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1、第三章第三章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法引言：引言：在工程技术和科研领域，人们经常会遇到如下形式的方程求根问题：求解方程：其中，是的非线性函数。一、有关的基本概念一、有关的基本概念1、方程的分类：2、如果,那么称为方程函数的零点。3、如果那么称为方程的根或的m重根或函数的m重零点。特别地，如果m=1,则称为方程的单根或函数的单重零点。注：只有少数低次代数方程才有求根公式，5次以上代数方程及超越方程没有通用的求根公式。出于实际应用的需要，人们在无法求得方程根的精确值的情况下，开始研究如何用数值计算方法求得方程的满足指定精度要求的近似根。二、有关的基本定理：二、有关的基本定理：定理定
2、理1 1：（代数学基本定理）：（代数学基本定理）若是n次代数方程，则其恰有n个复根（重根个数按重数算）。定理定理2 2：为方程的m重根或函数的m重零点推论：推论：为方程的单根或函数的单重零点 定理定理3 3：若 在上连续，且则至少有一点使得若还在上单调，则有唯一一点使得3.1 根的搜索与二分法根的搜索与二分法问题：如何寻找隔根区间？，1、描图法：、描图法：P78被称为隔根区间隔根区间。2、逐步搜索法：、逐步搜索法：P79二等分含根区间，通过判别分点及区间左端点的符号（同号还是异号）确定新的含根区间，长度为分半前含根区间长度的一半。这样逐次分半下去，当含根区间长度充分小时，可从中得到满足指定精度
3、要求的近似根。4、二分法的操作过程：、二分法的操作过程：第一步：第一步：二分含根区间计算分点及若则若则考察及的符号：若与异号，则根必位于记即得新的含根区间内，3、二分法的基本原理：、二分法的基本原理：其长度亦为若与同号，则根必位于内，记即得新的含根区间其长度为第二步：二分新的含根区间计算分点及若则若则考察及的符号：若与异号，则根必位于内，记即得新的含根区间其长度为若与同号，则根必位于内，记即得新的含根区间其长度亦为如此逐次二分下去，第k步:二分前一步得到的含根区间计算分点及若则若则考察及的符号：若与异号，则根必位于内，记即得新的含根区间其长度为若与同号，则根必位于内，记即得新的含根区间其长度为
4、若取作为根的近似值，则（*）按上述操作过程，得到一序列且由可知：（*）定理：若在上连续、单调且则由二分法产生的序列收敛于方程在内的唯一实根若取作为根的近似值，则例1：求方程在区间 1,1.5内的实根，要求误差不超过解：在1,1.5上：连续，且故在1,1.5上单调，又有故可用二分法求在1,1.5内 的唯一实根的近似值。先预估二分的次数：由可得取列表计算如下：开始11.511.251.251.521.3751.251.37531.31251.31251.37541.34381.31251.343851.32811.31251.328161.32031.32031.328171.3242故方程在区间
5、 1,1.5内的近似根为1.3242.二分法的二分法的二分法的二分法的使用前提：使用前提：使用前提：使用前提：在上连续，单调且从而在内有唯一实根。推广到推广到：在上连续，且缺点：缺点：1、使用范围有限定，不能用于求偶数重根和复根。2、只用到函数值的符号，未用到计算出的函二分法的优缺点：二分法的优缺点：二分法的优缺点：二分法的优缺点：优点：优点：算法原理简单，由二分法得到的序列能确保收敛到方程的根。数值。3.2 迭代法及加速方法迭代法及加速方法一、迭代法的基本原理一、迭代法的基本原理给定非线性方程将它改写成如下等价形式：然后建立相应的迭代公式：选取一初始值代入上述迭代公式，经迭代得到一序列如果该
6、序列收敛于某一数且连续，则有即是原方程的根。注：注：将改写成等价形式：并不唯一，不同的改写方式就得到不同的迭代公式。用迭代法求解非线性方程必须分析其收敛性及收敛速度。P86，例1.二、迭代公式的收敛条件二、迭代公式的收敛条件1、定理、定理1：（全局收敛定理）：（全局收敛定理）迭代函数在且（1）任意总有（2）存在使得对任意总有上具有连续的一阶导数，设迭代函数（2）对任意初值迭代公式：产生的迭代序列均收敛于根（3）证明：（1）先证根的存在性：则（1）方程在内有唯一实根令则在a,b上连续。且则在a,b上必有根，记作再证根的唯一性：假设方程在a,b内还有一根，记作即则有从而矛盾。故方程在a,b内有唯一
7、实根。（2）对任意初值根据条件（1）从而（3）从而有（*）故例：证明：方程有且仅有一根。并确定区间a,b,使迭代公式对一切初值均收敛。代入（*）得又由P90，例，例2.证明：令则原方程：等价于下证有且仅有一根。在上，f(x)连续，且故在内存在一根，记为从而方程在实数域R上存在一根。假设还有一根则（*）故f(x)在R上单调上升，与而（*）矛盾，故方程有且仅有一根。从而原方程有且仅有一根。迭代公式对应的迭代函数为由于（1）当总有（2）存在使得对任意总有故根据全局收敛定理，迭代公式对一切初值均收敛。定理定理2:设迭代函数在方程的根的邻近有连续的一阶导数。且则迭代公式具有局部收敛性。P91，例，例3.（局部收敛定理）（局部收敛定理）二、迭代过程的加速方法二、迭代过程的加速方法二、迭代过程的加速方法二、迭代过程的加速方法1 1、迭代、迭代、迭代、迭代-加速公式加速公式加速公式加速公式设有迭代公式：改记为：根据微分中值定理：假设令即得如下加速公式：P93，例，例4假设在根的某个邻域内变化不大，则有两式相除：由此推出2 2、埃特金、埃特金、埃特金、埃特金(Aitken)加速方法加速方法加速方法加速方法令AitkenAitken加速法加速法 容易验证：当原迭代公式收敛时，有P94,(3.2.10)P95,例5.作业:P112,2