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1、第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.9 4.9 取样定理取样定理4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性
2、质第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任为基本信号，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故
3、称为。故称为频域分析频域分析。矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以，可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集 vx
4、，vy，vz分量的线性组合分量的线性组合表示。即表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：定义：定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(
5、t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数构成一个函数集，当这些函数在区间集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在函数之外，不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt
6、，n=0，1，2，是两组典型的在是两组典型的在区间区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。(i=1，2，n)三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，可表示为正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使
7、误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差最小。均方误差为为 为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 即即 所以系数所以系数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）考虑到：在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集）时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有，均方误差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式帕斯瓦
8、尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。解的各正交分量能量的总和。函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角条件时，它可分解为如下三角级数级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 系数系数an,bn称为称为傅
9、里叶系数傅里叶系数 可见，可见，an 是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。的奇函数。式中，式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原，它的角频率与原周期信号相同；周期信号相同；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+n)称为称为n次谐波次谐波。可见可见An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=
10、Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 f(t)=fod(t)+fev(t)由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 3.f(t)为奇谐函数为奇
11、谐函数f(t)=f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2 如果函数如果函数f（t）的前半周）的前半周期波形移动期波形移动T/2后，与后后，与后半周期波形相对于横轴半周期波形相对于横轴对
12、称，即满足对称，即满足f（t）=-f（tT/2)，则这种函数称，则这种函数称为半波对称函数或称为为半波对称函数或称为奇谐波分量。奇谐波分量。上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An，n=n，则上式写为则上式写为 令令A0=A0ej 0ej0 t，0=0 所以所以令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。n=0,1,2，表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。信号之和。F0=A0/2为直流分量。为直流分量。四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式
13、直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。n0时，时，|Fn|=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化随信号频率变化的关系，称为的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次
14、谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱相位频谱图图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn。例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。的平均功率
15、。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周期T1=8的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周
16、期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。画图。零点为零点为所以所以，m为整数。为整数。特点特点：(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位性。谱线位置是基频置是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，一定，变小，此时变小，此时（谱线间隔）不变。两零点（谱线
17、间隔）不变。两零点之间的谱线数目：之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。增多。(b)一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶
18、变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。考虑到：考虑到：T，
19、无穷小，记为无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时，于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数也可简记为也可简记为 F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证
20、明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t)=e t(t)，0实数实数2.双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4.冲激函数冲激函数(t)、(t)5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好
21、求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变的傅里叶变换所形成的序列换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。构造构造 f(t)=e-t ，0 所以所以又又因此，因此，1212()另一种求法另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 tt，tt-再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得6.符号函数符
22、号函数7.阶跃函数阶跃函数(t)归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|1 12()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)thenProof:F a f1(t)+b f2(t)=a F1(j)+b F2(j)a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)For example F(j)=?Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa
23、()-二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real constant.Proof:F f(t t0)For example F(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=+三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:（1）in(1)t，t then（2）in(2)-then F(j t)2f()endF(jt)2f()For example F(j)=?Ans:if =1,四、
24、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real constant.F e j0t f(t)=F j(-0)endFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)For example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(+0)+(-0)五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant
25、.Proof:F f(a t)=For a 0 ,F f(a t)for a 0 ,F f(a t)That is ,f(a t)Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)For example 1Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(t b)e-jb F(j)f(at b)orf(at)f(at b)=For example 2f(t)=F(j)=?Ans:Using symmetry,using scaling property with a=-1,so that,六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Co
26、nvolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)Proof:F f1(t)*f2(t)=Using timeshiftingSo that,F f1(t)*f2(t)=F1(j)F2(j)For exampleAns:Using symmetry,七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分(Differentiation and In
27、tegration in time domain)If f(t)F(j)then Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t)f(t)=1/t2?For example 1Ans:For example 2Given that f (t)F1(j)Prooff(t)F1(j)+f(-)+f()()ProofSoSummary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)nFor example 3Determine f(t)F(j)Ans:f”(t)=(t+2)2 (t)+
28、(t 2)F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2 F(j)=Notice:d(t)/dt=(t)1(t)1/(j)八、频域的微分和积分八、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f(t)F(j)then (jt)n f(t)F(n)(j)whereFor example 1Determine f(t)=t(t)F(j)=?Ans:Notice:t(t)=(t)*(t)Its wrong.Because ()()and(1/j)()is not defined.For examp
29、le 2DetermineAns:九、帕斯瓦尔关系九、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)Proof|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).单位频率上的频谱单位频率上的频谱 (能量密度谱能量密度谱）JsFor exampleDetermine the energy of Ans:十、奇偶性十、奇偶性(Parity)If f(t)is real,then=R()+jX()So that(1)R()=R(),X()=X()(2)|F(j)|=|F(j)|,
30、()=()(3)(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()(4)If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX()4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 帕斯瓦尔帕斯瓦尔关关系系Parsevals Relation 能量谱能量谱 功率谱功率谱 能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析证明：帕塞瓦尔能量关系例帕塞瓦尔能量关系例For exampleDetermine the energy of Ans:二能量谱密度（能量谱）能量谱密度（能量谱）定义定义能量谱能量谱指单位频率的信号能量，记为指单位频率的信号能量，记为E()()在在频带频带df内信
31、号的能量为内信号的能量为E()df，因而信号，因而信号在整个频率范围的在整个频率范围的总能量总能量由由帕塞瓦尔关系帕塞瓦尔关系可得可得E()=|F(j)|2R()E()能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。E()E()三、三、功率谱则则 的的平均功率平均功率为：为：定义定义功率谱功率谱指单位频率的信号功率，记为指单位频率的信号功率，记为P()()在在频带频带df内信号的功率为内信号的功率为P()df，因而信号，因而信号在整个频率范围的在整个频率范围的总功率总功率P()=因此因此R()P()功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。功率有限信
32、号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。维纳维纳-欣钦关系欣钦关系式式P()P()功率谱例功率谱例1求余弦信号求余弦信号的自相关函数和功率谱。的自相关函数和功率谱。解：解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有求功率谱因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换傅里叶变换,所以功率谱为所以功率谱为:P()()四、能量谱和功率谱分析时域时域 频域频域 因此因此 显然显然 物理意义物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与：响应的能谱等于激励的能谱与|H(j)|2的乘积。的乘积。同样，对功率信号有同样，对
33、功率信号有 Py()=|H(j)|2 Pf()4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)(0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t-e j 0 t)/(2j)j(+0)(0)二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)=解解：(1)例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：
34、周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的的周期拓展。即周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(j)=()F0(j)F(j)=本题本题 f0(t)=g2(t)(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej
35、 t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t=总可认为系统的状态为总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状，因此本章的响应指零状态响应，常写为态响应，常写为y(t)。设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本的基本信号信号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j )ej tH(j )反映了
36、响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej t二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )ej t d F(j )H(j )ej t d 齐次齐次性性可加可加性性f(t)y(t)=F 1F(j )H(j )Y(j )=F(j )H(j )频率响应频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变换换Y(j)与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j)之比，即之比，即 H(j)称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；()称为称为相相频特性频特性（或（
37、或相频响应相频响应）。）。H(j)是是 的偶函数，的偶函数，()是是 的奇函数。的奇函数。频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法对周期信号还可用傅里叶级数法。对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号周期信号若若则可推导出则可推导出例例：某：某LTI系统的系统的 H(j)和和()如图，如图，若若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10)Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5 5)+(+5)H(-j5 5)+4(10)H(
38、j1010)+(+10)H(-j1010)H(j)=H(j)ej(ej()=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5)y(t)=F-1Y(j)=2+2sin(5t)解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)=2+4cos(t)+4cos(2t)H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t)三、频率响应三、频率响应H(jH(j)的求法的求法1.H(j)=F h(t)2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对
39、微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)求求f(t)=e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t e-2t )(t)例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)=e-t(t)四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：
40、一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的信号的传输传输，一类是，一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输、无失真传输（1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比，只有输入信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同同，而没有波形上的变化。即，而没有波形上的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t
41、)=K f(ttd)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j)=Ke j tdF(j)系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：的要求是：(a)对对h(t)的要求的要求：h(t)=K(t td)(b)对对H(j)的要求的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即即 H(j)=K ,()=td 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件无
42、失真传输条件：2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性具有如图所示幅频、相频特性的系统称为的系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。c称为截止角频率。称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应可写为：可写为：(1)冲激响应冲激响应 h(t)=-1g 2 c()e)e-j-j t td d=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。可见，它实际上是不可实现的非因果系统。(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明显失真，只要：有明显失真，只要 c，则必有振荡，其过冲，则必有振荡，其过冲比稳
43、态值高约比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为象称为吉布斯现象吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.08953、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激，其冲激响应在响应在t0时必须为时必须为0，即，即 h(t)=0,t0 即即 响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证证明了物理可实现的幅频特性必须满足明了物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利
44、佩利-维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带，但不能在某个有限频带内为内为0。4.9 4.9 取样定理取样定理 取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用全可以用离散样本值离散样本值表示。这些样本值包含了该连续表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间
45、架起了在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。为其互为转换提供了理论依据。一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的过程。的过程。这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。如图一连续信号如图一连续信号f(t)用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(开关函数开关函数）进行取样，进行取样，取样间隔取样间隔为为TS，fS=1/TS称为称为取样频率取样频率。得取样信号得取样信号 fS(t)=f(t)s(t)取样信号取
46、样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为 FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)冲激取样冲激取样 若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 Ts(t),则称为则称为冲激取冲激取样样。如果如果f(t)是是带限信号带限信号 即即f(t)的频谱只在区间的频谱只在区间（-m，m)为有限值，而其余区间为为有限值，而其余区间为0。设设f(t)F(j)，取样信号，取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数 FS(j)=(1/2)F(j)*S s()S=2/TSs(t)=s(t)=Ts(t)S s()=*=上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定的频谱时，设定S 22m,这时
47、这时其频谱其频谱不发生混叠不发生混叠，因此能设法，因此能设法(如利用低通滤波器如利用低通滤波器)，从从FS(j)中取出中取出F(j)，即，即从从fS(t)中恢复原信号中恢复原信号f(t)。否。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。则将发生混叠，而无法恢复原信号。二、时域取样定理二、时域取样定理当当S 22m 时，将取样信号通过下面的低通滤波器时，将取样信号通过下面的低通滤波器其截止角频率其截止角频率C取取m C S-m。即可恢复原信。即可恢复原信号。号。由于由于 fs(t)=f(t)s(t)=f(t)H(j)h(t)=为方便，选为方便，选C=0.5=0.5S,则则TsTsC/=1/=1 所以所以根
48、据根据f(t)=fS(t)*h(t)，有，有只要已知各取样值只要已知各取样值f(nTs),就可唯一地确定出原信号就可唯一地确定出原信号f(t)。时域取样定理时域取样定理：一个频谱在区间（一个频谱在区间（-m，m)以外为以外为0的带限信号的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts2fm，或者说，或者说，取样间隔不能太大，必须取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则否则将发生混叠。将发生混叠。通常把最低允许的取样频率通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为称为奈奎斯特奈奎斯特（Nyquist)频率频率，把最大允许的取样间隔，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2f
49、m)称称为奈奎斯特间隔。为奈奎斯特间隔。频域取样定理频域取样定理：根据根据时域与频域的对偶性时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。，可推出频域取样定理。P191 一个在时域区间（一个在时域区间（-tm,tm)以外为以外为0的的时限信号时限信号f(t)的频的频谱函数谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔，可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上的样值点上的样值点F(jn s)确定。确定。4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)(DFS)非周期序列的离散时间傅里叶变换非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)(
50、DTFT)四种傅里叶变换的特点和关系四种傅里叶变换的特点和关系 将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号称为序列的傅里叶分析散时间信号称为序列的傅里叶分析 。一周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)周期序列记为周期序列记为fN(k)，N为周期，数字角频率为为周期，数字角频率为 由于由于 也是也是周期为周期为N的序列，即的序列，即则则fN(k)可展开为可展开为注意：注意：ejk是周期为是周期为2的周期函数。的周期函数。离散傅里叶系数推导两端同乘两端同乘e-jmk，并在一个周期求和，有，并在一个周期求和，有上式右端对上式右端