二维随机变量(ξ ,η).ppt

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1、 第三章多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布3.1 3.1 多维随机变量及其联合概率分布多维随机变量及其联合概率分布第三章作业题P1581,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,3031,34,39,40 有些随机现象用一个随机变量来描述不够，有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如例如1 1、在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一对命中点的位置是由一对r.vr.v(两个坐两个坐标标)来确定的来确定的.2 2、飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(r.v(三个三个坐标）来确定的等等坐标）来确定的等等.3 3、研究某年龄段儿童的

2、身体发育情况，同时研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标考虑身高、体重、肺活量、血压等指标4 4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。大湿度、最大风力等指标。设随机试验设随机试验E E的样本空间是的样本空间是.=(.=()和和=(=()都是定义在都是定义在上的随机变量上的随机变量,由它们由它们构成的变量构成的变量(,),称为称为二维随机变量二维随机变量.二维随机变量二维随机变量(,)的性质不仅与的性质不仅与 及及的性质有关的性质有关,而且还依赖于而且还依赖于 和和的相互关的相互关系系,因此必须把

3、因此必须把(,)作为一个整体加以研究作为一个整体加以研究.一、多维随机变量的概念n n定义：设（定义：设（,）是二维随机变量，对于）是二维随机变量，对于任意实数任意实数,二元函数：二元函数：称为二维随机变量（称为二维随机变量（,）的）的联合分布函联合分布函数。数。二、二维随机变量的联合分布函数二维随机变量（二维随机变量（,）和和的联合分布函数的联合分布函数 的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 如果把如果把(,)(,)看成看成平面上随机点的坐标平面上随机点的坐标.取定取定x,yx,y R R1 1，F(x,y)F(x,y)就是点就是点(,)(,)落在平面上的以落在平面上的以(x,y)(

4、x,y)为顶点而位于为顶点而位于该点左该点左下方下方的无限矩形区域的无限矩形区域内的概率内的概率.见右图见右图.由上面的几何解释由上面的几何解释,易见易见:随机点随机点(,)(,)落在矩形区域落在矩形区域:x 1 x 2,y1y2 内的概率内的概率 Px 1 x 2,y1y2=F(x 2,y2)-F(x 2,y1)-F(x 1,y2)+F(x 1,y1)J 说明说明二维分布函数二维分布函数F(x,y)的四条基本性质的四条基本性质1.1.F(x,y)是单变量是单变量x,y的非减函数的非减函数.即即 y R1取定取定,当当x 1x 2时时,F(x 1,y)F(x 2,y).同样同样,x R1取定取

5、定,当当y1 y2时时,F(x,y1)F(x,y2).2.2.x,y R1 有有 0F(x,y)1 y y R R1 1,F(-,y)=0,F(-,y)=0，x x R R1 1,F(x,-)=0,F(x,-)=0，F(-,-)=0F(-,-)=0，F(,)=1F(,)=1其中其中:n n3、F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)即即F(x,y)关于关于x 右连续，关于右连续，关于y也右连续。也右连续。n n4、Px 1 x 2,y1)P()例例 设有设有1010件产品件产品,其中其中7 7件正品件正品,3,3件次品件次品.现从中任取两次现从中任取两次,每次取一件产品每

6、次取一件产品,取后不放回取后不放回.令令:=1 =1：若第一次取到的产品是次品若第一次取到的产品是次品.=0 =0：若第一次取到的产品是正品若第一次取到的产品是正品.=1 =1：若第二次取到的产品是次品若第二次取到的产品是次品.=0 =0：若第二次取到的产品是正品若第二次取到的产品是正品.求求:二维随机变量二维随机变量(,)(,)的联合分布列的联合分布列.例、设 E(),令令求(1,2)的联合分布列一、二维联合概率密度函数一、二维联合概率密度函数 设二维随机变量设二维随机变量(,)(,)的联合分布函数的联合分布函数为为F(x,y).F(x,y).如果存在一个非负函数如果存在一个非负函数p(x,

7、y),p(x,y),使得使得对任意实数对任意实数x,y,x,y,总有总有则称则称(,)(,)为为连续型随机变量连续型随机变量,p(x,y),p(x,y)为二维为二维随机变量的随机变量的联合概率密度联合概率密度.3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数二维连续型随机变量及其联合概率密度函数（,）对二维连续型对二维连续型r.v(,)，其联合概，其联合概率密度与联合分布函数的关系如下：率密度与联合分布函数的关系如下：在在 p(x,y)的连续的连续点点例：设二维随机变量例：设二维随机变量(,)具有概率密度：具有概率密度：（1）求概率）求概率P(1);(2)求概率求概率P();二、二、两种常用的多维

8、连续型概率分布两种常用的多维连续型概率分布定义定义 设设D D是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为d,d,若二维随机变量若二维随机变量(,)(,)的联合密度函数为的联合密度函数为:则则(,)(,)称称 服从服从D D上的均匀分布上的均匀分布.1、二维均匀分布解解:例例 设设(,)(,)服从圆服从圆域域 x x2 2+y+y2 244上的均匀分上的均匀分布布.计算计算P(,)P(,)A,A,这里这里A A是图中阴影部是图中阴影部分的区域分的区域 圆域圆域x x2 2+y+y2 244的面积的面积d=4d=4 区域区域A A是是x=0,y=0 x=0,y=0和和x+y=1x+y=

9、1三条直线所围成的三条直线所围成的三角区域三角区域,并且包含在圆域并且包含在圆域x x2 2+y+y2 244之内之内,面积面积=0.5=0.5 P(,)P(,)A=0.5/4A=0.5/4=1/8=1/8 若二维随机变量（若二维随机变量（,）具有概率密度）具有概率密度记作（记作（,）N()则称（则称（,）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且2 2、二维正态分布二维正态分布1、n维随机变量或维随机变量或n为随机变量：为随机变量：E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e,设设是定义在是定义在上的随机变量，由它们构成一个上的

10、随机变量，由它们构成一个n维维变量，叫做变量，叫做n维随机变量或维随机变量或n为随机变量为随机变量2、随机变量的分布函数或联合分布函数：、随机变量的分布函数或联合分布函数：3.4 边际分布与边际分布与随机变量的独立性随机变量的独立性一、一、边际分布边际分布 二维随机变量二维随机变量(,)(,)作为一个整体作为一个整体,具有具有分布函数分布函数F(x,y).F(x,y).其分量其分量和和也也都是随机变量都是随机变量,也有自己的也有自己的分布函数分布函数,将其分别记为将其分别记为F F (x),F(x),F(y).(y).依次称为依次称为 和和的的 边际分布函数边际分布函数.而把而把F(x,y)F

11、(x,y)称为称为 和和的的 联合分布函数联合分布函数.1、随机变量的边际分布函数F(x)=Px=Px,=F(x,)F(y)=Py=P 0).一般，对离散型一般，对离散型 r.v(,)，则则(,)关于关于 的边际分布列的边际分布列为为(,)关于关于 的边际分布列的边际分布列为为 和和 的的联合分布列联合分布列为为2 2、二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的边际分布列边际分布列例例 1 1 求表中求表中(,)(,)的分量的分量 和和的边际分的边际分布布.把这些数据补充到前面表上把这些数据补充到前面表上:3、二维连续随机变量的边际密度函数、二维连续随机变量的边际密度函数 和和的联合概率密度为的

12、联合概率密度为则则(,)关于关于 的边际密度函数为的边际密度函数为(,)关于关于的边际密度函数为的边际密度函数为例 设随机变量 和具有联合概率密度求边际概率密度课堂练习课堂练习 设二维随机变量(,)的密度函数为求：1、边缘密度函数 2、计算概率P+1.例、设(,)的联合密度函数为求（1）边际密度函数（2）例例 若若(,)(,)服从矩形区域服从矩形区域axb.cydaxb.cyd上均匀分布上均匀分布,两个边际概率密度分别为两个边际概率密度分别为:注注 上题中上题中和和都是服从均匀分布的随机都是服从均匀分布的随机变量变量.但对于其它但对于其它(不是矩形不是矩形)区域上的均匀分布区域上的均匀分布,不

13、一定有上述结论不一定有上述结论.例例 设设(,)(,)服从单位圆域服从单位圆域x x2 2+y+y2 211上的均匀分布上的均匀分布,求求:和和的边际概率密度的边际概率密度.解解:当当x-1x1x1时时当当-1x1-1x1时时（注意积分限的确定方法）（注意积分限的确定方法）由和在问题中地位的对称性,将上式中的改为,就得到的边际概率密度:（,）N()N(0,1),N(0,1)J 说明说明对于确定的对于确定的 1 1,2 2,1 1,2 2,当当 不同时，对应不同时，对应了不同的二维正态分布。了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是对这个现象的解释是:边际概率密度只考虑了边际概率密度只考虑了单个分

14、量的情况单个分量的情况,而未涉及而未涉及与与之间的关系之间的关系.(1 1,2 2)N(N(1 1,2 2,)1 1 2 2 (与参数与参数 无关无关)与与之间的关系这个信息是包含在之间的关系这个信息是包含在(,)(,)的联合概率密度函数之内的的联合概率密度函数之内的.因此因此,联合边际二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性定义：定义：若对于若对于 ,都有都有即即则则称称 与与 是是相互独立相互独立的。的。离散型（定理离散型（定理1）：）：连续型（定理连续型（定理2）：）：例例:袋中有袋中有2个白球，个白球，3个黑球，从袋中个黑球，从袋中（1）有放回地；（）有放回地；（2）无放回地）无放回地

15、 取二取二次球，每次取一个，令次球，每次取一个，令 v v试问试问 与与是否相互独立？是否相互独立？01P=j09/256/253/516/254/252/5P=i3/52/51解解:(1)有放回地取球有放回地取球 容易验证，对一切容易验证，对一切 i,j=0,1，有有P=i,=j=P=iP=j故故 、相互独立。相互独立。(2)无放回地取球无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51 P=0,=0P=0P=0故故 、不相互独立。不相互独立。例例 设设(,)具有概率密度具有概率密度解解:p(x)=p(x,y)=p(x)p(y),因而因而,是是相互独

16、立相互独立的。的。p(y)=问问,是否相互独立是否相互独立?解：解：二二维维正正态态随机随机变变量（量（,）概率密度）概率密度为为 其其边缘边缘密度分密度分别为别为“充分性充分性”:当当 故故与与相互独立。相互独立。“必要性必要性”:如果如果，独立，于是应有独立，于是应有即即为为解得解得 n 维 r.v.1.1.联合分布函数联合分布函数若连续若连续2.2.边际分布边际分布相互独立相互独立例 设(,)的概率密度是求求(1)c的值的值,（2）判断）判断和和是否相互独立是否相互独立课堂练习c=24/5 3.5 多维随机变量函数的概率分布 在第二章中，我们讨论了一在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数

17、的分布，现在我维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量 1,2,n的联合分布的联合分布已知时，如何求出它们的函数已知时，如何求出它们的函数 i=gi(1,2,n),i=1,2,m的联合分布的联合分布?例、设(,)的联合分布列为-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求，1=,2=min(,)的分布列一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布例例 若若、独立，独立，P

18、(=k)=ak,k=0,1,2,P(=k)=bk,k=0,1,2,求求=+的的分布列分布列.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立由独立性性此即离散型此即离散型卷积公式卷积公式r=0,1,2,解：依题意解：依题意 例例 若若 和和相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明=+服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式由卷积公式即即服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1，1)1)确定确定=g(=g(,)的值域；的值域；2)2)分段计算分段计算 的分布函数的分布函数n

19、 n连续型：分布函数法3)3)二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布变量变换法（详见下一节）1、M=max(,)及及N=min(,)的分布的分布 设设，是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为F(x)和和F(y),我们来我们来求求M=max(,)及及N=min(,)的分布函数的分布函数.三、次序统计量及其概率分布三、次序统计量及其概率分布又由于又由于 和和 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(,)的分布函数为的分布函数为:即有即有 FM(z)=F(z)F(z)FM(z)=P(Mz)=P(z)P(z)=P(z

20、,z)由于由于M=max(,)不大于不大于z等价于等价于 和和都都不大于不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(z,z)类似地，可得类似地，可得N=min(,)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-F(z)1-F(z)=1-P(z,z)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(z)P(z)设设 1,n是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(1,n)和和N=min(1,n)的分布函数的分布函数.(i=1，,n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的

21、方法，可得 N=min(1,n)的分布函数是的分布函数是 M=max(1,n)的分布函数为的分布函数为:特别，当特别，当 1,n相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)以及密度函数以及密度函数p(x)，有，有(P143,定理定理5)FM(z)=F(z)n;pM(z)=n F(z)n-1p(z);FN(z)=1-1-F(z)npN(z)=n 1-F(z)n-1p(z);需要指出的是，当需要指出的是，当 1,n相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(1,n)，N=min(1,n)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一

22、些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.如图所示如图所示.设系统设系统L L由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系统统L L1 1,L,L2 2联接而成联接而成,联接联接的方式分别为的方式分别为:(1)(1)串联串联.(2)(2)并联并联.例例 解解:设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为 ，.其概率密其概率密度函数分别为度函数分别为:其中其中 0,0,0,0,且且 .分别对以上两种联接方式写出分别对以上两种联接方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概的概率密度函数率密度函数.先求先

23、求,的分布函数的分布函数:(1)(1)串联串联.Z=min,.Z=min,F FZ Z(z)=1-1-F(z)=1-1-F (z)1-F(z)1-F(z)(z)(2)并联.Z=Max ,FZ(z)=F(z)F(z)3.6 多维连续型随机变量变换的概率分布一、变量变换的雅可比方法要求有3个1、有唯一反函数2、有连续偏导数3、雅克比行列式则例、设 和独立同分布，都服从N(,2)求(U,V)的联合密度函数p(u,v)增补变量法可增补一个变量2=g2(X,Y)，若要求 1=g1(X,Y)的密度 p1(y1)，先用变量变换法求出(1,2)的联合密度p(y1,y2)，然后再由联合密度p(y1,y2)，去求

24、出边际密度p1(y1)用此方法可以求出卷积公式、差的公式、积的公式、商的公式 设设 和和的联合密度为的联合密度为 p(x,y),求求Z=+的密的密度度.解解:Z=+的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(+z)这里积分区域这里积分区域D=(,):+z是直线是直线+=z 左下方的半平面左下方的半平面.例如、两个随机变量和的分布 （方法一）化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=+的概率密度为的概率

25、密度为:由由 和和的对称性的对称性,pZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.特别，当特别，当 和和独立，设独立，设(,)关于关于,的边际的边际密度分别为密度分别为px(),py(),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式.记为：记为：两个随机变量和的分布 （方法二）变量变换方法：例，设例，设,是两个相互独立的随机变量，它们都是两个相互独立的随机变量，它们都服从服从N(0,1)分布，其概率密度为：分布，其概率密度为：求求=+的概率密度。的概率密度。解：由卷积公式：解：由卷积公式：

26、用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若 相互相互独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?若若 和和 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则=+服从正态分布服从正态分布N(0,2).为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例 若若 和和 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=+的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式也即也即为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是差的公式积的公式商的公式例、设与独立同分布于U（0，a），求=/的概率密度函数二、n个独立的标准正态变量在正交变换下的不变性 （略）例、设与独立同分布，其共同的密度函数为判断=+与=是否相互独立