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1、二轮难题复习集合与常用逻辑用语压轴解答题1 .集合集合的运算性质交换律：AUB=BUA； AnB=BHA；结合律：(AUB)UC=AU(BUC)； (A A B) n C=A n (BA C)；分配律：(AG8)UC=(AUC)n(3UC)； (A U B) A C= (A n C) U (B A Q ；MAUB) = (uA)n()； MAGB) = (uA)U(4)；AUB=ABQA； AHB=BBQA.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为 2,2一 1,2一 1,2一2.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集
2、，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求 解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.2 .四种命题及其相互关系(1)互为逆否命题的两个命题同真同假.3.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若=9，则是夕的充分条件(或q是的必要条件)； 若pOq,且夕分p,则是q的充分不必要条件(或夕是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题xeA,命题/ xB,若AU 则是7的充分条件(q是的必要条件)；若A B,则是9的充分不必要条件Gy是 的必要不充分条件)；若p = q,则是9的充要条件.等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
3、例题1.我们学过二维的平面向量，其坐标为。=&4)(4氏女=1,2),那么对于其坐标为a = （，iW.L ,/）& R,k = L2,L ,）.设(”,22)维向量的所有向量组成集合4=同员=/2,/)，“= 1,2,当： =3j&0,l,Z = l,2,L ,)时，称为4 的“特征向量”，如A2=a a二)，收民 = 1，2的“特征向量”有7 =(0,0),luuimia? (0,1)，% = (1,0),uuuu% =(1,1) .设a = (%,X2，L，当)和/? = (x，%,L ,券)为4的“特征向量”，定义II IT J rna、B =5(% + y -上y|)+(%2 + %
4、昆|)+l +(z + yTz - y|).UUIu(l)若2，/?e A3,且 a = (l,l,o), =(0,1,1),计算IT IT a.a ,a ir的值;(2)设建 4且3中向量均为4的“特征向量”，且满足：V。，力eB,当2时，a，B为奇数;U IT当2。7时，为偶数.求集合3中元素个数的最大值;设且区中向量均为4的“特征向量)且满足：/,晨B,且反工方时，a =0.写出一个集合使其元素最多，并说明理由.if HU IT【答案】(1) a,a =2, a,。1； (2) 4； (3)B = (0,(),(),(1,0,0),(0,0, 4).【解析】【分析】(I)根据定义直接计算
5、即可得出答案；(2)根据题意，得仅有1个1或3个1,再分仅有1个1时，仅有3个1时，巳后牛/后不时，三种情况分类讨论即可得出结论；U Hin(3)根据时，a/=o,则Z(4+2)= Zh修，得(4,白)只有3种情况, 1i=l/=1(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成对出现，从而可得出答案.【详解】II nr I解：(1)=不(1 +1)+ (1 +1) +(0 + 0) = 2 ,II IT 1 ra、(3 =(1 + 0 1 0) + (1 +1 11 力 +(0 +1 10 = 1 ；(2)设a =(4，%,a3M4)， =(也也也)，知白 0,1,，= 1,2
6、,3,4,u UH ITa = 时,%尸=4+4 + % +%为奇数,则仅有1个1或3个1,一 一111rl 4时，a，B =一片)为偶数，2 /=14IT IT当仅有1个1时，Z(+e) = 2,为使a,。为偶数,1=14则ZR2| = 2，即知不同时为1,i=i此时 4 =(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),共 4 个元素，4II IT当仅有3个1时，(4 +2) = 6,为使见月为偶数, i=i4则Zh一用=2,即生,2不同时为0,Z = 1此时 B2=(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),共 4 个元
7、素，II IT当行金环月与时，则。,夕=1,不符题意，舍去，综上所述，集合8中元素个数的最大值为4；mu(3) /a = (xx2,L ,xj ,力= (y,%，L ,y)，II ITnn工耳时,a，B =0,则Z(q+2) = ZI一 i=i=l则(4间只有3种情况,(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成对出现, 所以8中最多有+ 1个元素，B = (0,0,0),(l,0,0),(0,0,.).【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能 力，难度较大.例题2.已知集合A=%。2，见中的元素都是正整数，且4 4 4,集合A具有性
8、质”：对任意的羽丁儿 且xwy,都有(1)判断集合123,4是否具有性质；125，(2)求证：一 4(3)求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】(1)具有性质M； (2)证明见解析；(3)集合A中元素个数的最大值是9.【解析】(1)本题可通过验证集合123,4是否满足k-y| 2蓑得出结果；(2)本题首先可根据题意得出q? 筌，通过转化得出,-二？白，最后通过 25% 4+ 25累加法即可证得结论；1171-111n-i(3)本题首先可根据得出不得出4an25qan2525(-i)i,最后分为,10、两种情况进行讨论，通过取特殊值法以及基本不等式的应用即可得出结果.【详解】(1) |
9、1- 2|?2-31?黎(1) |1- 2|?2-31?黎25，|2-4|?1- 3|?Ui?3 425因为由上述式子可知集合123,4满足卜一心三,所以集合1,2,3,4具有性质(2)由题意可得卜厂q7+1?誓(i 1,2,3,-1)且44,J7+17+11故4+ + +a2 % a3 at251 9 1*n- an 2511n-,即丁丁后(3)因为集合4 = 4%,%中的元素都是正整数，所以4 21,11n-因为q an 251 1、11n-因为q an 251 1、n-in- , 纥1, 25 (n-i)i9当i = l,2,3,1都成立, i 25当9时，(/?-/)/当210时,令1
10、 = 5,则(-5)x5225,不成立; 25,当且仅当-i = i时等号成立, 4综上所述，49,集合A中元素个数的最大值为9.【点睛】本题考查集合新定义的相关问题，能否明确新定义中需要满足的条件是解决本题的关 键，考查累加法和取特殊值法的应用，考查通过基本不等式求最值，考查推理能力与 计算能力，考查分类讨论思想，是难题.例题3 ,设集合A3均为实数集R的子集，记A + B = +(1)已知4 = 。,1,2, 5 = -1,3,试用列举法表示A+B；0221(2)设4 =彳，当 eN*且 22时，曲线+ 工=工的焦距为耳，如果A = al,a2,.；al, B =,设A+B中的所有元素之和
11、为S“，求S”的值;(3)在(2)的条件下，对于满足2+扑=33 且mw几的任意正整数&不等式 鼠+ S-拉攵。恒成立，求实数4的最大值.o9【答案】 A+5 = T0,l,3,4,5； (2) S.=2；(3)22时丁 曲线一一+ 二- = 01匚=，n -/: + 1 1-n 9一+ 1 n-i 9即曲线表示双曲线，a(/_ + )+伽一)=竺,当 =1时4=成立.，933r、 f 1 2 2显然当 A = q,%，。，3 二 :一 1时，f 111222222A + 3 =(6Z.,生，。 ，i ，2 ，册,。2 ，巴 9 - 9 99991333(12 2、故4 + 3中的所有元素无重复，即S=3(q+%+ 4) + -I V 9 5 J,2 2n2n +n =3又因为4=印，所以%为等差数列，即+ + + _3+T(12 2)【一 一G(12 2)【一 一G=IV34 +4+为一一-q -l- Q /77 _|_(3)S, + S 一/LS&。恒成立恒成立K又m+n = 3k,且机w几的任意正整数根,上Am2 +n2 _ m2 + n2 _ 9(/ + ？) _9所以 k? (m + n (z + )2 1 2mn13 J疗+29所以2喘21 + m n+ n m92【点睛】本题考查集合的新定义题型、数列的前项和以及数列恒成立问题，属于难题