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1、二轮难题复习计数原理与概率统计压轴解答题1 .分类加法计数原理完成一件事，可以有几类办法，在第一类办法中有掰1种方法，在第二类办法中有加2 种方法，在第77类办法中有相种方法，那么完成这件事共有N=M1+22IH加种方法(也称加法原理).2 .分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有M种方法，做第二步有22种 方法，做第步有加种方法，那么完成这件事共有N=Z1义加2义X加种方法 (也称乘法原理).3 .排列(1)排列的定义：从几个不同元素中取出加(加个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从个不同元素中取出”个元素的一个排列.排列数的定义：从n个不同元素中取出2(2)个元素
2、的所有不同排列的个数叫做 从个不同元素中取出加个元素的排列数，用例表示.(3)排列数公式：=加1)(2)2+1).(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，n 1一1)血-2)21=! .排列数公式写成阶乘的形式为一7，这里规定0!= (一m)!1. .组合组合的定义：从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元 素中取出加个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从个不同元素中取出2(加个元素的所有不同组合的个数，叫 做从个不同元素中取出2个元素的组合数，用甥表示.人山小八 N； n !(/21)(2)(加+1) ,组合数的计算公式：。；=温=-尸由于0!=1,所以
3、 C9=L(4)组合数的性质：，=沪；C；|=C7+C厂1.4 .二项式定理(a+加=C 土 C，一 + +C 幼 一彷+ +e N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做m+b)的二项展开式，其中各项的系数 d(Z：e (0,1,2,，)叫做二项式系数.式中的C初叫做二项展开式的通项,用 + 1表示，即展开式的第+1项：Tk+ = C、a.二项展开式形式上的特点项数为/+1.各项的次数都等于二项式的基指数叫即Q与b的指数的和为加字母Q按降幕排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到几(4)二项式的系数从C9，a, 一直到C；厂1, c；
4、.5 .二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即甥三Yl + 1yi + (2)增减性与最大值：二项式系数C,当左壬一时，二项式系数是递增的；当心土厂 时，二项式系数是递减的.当是偶数时，那么其展开式中间一项7的二项式系数最大.-+12当是奇数时，那么其展开式中间两项I；7和刀用 的二项式系数相等且最大. +1+122(3)各二项式系数的和(+b)的展开式的各个二项式系数的和等于2，即 C9+CL+C2+c+c1=2.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1+G+ e + =C9+C计C廿=21.6 .概率的计算公式古典概型的概率计算公
5、式“人 事件/包含的基本事件数加“一基本事件总数.互斥事件的概率计算公式P(AUB)=P(A)+P(B).对立事件的概率计算公式P(7)=l一尸(4).7 .条件概率(1)条件概率(2)条件概率的性质定义一般地，当事件3发生的概率大于0时(即P(3)0),已知事件 区发生的条件下事件出发生的概率，称为事件概率tex7W)计算公式p(a n B) P(婀-P(l)OWP(BW1；(2)P(AA)=1；(3)如果 B 与 C 互斥，则 P(BUQA) = P(BA)+P(QA).8 .全概率公式(1)尸(3)=尸(4)P(5+尸(4(2)定理1若样本空间。中的事件4,小，/满足： 任意两个事件均互
6、斥，即44=0, 3尸1,2,，小 f 为+42+4=。；。(4)0, z=192,，n.则对O中的任意事件8,都有8=84+842+34，且P(B)= f P(BA)= P(4)P(8|4). z=li=9 .贝叶斯公式 (1)一般地,当OVP(Z)V1且尸(3)0时,有P(AB)=P(A)P(5 P(B)P(A)P(3|4)P(AjB) =P(4)P04)P(B)p(4)p团小)nEP(4)P(引 4) i=10 .离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质“ 20(1=12 ，P(A)P(BA)+P(A)P(BA)定理2若样本空间。中的事件小，42，4满足：任意两个事件均互斥，
7、即44=0，3尸1,2,，n, i/j； 为+4+4=。； 1P(4)O，z=l,2,，n.则对。中的任意概率非零的事件以有，1+夕 2Hpn=.(2)期望公式E(X)=xp +120 2 Hhx 庐.(3)期望的性质E(aX+b)=q(R+6 ；若X8(, p),则E(X)=叩；若X服从两点分布，则(A)=p.(4)方差公式Z)(=xi (JV)2-/?i + x2-E(X)2,p2HxnE(X)22，标准差为yjD(X).(5)方差的性质。(胸+/0 = /0(；若Xp),则。(& =秋(1一夕)；若X服从两点分布，则。(X)=p(lp).(6)相互独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)
8、=P(A)P(B).独立重复试验的概率计算公式P(X=k) = C%k(ip)-k,攵=0,1,2,，n.例题1.已知抛物线。：蛆=叙，点尸(4,4)(1)求点P与抛物线。的焦点b的距离；(2)设斜率为1的直线/与抛物线C交于A5两点，若的面积为2及，求直线/ 的方程；(3)是否存在定圆M:(x-机 + y2=4,使得过曲线。上任意一点。作圆M的两条切 线，与曲线C交于另外两点A3时，总有直线Ag也与圆M相切？若存在，求出加的 值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 5； (2) y = x-. (3)存在实数加=3【解析】【分析】(1)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，再根据两点间的距离公
9、式，即可求出距 离；(2)设直线/的方程为y = x+。，代入抛物线的方程，由弦长公式求出WM，点到直 线的距离公式求出PAB的高，再依据三角形的面积公式，解方程可得。，进而得到 直线方程；(3)假设存在，根据一般到特殊的原理，取。(。,0),设切线为丁 =丘，联立抛物线方 程，求出点A3以及直线A5,由相切可得2 = 3.再由特殊到一般，证明对任意的动 点Q,直线A3与圆相切，即可说明存在相=3,使得直线43与圆”相切.【详解】(1)抛物线C：V=4x的焦点坐标为(1,0),则点夕与抛物线。的焦点厂的距离为7(4-1)2+42 = 5.(2)设直线/的方程为y = x+，把丁 = x+，方程
10、代入抛物线V = ,可得f + 2( _ 2)x + / = o,% + % = 4 - 2。，-x2 = 4Z2,/.| AB |= Jl + %2 x2 -x1 = 6不+X一4XX = 4)2(1 -a)， Sapab = g I 阴 d = g X 4 J2(l a) X *=2顶, 解得 =T,所以直线/的方程y = x-1.（3）假设存在.取。（）,（），圆/：（m + y2=4,设切线为丁 =丘,mka/1 + /将直线y = kx代入抛物线方程y19直线 AB:，-。）=2&+4）_）一（44 一4，将直线y = kx代入抛物线方程y19直线 AB:，-。）=2&+4）_）一（
11、44 一4，=4x,解得A(4 4A/444)4直线A3的方程为x = tt， k-4若直线AB和圆相切，可得出-加=2口 由解得，m = 3.下证机=3时，对任意的动点。,直线A3和圆M相切.（ 9 理由如下：设。卜,a/、12，x = t(y-a) + -a , A 414c 123 a + tci4c 123 a + tci4VWa 一 cT 6=2,可得,2_孙2_+ 心=12 111 2c/_412、21 A ( t一o6 cit + q3 4 = 0,-a2-3 I -44/a2 -4又直线与曲线相交于A , B,由（）+ 7 ,代入抛物线方程可得/ -例+ 4/=。,可得寸=4%
12、(y a) + /,货=4t2(y2-a) + a2,则。，,是方程/=4/（丁一） + 的两根, 即有町=4伍即*=4%。，同理%=4尖4.2 )则有 A (4 -a) ,4r)- a147即为 y-（4% -。）=4-a24aa* )2 4 = 0, 4 = 0,则有对任意的动点Q,存在实数加=3,使得直线A3与圆M相切.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关 系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式，点到直线的距离公式等的应用，计算 量大，全面考查学生综合运用平面解析几何知识的能力，属于难题.例题2.两个数列%、,当%和瓦同时在3=%时取得相同的
13、最大值,我们称%,与月具有性质P,其中gN*.(1)设(1 +工严2的二项展开式中V的系数为4 (左=0,123,2022),丘N,记。0=9，4=。2，依次下去，。2022 =。2023，组成的数列是&；同样地，严的二项展开式中/的系数为由 (女= 0,123,2022),左cN,记d=4, 4=4， ，依次下去，4。22=4。23,组成的数列是4J；判别g与4J是否具有性质P，请说明理由;（2）数列一力2的前项和是S，数列1982-3的前项和是7；,若与7；具有性质P,则这样的数列，-而 一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列4与也满足-么）,wN且4=4=0,是否存在实数X,使得
14、4与具有性质P,请说明理由.【答案】（1）不具有；见解析（2） 102；见解析（3）见解析，2 = 1.【解析】【分析】（1） （1 + %）2。22展开式中系数最大项为C盥”“，然后再判断（X-1严22展开式中”“的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令2=1982 3，则 T= 1982 1 - 3）= 982几 +2 3,结合”?”，求得 1-32 2Tn Tn+in = 6,求得7”的最大值，由与具有性质P，可得 =6时，）皿=10800,由an=t-dn ,结合，一 6d。/-74 V。求得，的范围，再由 =/-曲是等差数列，可得” = 10800,然后联立2 71 = 360。，解出数列一而的个数；26d t 1982(/1 + 1) +32222n-因为22,eN*, 36 = 729,37 =21873 3所以当 =6时，（7；）年=1982x6+二二=10800,因为与具有性质P,所以力=6时，)max =1。8。0,因为4 =t-dn ,月f 以，一6d 0 7d 0 ,所以 d +=（）80（）,t,deN”由,-74 = 3600 ,6d t 1，则显然）max =%S）max =% , % =% %矛盾同理，41也矛盾， 所以a=1【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能 力，属于难题.