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1、第三章第三章 一元一次方程一元一次方程复习小结复习小结本章你学到了什么？实际问题设未知数列方程一元一次方程解解方方程程数学问题的解x=a检验实际问题的答案去分母去括号移项合并化系数为1一一般般步步骤骤总结各步骤的依据是什么？需要 注意什么？1)如果 ，那么()2)如果 ，那么()3)如果 ，那么()4)如果 ，那么()5)如果 ，那么()6)如果 ，那么()练一练：判断对错，对的请说出根据等式的哪 一条性质，错的请说出为什么。要把等式化成必须满足什么条件？解：根据等式性质2，在两边同除以便得到所以即第第3章章|复习复习1方程的概念方程的概念方程：含有未知数的等式叫做方程方程：含有未知数的等式叫
2、做方程一一元元一一次次方方程程的的概概念念：只只含含有有_个个未未知知数数，未未知知数数的的次次数都是数都是_，这样的整式方程叫做一元一次方程，这样的整式方程叫做一元一次方程方方程程的的解解：使使方方程程左左右右两两边边的的值值相相等等的的未未知知数数的的值值叫叫做做方方程的解，程的解，解方程：求方程解的过程叫做解方程解方程：求方程解的过程叫做解方程一一1判断下列各式哪些是方程，哪些不是？为什么？否是否是是是1、3-2=12、5x-1=93、y=04、x2+2x+15、3x-y=06、x2=5x-6 1.判断下列方程是否为一元一次方程？为什么？（1）（5）（3）（4）（2）（6）否否否否是是
3、大家判断一下，下列方程的变形是否正确？为什么？（1）（2）（3）（4）（）（）（）（）详解：学习了一元一次方程知识后，可以解决很多问题。有些问题表面上看似乎与一元一次方程无关，其实均需要构造一元一次方程求解.就本小专题而言，主要从两方面入手，介绍“构造一元一次方程解题”（1）利用一元一次方程的定义构造.（2）利用一元一次方程的解的定义构造.解：根据一元一次方程的定义，得3a-5=1。解得a=2答：当a=2时，已知的等式是关于x的一元一次方程.（1）利用一元一次方程的定义构造。评析：一元一次方程的定义要求只含有一个未知数，评析：一元一次方程的定义要求只含有一个未知数，并且未知数的次数为并且未知数
4、的次数为1 1，故有，故有3a-5=13a-5=1，从而求得，从而求得a a值值.（2）利用一元一次方程解的定义构造。评析：利用方程解的定义知评析：利用方程解的定义知x=2x=2满足所给的方程，代满足所给的方程，代入方程后得到一个关于入方程后得到一个关于a a的方程，解这个方程求得的方程，解这个方程求得a a的值，从而求出的值，从而求出2a-12a-1的值的值.解：根据方程的解的定义，得 22-2a=0。解得a=3所以，当a=2时，2a-1=23-1=51.当当k为何值时为何值时,关于关于x的方程的方程 的解为的解为1?分析:解为1是什么意思?即x=1解:把x=1代入方程得:去分母得:移项得:
5、变式训练1 12.若若 是一元一次方程，是一元一次方程，则则。3.若方程若方程 是一元一次是一元一次方程，则方程，则 应满足应满足。4.若若 是方程是方程的解，则代数式的解，则代数式。21a3讲要：要熟练求方程的解，必须掌握如去分母、去括号等步骤，这是解方程的基础，同时还要注意以下几点：（1）移项要变号；（2）去括号时，括号前是“-”，去括号后要将括号内的各项改变符号；（3）去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数；去分母时不要忘记对分子加括号；（4）避免将利用分数的基本性质与等式的基本性质相混淆.解一元一次方程的一般步骤是什么？（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数
6、化为1不能漏乘不含分母的项。不能漏乘不含分母的项。分子是多项式时应添括号。分子是多项式时应添括号。不要漏乘括号内的任何项。不要漏乘括号内的任何项。如果括号前面是如果括号前面是“”号，号，去括号后括号内各项变号去括号后括号内各项变号。从方程的一边移到另一边从方程的一边移到另一边 注意变号。注意变号。把方程一定化为把方程一定化为ax=b(a0)的形式的形式系数相加，字母及其指数不变。系数相加，字母及其指数不变。方程两边除以未知数的系数。方程两边除以未知数的系数。系数只能做分母，注意不要颠倒。系数只能做分母，注意不要颠倒。解下列方程解下列方程1.1.解：解：合并同类项，得：合并同类项，得：移项，得：
7、移项，得：方程两边同除以方程两边同除以-1，得：，得：2.2.解：解：去括号，得：去括号，得：移项，得：移项，得：合并同类项，得：合并同类项，得：方程两边同方程两边同除以除以-1，得：，得：解、解、去分母，得：去分母，得：去括号，得：去括号，得：移项，得：移项，得：合并同类项，得：合并同类项，得：方程两边同方程两边同除以除以-1，得：，得：3.去分母，得：去分母，得：去括号，得：去括号，得：移项，得：移项，得：合并同类项，得：合并同类项，得：方程两边同除以方程两边同除以13，得：，得：解：解：原方程可化为：原方程可化为：4.4.解：去括号，得 15x-15+6=20 x+10合并同类项，得-5
8、x=19评析：（评析：（评析：（评析：（1 1 1 1）第一步利用分数的基本性质把分子、分母同）第一步利用分数的基本性质把分子、分母同）第一步利用分数的基本性质把分子、分母同）第一步利用分数的基本性质把分子、分母同时扩大时扩大时扩大时扩大5 5 5 5倍，注意不要把倍，注意不要把倍，注意不要把倍，注意不要把“1 1 1 1”扩大扩大扩大扩大5 5 5 5倍；（倍；（倍；（倍；（2 2 2 2）去分母时，）去分母时，）去分母时，）去分母时，“1 1 1 1”不要漏乘分母的最小公倍数不要漏乘分母的最小公倍数不要漏乘分母的最小公倍数不要漏乘分母的最小公倍数6 6 6 6；（；（；（；（3 3 3 3
9、）去分母时，要）去分母时，要）去分母时，要）去分母时，要把把把把(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)和和和和(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)看作一个整体参与运算，避免出现运算看作一个整体参与运算，避免出现运算看作一个整体参与运算，避免出现运算看作一个整体参与运算，避免出现运算错误错误错误错误.5 解方程原方程可化为去分母，得 15(x-1)+6=10(2x+1)移 项，得 15x-20 x=15-6+10系数化1，得 x=-解:4x-2-15x-3=64x-15x=6+2+3-11x=11x=1解:4x+5=2或4x+5=-2当4x+5=2时当4x+5=-2时61.若关于
10、的方程 是一元一次方程，求这个方程的解.解：根据题意可知，即又当m=2时，原方程为解得，列方程解实际问题，若未知数设得巧妙，则求解简捷.常用的设未知数的方法有两种，（1）直接设未知数：题目问什么就设什么；（2）间接设未知数：选取一个与问题有关的量设为未知数，再通过这个未知数求出题中要求的量.第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）列方程列方程(组组)的应用题的一般步骤的应用题的一般步骤审审：审审清清题题意，分清意，分清题题中的已知量、未知量中的已知量、未知量设设：设设未知数，未知数，设设其中某个未知量其中某个未知量为为x.列：根据列：根据题题意意寻寻找等量关系列方程找等量关系列方程解：解方程解：
11、解方程验验：检验检验方程的解是否符合方程的解是否符合题题意意答：写出答案答：写出答案(包括包括单单位位)注意注意 审题审题是基是基础础，列方程是关，列方程是关键键5常见的几种方程类型及等量关系常见的几种方程类型及等量关系1、元旦某公园的成人的门票每张、元旦某公园的成人的门票每张8元，儿童元，儿童门票半价（即每张门票半价（即每张4元），全天共售出门票元），全天共售出门票3000张，收入张，收入15600元。问这天售出儿童门元。问这天售出儿童门票多少张？票多少张？解：解：设售出儿童门票设售出儿童门票x张张根据根据题意题意，得：，得：解方程，得：解方程，得：x=2100答：共售出儿童票答：共售出儿童
12、票2100张张一桶油连桶重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，桶内原来有油多少千克？解：设桶内原来有油x千克根据题意，得解得 x=7答：桶内原来有油7千克.评析：直接设未知数法，即题目里问什么就设什么.这样设后，只要求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问.在大多数情况下的应用题都可以直接设未知数.2、日历中、日历中22方块的四个数的和是方块的四个数的和是72，求，求 这四个数。这四个数。解：设四个数中最小的数为解：设四个数中最小的数为x,根据题意，得方程根据题意，得方程：解方程，得：解方程，得：x=14答：这四个数分别为答：这四个数分别为14，15，21，22。3 在一条笔直的
13、公路上在一条笔直的公路上,小聪和小明骑自小聪和小明骑自行车同时从相距行车同时从相距500米的米的A.B两地出发两地出发,小聪小聪每分钟行每分钟行200米米,小明每分行小明每分行250米米,问多少时问多少时间后间后,两人相距两人相距2000米米?、运动场的跑道一圈长400 m.甲练习骑自行车，平均每分骑350 m；乙练习跑步，平均每分跑250 m两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？5 5 一队学生去校外进行军车野营训练，一队学生去校外进行军车野营训练，他们以他们以5 5千米时的速度前进，走了千米时的速度前进，走了1818分钟的时候，学校要将一个紧急分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给
14、队长，通讯员从学校出发，通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以骑自行车以1414千米时的速度按原千米时的速度按原路追上去，通讯员用多少时间可以路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？追上学生队伍？第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）6一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为度为7 km/h，水流速度为，水流速度为2 km/h，往返一次共用，往返一次共用28 h，求甲、乙，求甲、乙两码头之间的距离两码头之间的距离解解析析 相相等等关关系系：顺顺水水航航行行时时间间逆逆水水航航行行时时间间往往返返一一次次共用时间共用时间第第3章
15、章|复习复习数学新课标（RJ）第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）七工程问题七工程问题 例例7一项工作，甲单独做一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做天完成，乙单独做12天完成，丙天完成，丙单独做单独做24天完成现甲、乙合作天完成现甲、乙合作3天后，甲因有事离去，由乙、天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解析解析 此题中的等量关系：全部工作量甲、乙合作此题中的等量关系：全部工作量甲、乙合作3天的天的工作量乙、丙合作的工作量工作量乙、丙合作的工作量第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考月考
16、)数学新课标（RJ）8两位数问题两位数问题一一个个十十位位数数字字是是6的的两两位位数数，若若把把个个位位数数字字与与十十位位数数字字对对调调，所得数与原数之比为所得数与原数之比为4 7，求原来的两位数，求原来的两位数解解：设设原原来来两两位位数数的的个个位位数数为为x，则则原原来来两两位位数数为为60 x，新新两位数为两位数为10 x6，依题意，得依题意，得(10 x6)(60 x)4 7，即即7(10 x6)4(60 x)，解得解得x3，当当x3时，时，60 x63.答：原来的两位数为答：原来的两位数为63.2.一个三位数，三个数位上数字的和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的
17、数字是十位上的数字的3倍.求这个三位数.解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为(x+7)个位上的数字为3x.根据题意，得 x+7+x+3x=17解得 x=2.则百位上的数字为x+7=9，个位上的数字为3x=6，故所求的三位数为926.答：这个三位数为926.评析：若直接设这个三位数为评析：若直接设这个三位数为x x，则很难找到相等关系，因此采用，则很难找到相等关系，因此采用间接设未知数法间接设未知数法.有些问题直接设未知数，不易列出方程，这时可有些问题直接设未知数，不易列出方程，这时可以用间接设未知数的办法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解以用间接设未知数的办法，即通过间接的桥梁作用，来达到
18、求解的目的，按比例分配和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均的目的，按比例分配和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可采用间接设未知数法可采用间接设未知数法.第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）9配套和调配配套和调配 某车间有工人某车间有工人100名，平均每天每个工人可加工螺栓名，平均每天每个工人可加工螺栓18个个或螺母或螺母24个，要使每天的螺栓和螺母配套个，要使每天的螺栓和螺母配套(1个螺栓配个螺栓配2个螺母个螺母)，应如何分配加工螺栓和螺母的工人？应如何分配加工螺栓和螺母的工人？解析解析 本题中的等量关系：加工螺栓的人数加工螺母的人本题中的等量关系：加工螺栓的人数加工螺母的人数数100
19、，加工的螺母的总个数，加工的螺母的总个数2加工的螺栓的总个数加工的螺栓的总个数小哲的妈妈所在的服装厂加工车间有工人小哲的妈妈所在的服装厂加工车间有工人54人，每人每天可加工上衣人，每人每天可加工上衣8件或裤子件或裤子10条，条，应怎样合理分配人数，才能使每天生产的上应怎样合理分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？衣和裤子配套？某部队开展支农活动，甲队某部队开展支农活动，甲队27人，乙队人，乙队19人，现另调人，现另调26人去支援，使甲队是乙队的人去支援，使甲队是乙队的2倍，倍，问应调往甲队、乙队各多少人？问应调往甲队、乙队各多少人？解：解：设调往甲队设调往甲队x人，则调往乙队（人，则调往乙
20、队（26-x)人人根据题意，得方程：根据题意，得方程：解方程得：解方程得：x=21答：调往甲队答：调往甲队21人。调往乙队人。调往乙队5人。人。小哲轻松破解难题，他接下礼物，原来爸爸在浙北大厦为他买小哲轻松破解难题，他接下礼物，原来爸爸在浙北大厦为他买了他盼望已久的高级五彩橡皮泥。小哲灵机一动说：了他盼望已久的高级五彩橡皮泥。小哲灵机一动说：“爸爸，爸爸，我也有一个小问题，如果你能答对，我也送你一件礼物。若用我也有一个小问题，如果你能答对，我也送你一件礼物。若用一块橡皮泥先做成一个圆柱体，其半径为一块橡皮泥先做成一个圆柱体，其半径为1 1cm,cm,高为高为9 9 cmcm，再把，再把它改成立
21、方体，你知道立方体的表面积吗？（圆柱体体积它改成立方体，你知道立方体的表面积吗？（圆柱体体积=底底面积面积高，高，取取3 3 ）10等积变形 分析分析:等量关系等量关系:圆柱体的体积圆柱体的体积=立方体的体积立方体的体积9cm9cm1cm第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）11销售问题销售问题 某商店将某种服装按进价提高某商店将某种服装按进价提高30%作为标价，又以九折优惠作为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利卖出，结果仍可获利17元，则这种服装每件进价是多少元？元，则这种服装每件进价是多少元？解析解析 此题的等量关系为：利润售价进价，如果设进价此题的等量关系为：利润售价进价，如果设进价为
22、为x元，则标价为元，则标价为(130%)x，打九折后，即售价为，打九折后，即售价为(130%)0.9，减去进价，减去进价x，即为利润，即为利润17元元张欣和李明相约到图书城去买书请你根据他们的对话内容（如图），求出李明上次所买书籍的原价听说花听说花2020元办一张会员卡，元办一张会员卡，买书可享受八折优惠买书可享受八折优惠是的我上次买了几本书，是的我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了加上办卡的费用，还省了1212元元第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）12储蓄问题储蓄问题例例52011年年12月银行一年定期储蓄的年利率为月银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，小，小明的奶奶当时按一年定期
23、存入一笔钱，且一年到期后取出本金及明的奶奶当时按一年定期存入一笔钱，且一年到期后取出本金及利息共利息共1022.5元，则小明的奶奶存入银行的钱为多少元？元，则小明的奶奶存入银行的钱为多少元？解解：设设小小明明的的奶奶奶奶存存入入银银行行的的钱钱为为x元元，依依题题意意得得x2.25%x1022.5，解得，解得x1000.故小明的奶奶存入银行的钱为故小明的奶奶存入银行的钱为1000元元数学新课标（RJ）方案设计问题方案设计问题 例例9某工厂生某工厂生产产某种某种产产品，每件品，每件产产品的出厂价品的出厂价为为50元，其元，其成本价成本价为为25元，因元，因为为在生在生产过产过程中，平均每生程中，
24、平均每生产产一件一件产产品有品有0.5立立方米方米污污水排出，水排出，为为了了净净化化环环境，工厂境，工厂设计设计了两种了两种处处理理污污水的方案水的方案方方案案一一：工工厂厂污污水水先先净净化化处处理理后后再再排排放放，每每处处理理1立立方方米米污污水所用的原料水所用的原料费为费为2元，并且每月排元，并且每月排污设备损污设备损耗耗为为30000元元方方案案二二：工工厂厂将将污污水水排排到到污污水水处处理理厂厂统统一一处处理理，每每处处理理1立立方米方米污污水需付水需付14元的排元的排污费污费第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）问问：如如果果你你是是厂厂长长，在在不不污污染染环环境境又又节节
25、约约资资金金的的前前提提下下，你你会会选选用哪种用哪种处处理理污污水的方案？水的方案？请请通通过计过计算加以算加以说说明明解析解析 设当工厂生产产品为设当工厂生产产品为x件时，件时，方案一所需费用为方案一所需费用为(0.5x230000)元，元，方案二所需费用为方案二所需费用为(0.5x14)元元先先求求出出当当两两种种方方案案所所需需费费用用相相等等时时x的的值值，进进而而求求出出最最适适合合的方案的方案练习：育才中学需要添置某种教学育才中学需要添置某种教学仪器器,方案方案1:到商家到商家购买,每件需要每件需要8元元;方案方案2:学校自学校自己制作己制作,每件每件4元元,另外需要制作工具的租
26、另外需要制作工具的租用用费120元元,设需要需要仪器器x件件.(1)试用含用含x的代数式表示出两种方案所的代数式表示出两种方案所需的需的费用用;(2)当所需当所需仪器器为多少件多少件时,两两种方案所需种方案所需费用一用一样多多?（3）当所需）当所需仪器器为多少件多少件时,选择哪种方案所需哪种方案所需费用用较少少?说明理由明理由.练习：小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元，另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时内）节能灯售价高，但较省电，白炽灯售价低，但用电多，电费0.5元/千瓦时 （1）
27、照明时间500小时选哪一种灯省钱？（2）照明时间1500小时选哪一种灯省钱？（3）照明多少时间用两种灯费用相等？第第3章章|复习复习数学新课标（RJ）张欣和李明相约到图书城，根据张欣和李明相约到图书城，根据问题情境，你能算出汤姆有多少问题情境，你能算出汤姆有多少本书吗？本书吗？李明李明：“我买我买的书比汤姆的的书比汤姆的书的书的3 3倍少倍少5 5本本”。张欣张欣：“你买的你买的书还是汤姆的书书还是汤姆的书的的2 2倍多倍多1 1本呢本呢”。13、已知方程已知方程a(a2)2)x=4(=4(a2)2)，当此方程有唯一的解时，当此方程有唯一的解时，a的取值范围是的取值范围是_._.当此方程无解时，当此方程无解时，a的取值范围是的取值范围是_._.当此方程有无数多解时，当此方程有无数多解时，a的取值范围是的取值范围是_._.用如图用如图1 1的长方形和正方形纸板作侧面的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图和底面，做成如图2 2竖式和横式的两种无盖竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有纸盒，现在仓库里有10001000张正方形纸板和张正方形纸板和20002000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？只，恰好使库存的纸板用完？图图 1 1图图 2 2等量等量关系是什么？关系是什么？