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1、2022/11/222022/11/221第四章第四章 傅里叶变换傅里叶变换4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析4.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析4.5 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱引言引言2022/11/2222022/11/222022/11/222频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生
2、的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。2022/11/2232022/11/222022/11/223发展历史
3、1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了在研究热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体
4、问题的解决为世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。2022/11/2242022/11/222022/11/224主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建
5、立信号频谱的概念。里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。2022/11/2252022/11/222022/11/225
6、傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年提出年提出“任何周期任何周期信号都可用正弦函数级信号都可用正弦函数级数表示数表示”n1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件n拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表n1822年首次发表在年首次发表在“热热的分析理论的分析理论”一书中一书中2022/11/2262022/11/222022/11/226傅里叶傅里叶(Jean Baptise Joseph Fourier17681830)法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远
7、征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。2022/11/2272022/11/222022/11/227在1759年拉格朗日()表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀
8、疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数任一函数都能够展成三角函数的无穷级数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于18
9、22年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。2022/11/2282022/11/222022/11/228 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-
10、傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。2022/11/2292022/11/222022/11/229傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献n“周期信号都可表示为谐波关系的周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点n“非周期信号
11、都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点2022/11/22102022/11/222022/11/2210n频域分析：傅里叶变换频域分析：傅里叶变换n自变量为自变量为 j n复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换n自变量为自变量为 S=+j nZ域分析：域分析：Z 变换变换n自变量为自变量为z 变换域分析变换域分析：2022/11/22112022/11/222022/11/22114.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数n正交矢量正交矢量n正交函数正交函数n正交函数集正交函数集n用完备正交集表示信号用完备正交集表
12、示信号2022/11/22122022/11/222022/11/2212一、正交矢量一、正交矢量矢量：矢量：V1 和和 V2 参加如下运算，参加如下运算，Ve 是它们的差，是它们的差，如下式：如下式：2022/11/22132022/11/222022/11/2213表示和互相接近的程度当V1、V2完全重合，则随夹角增大，c12减小；当，V1和V2相互垂直2022/11/22142022/11/222022/11/2214二维正交集三维正交集2022/11/22152022/11/222022/11/2215 二、正交函数令令 ，则误差能量，则误差能量 最小最小2022/11/2216202
13、2/11/222022/11/2216解得2022/11/22172022/11/222022/11/2217正交条件若c12=0，则f1(t)不包含f2(t)的分量，则称正交。正交的条件：2022/11/22182022/11/222022/11/2218例：试用试用sint 在区间（在区间（0，2）来近似）来近似 f(t)。11tf(t)02022/11/22192022/11/222022/11/2219解：所以：11tf(t)02022/11/22202022/11/222022/11/2220例：试用正弦例：试用正弦sint 在（在（0，2）区间内来表示余）区间内来表示余弦弦cost
14、.所以所以说明说明cost 中不包含中不包含 sint 分量，分量，因此因此cost 和和 sint 正交。正交。显然显然2022/11/22212022/11/222022/11/2221三、三、正交函数集正交函数集n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集2022/11/22222022/11/222022/11/2222在（在（t1,t2）区间，任意函数）区间，任意函数f(t)可由可由n个正交的函数的个正交的函数的线性组合近似线性组合近似由最小均方误差准则，要求系数由最小均方误差准则，要求系数 满足满足2022/11/22232022/11/222022
15、/11/2223在最佳逼近时的误差能量在最佳逼近时的误差能量归一化正交函数集：归一化正交函数集：2022/11/22242022/11/222022/11/2224复变函数的正交特性复变函数的正交特性两复变函数正交的条件是两复变函数正交的条件是2022/11/22252022/11/222022/11/2225四四 用完备正交集表示信号用完备正交集表示信号帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)方程方程2022/11/22262022/11/222022/11/2226另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件n三角函数集 n复指数函数集2022/11/22272022/11
16、/222022/11/2227其它正交函数系n沃尔什函数集沃尔什函数集n勒让德多项式勒让德多项式n切比雪夫多项式切比雪夫多项式2022/11/22282022/11/222022/11/22284.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析n周期信号可展开成正交函数线性组合的周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：无穷级数：.三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t,sinn 1t.复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 2022/11/22292022/11/222022/11/2229一、三角函数的傅里叶级数一、三角函数的傅里叶级数:
17、直流分量n=1基波分量n1谐波分量2022/11/22302022/11/222022/11/2230直流系数直流系数余弦分量系数余弦分量系数正弦分量系数正弦分量系数2022/11/22312022/11/222022/11/2231狄利赫利条件：狄利赫利条件：n在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；n在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；n在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 n一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件.2022/11/22322022/11/222022/11/2232三角函数是正交函数2022/11/
18、22332022/11/222022/11/2233周期信号的另一种三角函数正交集表示2022/11/22342022/11/222022/11/2234比较几种系数的关系2022/11/22352022/11/222022/11/2235 周期函数的频谱：周期函数的频谱：n周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移，2022/11/22362022/11/222022/11/2236二、周期函数的复指数级数二、周期函数的复指数级数n由前知n由欧拉公式n其中引入了负频率2022/11/22372022/11/222022/11/2237指数形式的傅里叶
19、级数的系数两种傅氏级数的系数间的关系2022/11/22382022/11/222022/11/2238两种傅氏级数的系数间的关系2022/11/22392022/11/222022/11/2239周期复指数信号的频谱图00-2022/11/22402022/11/222022/11/2240周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，l 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和相位，幅度谱和相位谱合一；2022/11/22412022/11/222022/11/2241三、周期信号的功率特性nP为周期信号的平均功率n
20、符合帕斯瓦尔定理2022/11/22422022/11/222022/11/2242四、对称信号的傅里叶级数三种对称：三种对称：n偶函数偶函数：f(t)=f(-t)n奇函数奇函数：f(t)=-f(-t)n奇谐函数奇谐函数：半周期对称：半周期对称n任意周期函数任意周期函数有：有：偶函数项奇函数项2022/11/22432022/11/222022/11/2243周期偶函数Fn是实数只含直流和余弦分量2022/11/22442022/11/222022/11/2244例如:周期三角函数是偶函数Ef(t)T1/2-T1/2t2022/11/22452022/11/222022/11/2245周期奇函
21、数只含正弦项Fn为虚数2022/11/22462022/11/222022/11/2246例如周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T/2-T/2f(t)t02022/11/22472022/11/222022/11/2247奇谐函数：l 沿时间轴平移半个周期；沿时间轴平移半个周期；l 反相；反相；l 波形不变；波形不变；l 半波对称半波对称2022/11/22482022/11/222022/11/2248奇谐函数 的波形：T1/2-T1/20tf(t)2022/11/22492022/11/222022/11/2249奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为0a20=,b20=2022/11
22、/22502022/11/222022/11/2250例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数周期偶函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量E-Ef(t)t2022/11/22512022/11/222022/11/2251含有直流分量和正弦分量含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次谐波余含有直流分量和偶次谐波余弦分量弦
23、分量2022/11/22522022/11/222022/11/2252五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则 n;n实际应用中，n=N,N是有限整数。nN愈趋近 ，则其均方误差愈小n若用2N1项逼近，则2022/11/22532022/11/222022/11/2253误差函数和均方误差n误差函数n均方误差2022/11/22542022/11/222022/11/2254例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2-E/2T1/4-T1/4t2022/11/22552022/11/222022/11/2255对称方波有限项的傅里叶级数nN=1N=3N=5-0.5-0.4-0.
24、3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/11/22562022/11/222022/11/2256项数N越大，误差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/11/22572022/11/222022/11/2257由以上可见：nN越大，越接近方波n快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；n慢变信号，低频分量，主要影响顶部；n任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真n有吉伯斯现象发生202
25、2/11/222022/11/22584.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱n周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号n周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号n周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号n周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号n周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号2022/11/22592022/11/222022/11/2259一、一、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱f(t)f(t)t t0 0E E-T-TT T2022/11/22602022/11/222022/11/2260f(t)f(t)t t0 0E E-T-TT T2022/11/22612022/11/222022/11/22
26、61f(t)f(t)F Fn nt t0 00 0E ET T-T-T2022/11/22622022/11/222022/11/2262频谱分析表明频谱分析表明离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：F Fn n0 02022/11/22632022/11/22周期信号的功率
27、n例4.31 T=1s,=0.2s,E=12022/11/22642022/11/22周期矩形的频谱变化规律：若若T不变，在改变不变，在改变的情况的情况若若不变，在改变不变，在改变T时的情况时的情况T T2022/11/22652022/11/222022/11/2265对称方波是周期矩形的特例T TT/4T/4-T/4-T/4实偶函数周期矩形周期矩形奇谐函数奇谐函数对称方波对称方波对称方波对称方波奇次余弦奇次余弦奇次余弦奇次余弦2022/11/22662022/11/222022/11/2266对称方波的频谱变化规律对称方波的频谱变化规律T TT/4T/4-T/4-T/4奇次谐波奇次谐波奇次
28、谐波奇次谐波 0 02022/11/22672022/11/222022/11/2267傅立叶级数的系数T信号的周期脉宽基波频率1傅立叶级数小结傅立叶级数小结2022/11/22682022/11/222022/11/2268当周期信号的周期T无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量4.4非周期信号的频谱分析2022/11/22692022/11/222022/11/2269频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察-T/2-T/2T/2T/2T/2T/2-T/2-T/22022/11/22702022/11/222022/11/22701.从周期信号从周期信号FS推导非周期信号
29、的推导非周期信号的FT傅立叶傅立叶变换变换=FF f(t)2022/11/22712022/11/222022/11/22712.傅立叶的逆变换傅立叶的逆变换傅立叶傅立叶逆变换逆变换=FF -1 F()2022/11/22722022/11/22F()=FF f(t)F(j)f(t)=FF -1F()f(t)F()2022/11/22732022/11/222022/11/22733.从物理意义来讨论从物理意义来讨论FT (a)F()是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念 (b)F()是一个是一个连续谱连续谱 (c)F()包含了从零到无限高频的包含了从零到无限高频的所有频所有频率分量率分量
30、(d)各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波关系不成谐波关系2022/11/22742022/11/222022/11/2274傅立叶变换一般为复数傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数一般为复函数若若f(t)为实数，则幅频为偶函数为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数相频为奇函数2022/11/22752022/11/222022/11/22754.傅立叶变换存在的充分条件傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换一类函数也存在傅立叶变换2022/11/2276
31、2022/11/222022/11/22764.54.5典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号矩形脉冲信号符号函数符号函数冲激函数信号冲激函数信号冲激偶函数信号冲激偶函数信号阶跃函数信号阶跃函数信号2022/11/22772022/11/222022/11/22771.1.单边指数信号单边指数信号信号表达式幅频相频2022/11/22782022/11/222022/11/2278f(t)t0001.1.单边指数信号单边指数信号2022/11/22792022/11/222022/11/22792.2.双边指数信号双边指数信号202
32、2/11/22802022/11/222022/11/22802.2.双边指数信号双边指数信号00f(t)t2022/11/22812022/11/222022/11/22813.3.矩形脉冲信号矩形脉冲信号2022/11/22822022/11/222022/11/2282t02022/11/22832022/11/22奇异信号的傅氏变换n符号函数n冲激函数n冲激偶函数n阶跃函数2022/11/22842022/11/222022/11/22844.4.符号函数符号函数符号函数符号函数不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件2022/11/22852022/11/222022/11/22854.
33、4.符号函数符号函数2022/11/22862022/11/222022/11/2286-0Sgn(t)+1-1 f1(t)10t2022/11/22872022/11/222022/11/22875.5.冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换FF d d(t)=11 1、由定义由定义2、由极限概念由极限概念FF (1/)g(t)=(1/)Sa(/2)FF d d(t)=lim Sa(/2)=1 02022/11/22882022/11/222022/11/22885.5.冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换1t00FF d d(t)=12022/11/22892022/11/226、直流信号傅氏变换、直流信号傅氏变换FF-1d(w)10t0FF 1=2p p d d()2022/11/22902022/11/222022/11/22907.7.冲激偶的傅立叶变换冲激偶的傅立叶变换FF d d(t)=1FFFF2022/11/22912022/11/222022/11/22918.8.阶跃信号的傅立叶变换阶跃信号的傅立叶变换e(t)0t0FF2022/11/2292其它信号三角形脉冲 E(1-2|t|/t)|t|t/2-/2O/2tf(t)E2022/11/2293第二部分-/2 0 /2 tf(t)E