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1、第三章第三章 扭转扭转掌握问题掌握问题1、轴遭受扭转变形时的内力和外力计算方法。、轴遭受扭转变形时的内力和外力计算方法。2、扭矩图的做法及其应用、扭矩图的做法及其应用3、纯剪切、剪应变、剪切虎克定律、剪切弹性模量基本概念、纯剪切、剪应变、剪切虎克定律、剪切弹性模量基本概念4、圆轴受扭时，轴截面上剪应力的分布规律以及计算、圆轴受扭时，轴截面上剪应力的分布规律以及计算5、受扭圆轴的强度和刚度计算、受扭圆轴的强度和刚度计算一、扭转变形实例介绍一、扭转变形实例介绍汽车方向盘的转向轴汽车方向盘的转向轴机械传动中的传动轴机械传动中的传动轴攻丝过程中的丝锥攻丝过程中的丝锥搅拌器工作过程中的搅拌轴搅拌器工作过
2、程中的搅拌轴受扭轴受扭轴二、受力特点及变形特点二、受力特点及变形特点1、受力特点、受力特点受扭轴两端的截面上均受到平行力偶的作用，两外力偶大受扭轴两端的截面上均受到平行力偶的作用，两外力偶大小相等转向相反，作用面相互平行。小相等转向相反，作用面相互平行。2、变形特点、变形特点受扭构件的各横截面将绕轴线发生相对转动，原来与轴受扭构件的各横截面将绕轴线发生相对转动，原来与轴线平行的各纵向线均变成螺旋线。线平行的各纵向线均变成螺旋线。三、圆轴遭受扭转时所受外力和内力计算三、圆轴遭受扭转时所受外力和内力计算1、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算假设轴所传递的功率为假设轴所传递的功率为P(kW)，轴的转速为
3、，轴的转速为n(rpm)，则轴所受到的外力偶矩为则轴所受到的外力偶矩为(N.m)2、受扭圆轴中的内力性质分析及大小计算、受扭圆轴中的内力性质分析及大小计算(1)内力性质分析内力性质分析如图如图1所示，在轴两端截面作用两等值反向外力偶，则轴所示，在轴两端截面作用两等值反向外力偶，则轴发生的变形是扭转变形。发生的变形是扭转变形。mm（图（图1）nnm（图（图2）（图（图3）现考查轴当中现考查轴当中nn截面上的截面上的内力性质。内力性质。采用的方法采用的方法-截面法截面法如（图如（图2）所示，）所示，沿着沿着nn截面将轴截开，截面将轴截开，取左段作为研究对象取左段作为研究对象,为了保证左段轴的平衡，
4、在为了保证左段轴的平衡，在nn截面截面上肯定存在一个反向力偶的作用上肯定存在一个反向力偶的作用该力偶的力偶矩的大小为该力偶的力偶矩的大小为T=MenmmT称为扭矩称为扭矩同样取右段为研究对象，可得到同样取右段为研究对象，可得到截面上的扭矩截面上的扭矩n T和和 关系关系等值、反向，作用面相对平等值、反向，作用面相对平行，为一对行，为一对“作用力作用力”和和“反作用力反作用力”（2）扭矩的大小计算）扭矩的大小计算正负规定：正负规定：右手螺旋法则右手螺旋法则右手四指指向扭矩的转向，如果大拇指的指向背离扭矩作用右手四指指向扭矩的转向，如果大拇指的指向背离扭矩作用面的方向，则扭矩为正，反之，为负。面的
5、方向，则扭矩为正，反之，为负。扭矩图：扭矩图：扭矩的大小用扭矩图表示扭矩的大小用扭矩图表示作法：作法：沿着轴的轴线方向为沿着轴的轴线方向为X轴，表示轴横截面的位置，轴，表示轴横截面的位置，垂直于轴线的方向为扭矩轴，表示扭矩的大小，垂直于轴线的方向为扭矩轴，表示扭矩的大小，将其关系用矩形图表示。将其关系用矩形图表示。（3）实例：）实例：设某传动轴的转速设某传动轴的转速n=80r/min，各轮传递功率各轮传递功率N1=7.5kW，N2=1.5kW，N3=4.5kW，N4=1.5kW，计算各段的扭矩，计算各段的扭矩,画出扭矩图画出扭矩图N1N3N2N4N1N3N2N4解：解：v计算轴的外力矩计算轴的
6、外力矩同理同理v计算各段的扭矩计算各段的扭矩据右手螺旋法则，各段的扭矩依此为据右手螺旋法则，各段的扭矩依此为推论推论计算轴各段扭矩时，取计算轴各段扭矩时，取截面左段为研究对象，截面左段为研究对象，各外力矩顺时针转向为各外力矩顺时针转向为正，反之为负，截面扭正，反之为负，截面扭矩为各外力矩代数和，矩为各外力矩代数和，即即v做扭矩图做扭矩图-179N.m-716N.m179N.mxT注解：关于扭矩图的做法注解：关于扭矩图的做法沿着轴线方向，遇到顺时针（左视）的外力偶，其力偶矩为正，沿着轴线方向，遇到顺时针（左视）的外力偶，其力偶矩为正，在纵坐标轴上有一个向上的突变，反之，其力偶矩为负，在纵在纵坐标
7、轴上有一个向上的突变，反之，其力偶矩为负，在纵坐标轴上有一个向下的突变。坐标轴上有一个向下的突变。四、纯剪切四、纯剪切 剪应变剪应变 剪切虎克定律剪切虎克定律（一）薄壁圆筒（一）薄壁圆筒（r）受扭时的变形特点及受力特点分析）受扭时的变形特点及受力特点分析1、变形特点分析、变形特点分析m圆周线形状、大小及间距圆周线形状、大小及间距均未变，各横截面绕轴线转均未变，各横截面绕轴线转过相应的角度。过相应的角度。m各纵向线的长度、位置关系、各纵向线的长度、位置关系、间距不变，但都同时倾斜了一间距不变，但都同时倾斜了一个角度个角度。mpqpqaabbm pqpqaa1bb12、受力特点分析及推论、受力特点
8、分析及推论薄壁圆筒受扭时，其横截面上无轴向外力，也即横截面上薄壁圆筒受扭时，其横截面上无轴向外力，也即横截面上 无正应力存在。无正应力存在。薄壁圆筒受扭时，各纵向线倾斜相同的角度，因此薄壁圆薄壁圆筒受扭时，各纵向线倾斜相同的角度，因此薄壁圆 筒截面上各点的剪应力都相等。筒截面上各点的剪应力都相等。（二）纯剪切（二）纯剪切 剪应变剪应变 剪切虎克定律剪切虎克定律1、纯剪切、纯剪切 受扭构件的横截面上只有剪应力而没有正应力受扭构件的横截面上只有剪应力而没有正应力存在。存在。2、剪应变及剪应力互等定理、剪应变及剪应力互等定理（1）剪应变（）剪应变（）单元体在剪应力的作用下，原来的单元体在剪应力的作用
9、下，原来的直角将发生微小的改变，直角的改直角将发生微小的改变，直角的改变量即为剪应变。变量即为剪应变。薄壁圆筒受扭时，各横截面上都有扭矩作用，因此产生扭矩薄壁圆筒受扭时，各横截面上都有扭矩作用，因此产生扭矩的只能是截面上的剪应力的只能是截面上的剪应力。（2）剪应力互等定理）剪应力互等定理在单元体的两个相互垂直的截面上，剪应力同时存在，且大小在单元体的两个相互垂直的截面上，剪应力同时存在，且大小相等，方向同时指向或背离两个截面的交线。相等，方向同时指向或背离两个截面的交线。即即3、剪切虎克定律、剪切虎克定律G（纯剪切试验）（纯剪切试验）当剪应力不超过材料的剪切比例当剪应力不超过材料的剪切比例极限
10、时，剪应力与剪应变成正比。极限时，剪应力与剪应变成正比。即其中其中G是材料的剪切弹性模量是材料的剪切弹性模量注解：注解：对比拉伸变形中的虎克定律对比拉伸变形中的虎克定律单位：单位：MPa GPa五、圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律及强度计算五、圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律及强度计算（一）剪应力分布规律（一）剪应力分布规律mmmmnndxabmmnndxxxabo1、变形几何关系、变形几何关系试验现象试验现象轴表面的轴向线轴表面的轴向线ab变形后仍变形后仍近似为直线，只是倾斜一个近似为直线，只是倾斜一个角度角度；圆周线形状、大小、；圆周线形状、大小、间距不变，只是绕轴线旋转间距不变，只是
11、绕轴线旋转了不同的角度。了不同的角度。推论推论-变形几何关系变形几何关系其中其中则则在横截面在横截面nn上，距离中心上，距离中心o为为的任一点，其对应的的任一点，其对应的剪应变为剪应变为注解：注解：也即也即与与成正比成正比2、物理关系、物理关系-应力应变关系应力应变关系剪切虎克定律剪切虎克定律-当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间的关系满足剪切剪应力与剪应变之间的关系满足剪切虎克定律。即虎克定律。即推论推论1受扭轴横截面上任意点的剪应力与该点受扭轴横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在截面圆周上各到圆心的距离成正比，在截面圆周上
12、各点的剪应力最大，在圆心处为零。点的剪应力最大，在圆心处为零。maxmaxmax推论推论2横截面上任一点的剪应力的方向是顺着扭横截面上任一点的剪应力的方向是顺着扭矩的转向，垂直于过该点的圆半径。矩的转向，垂直于过该点的圆半径。MT3、静力学关系、静力学关系如右图所示，设轴横截面上的扭矩为如右图所示，设轴横截面上的扭矩为T，距离中心距离中心O的的处取微小面积处取微小面积dA，作用于，作用于其上的剪应力为其上的剪应力为。dAOMT则整个横截面上各微剪力对圆心则整个横截面上各微剪力对圆心O的力矩的力矩之和应等于横截面上的扭矩之和应等于横截面上的扭矩T即即其中其中则则由于当截面位置确定以后，由于当截面
13、位置确定以后，为常数，为常数，G是材料的剪切弹性模量，是材料的剪切弹性模量，定义定义其中其中Ip为横截面对圆心的极惯性矩，为横截面对圆心的极惯性矩，单位是单位是m4得剪应力的计算公式得剪应力的计算公式 代入代入讨论：讨论：当当时，（横截面边缘上各点）时，（横截面边缘上各点）定义定义实心圆形截面实心圆形截面空心圆形截面空心圆形截面为轴抗扭截面模量（纯几何），单位是为轴抗扭截面模量（纯几何），单位是m3当当=0时（横截面中心）时（横截面中心），由由定义定义GIP为构件的抗扭刚度，为构件的抗扭刚度，表示构件抵抗扭转变形的能力。定义定义为受扭轴单位长度的扭转角，单位是为受扭轴单位长度的扭转角，单位是/
14、m/m对于长度为对于长度为L的受扭圆轴，单位长度的扭转角的受扭圆轴，单位长度的扭转角讨论：讨论：（二）圆轴扭转时的强度及刚度条件及应用圆轴扭转时的强度及刚度条件及应用1、强度条件、强度条件假设圆轴扭转时横截面上的最大扭矩为假设圆轴扭转时横截面上的最大扭矩为T圆轴的抗扭截面模量为圆轴的抗扭截面模量为WP，材料的许用剪应力为材料的许用剪应力为则受扭圆轴的强度条件为则受扭圆轴的强度条件为2、刚度条件、刚度条件假设材料的剪切弹性模量为假设材料的剪切弹性模量为G，轴横截面对形心的极惯性矩，轴横截面对形心的极惯性矩为为IP，轴的单位长度的许用扭转角为轴的单位长度的许用扭转角为则受扭圆轴的刚度条件为则受扭圆
15、轴的刚度条件为其中其中塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T、D 和和，校核强度校核强度已知已知T 和和，设计截面设计截面已知已知D 和和，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T、D 和和 ，校核刚度校核刚度已知已知T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷3、应用、应用六、例题讲解六、例题讲解1、强度、刚度校核型、强度、刚度校核型一传动轴如图所示，电动机将功率一传动轴如图所示，电动机将功率输入输入B轮，再由轮，再由A轮及轮及C轮输出，已轮输出，已知知NB=7kW，NA=4.5kW，NC=2.5kW，轴的直径轴的直径
16、d=40mm，转速，转速n=50rpm，且不变，轴材料的许用应力且不变，轴材料的许用应力许用扭转角许用扭转角试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。NANBNC10002000解解:(1)强度校核强度校核计算各外力偶矩计算各外力偶矩由由得得MA=MB=MC=画扭矩图画扭矩图,确定最大扭矩确定最大扭矩MmaxMTX强度校核强度校核由于由于故轴的强度足够故轴的强度足够.（2）刚度校核）刚度校核由于由于故轴的刚度不能满足故轴的刚度不能满足.2、强度设计型、强度设计型 一传动轴如图所示，电动机将功率输入一传动轴如图所示，电动机将功率输入B轮，由轮，由A轮及轮及C轮输轮输出，已知出，已知NB=7kW
17、，NA=4.5kW，NC=2.5kW，轴转速，轴转速n=50rpm，且不变，轴材料的许用应力且不变，轴材料的许用应力许用扭转角许用扭转角试设计轴的直径。试设计轴的直径。解题思路：解题思路：3.3.某某汽汽车车主主传传动动轴轴钢钢管管外外径径D=76mm，壁壁厚厚t=2.5mm，传传递扭矩递扭矩T=1.98kNm，t t=100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。解解：计算截面参数：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理空心轴较实心轴合理。若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截空心轴与实心轴的截面面积比面面积比(重量比重量比)为：为：