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1、傅里叶变换与系统的频域分析第1页，本讲稿共138页第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦函数的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换 二、一般周期函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换 三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 一、频率响应一、频率响应 二、无失真传输二、无失真传输 三、理想低通滤波器的响应三、理想低通滤波器的响应4.9 4.9 取样定理取样定理 一、信号的取样一、信号的取样 二、时域取样定理二、时域取样定理
2、 三、频域取样定理三、频域取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析 一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)二、非周期序列的离散时间傅里叶二、非周期序列的离散时间傅里叶 变换变换(DTFT)4.11 4.11 离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换及其性质 一、离散傅里叶变换一、离散傅里叶变换(DFT)二、离散傅里叶变换的性质二、离散傅里叶变换的性质第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析第2页，本讲稿共138页第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析
3、法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。1768年年3月月21日生于日生于欧塞尔，欧塞尔，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。1807年向巴黎科学院呈交年向巴黎科学院呈交热的传播热的传播论文，推导出著名的热传论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作年在代表作热的分析理论热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分
4、析学在物理中应用的最早例证之一，对体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对1919世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等理论均傅里叶分析等理论均由此创始。由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）这些统称为傅里叶分析。）其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。傅里叶简介傅里叶简介第3页，本讲稿共138页4.
5、1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析的要点时域分析的要点是，以是，以冲激函数冲激函数为为基本信号基本信号，任意输入信，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号e jt为为基本信号基本信号，任意输，任意输入信号可分解为一系列入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信号之的正弦信号或虚指数信号之和。和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量
6、是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。矢量矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：正交的定义：其其内积内积为为0。即。即第4页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集。正交矢量集。如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。例如例如对于一个三维空间的矢量对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三，
7、可以用一个三维正交矢量集维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A=vx+2.5 vy+4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间空间：在信号空：在信号空间找到若干个间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。任意信号均可表示成它们的线性组合。第5页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第6页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交
8、函数集1.定义：定义：定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在在区间区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这构成一个函数集，当这些函数在区间些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在则称此函数集为在区间区间(t1，t2)上的上的正交函数集正交函数集。第7页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集
9、如果在正交函数集 1(t)，2(t)，n(t)之外，不之外，不存在任何函数存在任何函数 (t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如：例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和和虚指虚指数函数集数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。(i=1，2，n)第8页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间
10、在区间(t1，t2)构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线个正交函数的线性组合来近似，可表示为性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 问题：问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差最小。均方误差为：为：第9页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有 展开上
11、式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：写为：即：即：所以系数所以系数第10页，本讲稿共138页4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数时，所取得项数越多越多，即，即n越大，越大，则均方误差则均方误差越小越小。当。当n时（为完备正交函数集），均方误时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（公式）帕斯瓦尔方程（公式），表明：在区，表明：在区间间(t1,t2)，
12、f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。的各正交分量能量的总和。函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和第11页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄狄里赫利里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称称为为f(t)的的傅里叶级数。傅
13、里叶级数。系数系数an,bn称为称为傅里叶系数。傅里叶系数。可见，可见，an 是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。的奇函数。第12页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0=a0 上式上式表明表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周期信，它的角频率与原周期信号相同；号相同；A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n
14、t+n)称为称为n次谐波次谐波。可见可见An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为第13页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例1：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：考虑到考虑到=2/T，可得：，可得：第14页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号的傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：第15页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第16页，本讲稿共138页4.
15、2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第17页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第18页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第19页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，都可分解为奇函数和偶函数两部分，即即 f(t)=fod(t)+fev(t)
16、由于由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以所以 第20页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)此时，其傅里叶级数中只含奇次谐此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=b2=b4=0 4.f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t)=f(tT/2)此时，其傅里叶级数中只含偶此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量次谐波分量，而不含奇次谐波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 第21页，本讲稿共138页4.2 4.2
17、傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用出：利用 cosx=(ejx+ejx)/2 上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An，n=n，则上式写为则上式写为 第22页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令令A0=A0 e j 0 e j0 t，0=0 所以所以令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。
18、，简称傅里叶系数。第23页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 n=0,1,2，表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。号之和。Fn 是频率为是频率为n 的分量的的分量的系数，系数，F0=A0/2为直流分量。为直流分量。第24页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。解：解：第25页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数指数型傅里叶级数为：指数型傅里叶级数为：第26页，本讲稿共138页4.3
19、 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化的关随信号频率变化的关系，称为系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面上为横轴的平面上得到的两个图，分别称为得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和
20、相位频谱图相位频谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，为实数，也可直接画也可直接画Fn。第27页，本讲稿共138页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画出它的，画出它的单边频谱图，并求单边频谱图，并求f(t)的平均功率。的平均功率。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周
21、期的周期T1=8的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=第28页，本讲稿共138页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12=3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)的的/3/12=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：第29页，本讲稿共138页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽
22、度为度为 的周期矩形脉冲，其周期的周期矩形脉冲，其周期为为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数取样函数）第30页，本讲稿共138页4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱,n=0,1，2，Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。画图。零点为零点为所以所以，m为整数。为整数。特点特点：(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基性。谱线位置是基频频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。第31页，本讲稿共138页4.3 4.3 周
23、期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，一定，变小，此时变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。增多。(b)一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷
24、小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。第32页，本讲稿共138页4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、周期信号的功率三、周期信号的功率Parseval等式等式含义：含义：直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功电阻上消耗的平均功 率之和。率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在 频域中求得的信号功率相等。频域中求得的信号功率相等。第33页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶
25、变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的概的概念。令念。令(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数为频谱密度函数
26、。第34页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时，于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式“+”F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数第35页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(
27、j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()说明：说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分第36页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t)=e t(t)，02.双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 第37页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶
28、变换傅里叶变换3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4.冲激函数冲激函数(t)、(t)第38页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5.常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f(t)，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的傅里叶变换所形成的序列的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换的
29、傅里叶变换F(j)为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。第39页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f(t)=e-t ，0 所以所以又又因此，因此，1212()另一种求法另一种求法：(t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 t t，t-t-再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得第40页，本讲稿共138页6.符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7.阶跃函数阶跃函数(t)构造第41页，本讲稿共138页4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用
30、函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|1 12()第42页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)Proof:thenIf第43页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()-第44页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶性二
31、、奇偶性(Parity)If f(t)is real,thenSo that(1)R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX()第45页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)If f(t)F(j)thenProof:（1）in(1)t，t then（2）in(2)-then F(jt)2f()endF(jt)2f()第46页，本讲稿共138页
32、4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f(t)F(j)then where“a”is a nonzero real constant.Proof:F f(a t)=For a 0 ,F f(a t)for a 0 ,F f(a t)That is ,f(a t)Also,letting a=-1,f(-t)F(-j)第47页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Given that f(t)F(j),find f(at b)?Ans:f(
33、t b)e-jb F(j)f(at b)orf(at)f(at b)=第48页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=F(j)=?Ans:Using symmetry,using scaling property with a=-1,so that,第49页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?Ans:if =1,*ifF(j)=?第50页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Time shifting Proper
34、ty)If f(t)F(j)thenwhere“t0”is real constant.Proof:F f(t t0)第51页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j)=?f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=+Ans:f(t)=f1(t)+f2(t)第52页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f(t)F(j)thenProof:where“0”is real cons
35、tant.F e j0t f(t)=F j(-0)endFor example 1f(t)=ej3t F(j)=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)第53页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(+0)+(-0)For example 3Given that f(t)F(j)The modulated signal f(t)cos0t?第54页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积定理七、卷积定理(Convolution Property)1、C
36、onvolution in time domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)2、Convolution in frequency domain：If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)第55页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:Using time shiftingSo that,第56页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For exampleAns:Using symmetry,第57
37、页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f(t)F(j)then Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t)第58页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)=1/t2?For example 1Ans:第59页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t)F
38、1(j)Prooff(t)F1(j)+f(-)+f()()ProofSoSummary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n第60页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3Determine f(t)F(j)Ans:f”(t)=(t+2)2 (t)+(t 2)F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2 F(j)=Notice:d(t)/dt=(t)1(t)1/(j)第61页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频
39、域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f(t)F(j)then (jt)n f(t)F(n)(j)whereFor example 1Determine f(t)=t(t)F(j)=?Ans:第62页，本讲稿共138页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice:t(t)=(t)*(t)Its wrong.Because ()()and(1/j)()is not defined.For example 2DetermineAns:第63页，本讲稿共138页4.5 4.5
40、傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质十、相关定理十、相关定理(Correlation Theorem)Ifthen Proof:两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这就是里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积，这就是相相关定理关定理。对自相关函数：。对自相关函数：第64页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱一、能量谱一、能量谱1.信号能量的定义：信号能量的定义：时间（时间（-,）区间上信号的能量。）区间上信号的能量。信号信号(
41、电压或电流电压或电流)f(t)在在1电电阻上的瞬阻上的瞬时时功率功率为为|f(t)|2,在区间（在区间（-T,T）的能量为）的能量为 如果信号能量有限，即如果信号能量有限，即0E，信号称，信号称为为能量有限信能量有限信号，号，简简称称能量信号能量信号。例如。例如门门函数，三角形脉冲，函数，三角形脉冲，单边单边或双或双边边指数衰减信号等。指数衰减信号等。第65页，本讲稿共138页证明证明:4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱2.帕斯瓦尔方程帕斯瓦尔方程（能量方程）：（能量方程）：第66页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 在频带在频带df内信号的能量为内信号的
42、能量为E E()df，因而信号在整个，因而信号在整个频率区间（频率区间（-,）的总能量为：）的总能量为：上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱E E()为：为：3.能量密度谱能量密度谱E E()：(Energy-density Spectrum)为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱能量频谱或或能能量谱量谱。能量频谱能量频谱E E()定义为单位频率的信号能量。定义为单位频率的信号能量。第67页，本讲稿共138页例例1
43、：计算信号的能量计算信号的能量 解解:4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱由由相关定理相关定理：信号的能量谱信号的能量谱E E()与与自相关函数自相关函数R()是一是一对傅里叶变换对傅里叶变换 信号的能量谱信号的能量谱E E()是是的偶函数，它只取决于频谱的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。函数的模量，而与相位无关。单位：单位：Js。第68页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱二、功率谱二、功率谱 由信号能量和功率的定义可知，若信号能量由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有限，有限，则则P=0；若信号功率；若信号功率P有限，则有限，则E=。1
44、.信号功率：信号功率：定义为时间（定义为时间（-,）区间上信号）区间上信号f(t)的的 平均功率，用平均功率，用P表示。表示。如果信号功率有限，即如果信号功率有限，即0P，信号称，信号称为为功率有限信功率有限信号，号，简简称称功率信号功率信号。如。如阶跃阶跃信号，周期信号等。信号，周期信号等。如果如果f(t)为实函数，则为实函数，则第69页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱功率有限信号的能量趋于无穷大，即功率有限信号的能量趋于无穷大，即 从从f(t)中截取中截取|t|T/2的一段，得到一个截尾函数的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可，它可以表示以表示为为：如果如
45、果T是有限是有限值值，则则fT(t)的能量也是有限的。令的能量也是有限的。令fT(t)的能量的能量ET可表示可表示为为：由于由于第70页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱f(t)的平均功率的平均功率为为：当当T增加增加时时，fT(t)的能量增加，的能量增加，|FT(j)|2也增加。当也增加。当T时时，fT(t)f(t)，此，此时时|FT(j)|2/T可能可能趋趋于一极限。于一极限。比比较较得：得：2.功率密度谱：功率密度谱：类类似于能量密度似于能量密度谱谱，定，定义义功率密度功率密度谱谱 函数函数P P ()为单为单位位频频率的信号功率。从而平均功率：率的信号功率。
46、从而平均功率：第71页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱 信号的功率谱信号的功率谱P P()是是的偶函数，它只取决于频谱的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。函数的模量，而与相位无关。单位：单位：Ws。自相关函数：自相关函数：3.功率密度谱与自相关函数的关系：功率密度谱与自相关函数的关系：若若f1(t)和和f2(t)是是功率有限信号功率有限信号，此时相关函数的定义为：，此时相关函数的定义为：第72页，本讲稿共138页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱两边取傅里叶变换，得：两边取傅里叶变换，得：比较前面推导：比较前面推导：功率有限信号的功率谱功率
47、有限信号的功率谱函数函数P P()与自相关函与自相关函数数R()是一对傅里是一对傅里叶变换。叶变换。第73页，本讲稿共138页4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)/2 (0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t-e j 0 t)/(2j)j(+0)(0)第74页，本讲稿共138页4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一
48、般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)=解解：(1)第75页，本讲稿共138页4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作一也可看作一时限非周期信号时限非周期信号f0(t)的周期的周期拓展。即拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(j)=()F0(j)F(j)=本题本题 f0(t)=g2(t)(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出
49、求周期信号傅里叶级数的另一种方法。第76页，本讲稿共138页4.7 4.7 复习：傅里叶变换复习：傅里叶变换归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t)e-t(t)g(t)sgn(t)e|t|1 12()第77页，本讲稿共138页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。的虚指数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej t一、基
50、本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明说明：频域分析中，信号的定义域为：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t=总总可认为系统的状态为可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常，因此本章的响应指零状态响应，常写为写为y(t)。第78页，本讲稿共138页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本信的基本信号号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。