,显化后求导即可显化后求导即可.情形情形2:隐函数无法显化隐函数无法显化,应用应用隐函数求导法则隐函数求导法则求导求导.4例例1 1解解上述方程两边关于上述方程两边关于x求导，得求导，得5例例1 1解解 上述过程亦可如下表述：上述过程亦可如下表述：方程两边关于方程两边
3、关于x求导，求导，注意注意y是是x的函数的函数6隐函数求导法则隐函数求导法则思想思想:从中解出从中解出 即可即可.应用复合函数求导法则直接对方程关于应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导进行求导，例例2 2解解方程两边关于方程两边关于x求导（求导（注意注意y是是x的函数的函数)，得，得解得解得 7例例3 3解解所以所求切线方程为：所以所求切线方程为：方程两边关于方程两边关于x求导求导，得，得8例例4 4解解 由例由例2 2得，得，9例例4 4另解另解 原方程两边关于原方程两边关于x求导，得求导，得上式两边继续关于上式两边继续关于x求导，得求导，得10二、对数求导法二、对数求导法方法方法：
4、先对函数两边先对函数两边取对数取对数,利用对数性质利用对数性质化简化简,然后然后应用隐函数求导的方法求得导数应用隐函数求导的方法求得导数.回顾对数性质：回顾对数性质：对数恒等式对数恒等式11例例5 5解解 等式两边取对数等式两边取对数,化简化简12所以所以说明：说明：13例例5 5解解 等式两边取对数等式两边取对数,化简化简得得14例例6 6解解等式两边取对数等式两边取对数,化简化简15例例5 5解解等式两边取对数等式两边取对数,化简化简注意注意：需把：需把 y 换回成原来表达式换回成原来表达式.勿丢勿丢16例例6 6本题常见问题：本题常见问题：1 1、为取对数而取对数、为取对数而取对数,没有
5、任何化简没有任何化简.比原式更繁比原式更繁.2 2、虽然进行了化简、虽然进行了化简,但没有化简到最简单但没有化简到最简单,就急着求导就急着求导.17例例7 7解解等式两边取对数得等式两边取对数得另解另解对数恒等式对数恒等式18例例8 8解解等式两边取对数得等式两边取对数得19作业作业20知识回顾知识回顾1、隐函数求导法则、隐函数求导法则从中解出从中解出 即可即可.求导法则直接对方程关于求导法则直接对方程关于x进行求导进行求导,得包含得包含 的方程，的方程，2、对数求导法、对数求导法方法方法：先对函数两边先对函数两边取对数取对数,利用对数性质利用对数性质化简化简,然后然后应用隐函数求导的方法求得
6、导数应用隐函数求导的方法求得导数.适用题型适用题型：由多个初等函数通过乘、除、乘方、开方运由多个初等函数通过乘、除、乘方、开方运算所构成的复杂函数和幂指函数算所构成的复杂函数和幂指函数.21例例9 9解解等式两边取对数得等式两边取对数得22三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则可得由复合函数及反函数的求导法则可得即即则称此函数为由参数方程确定的则称此函数为由参数方程确定的参数式函数参数式函数.23即即勿丢勿丢注：注：书上那个很复杂的公式不用去记忆书上那个很复杂的公式不用去记忆.24例例1010解解则是错解，因为这样是对参数则是错解，因为这样是对参数 t 求导而非对自变量求导而非对自变量 x 求导求导.25例例1111解解26例例1212解解 所求切线方程为所求切线方程为