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1、扭转变形的概念1第1页，本讲稿共41页汽车转向轴汽车转向轴传动轴传动轴研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆第2页，本讲稿共41页2.2.受力特点受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用，两构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。力偶大小相等，转向相反。且满足平衡方程且满足平衡方程且满足平衡方程且满足平衡方程:3.3.变形特点变形特点各横截面绕轴线发生相对转动各横截面绕轴线发生相对转动.扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直
2、角的改变量。直角的改变量。mmOBAxyzmmmm变形前变形前变形后变形后f fABabb/纵向线纵向线ab第3页，本讲稿共41页转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)m1分钟输入功：分钟输入功：1分钟分钟m 作功：作功：单位单位二、二、外力偶矩的计算外力偶矩的计算第4页，本讲稿共41页m-m-作用在轴上的外力偶矩，单位为作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿牛顿 米（米（N N m)m)；P P-轴传递的功率，轴传递的功率，P P的单位大多为的单位大多为千瓦千瓦(kW)kW)；n n-轴的转速，单位为轴的转速，单位为转转/分分(r/min)r/min)。其中：P 功率，千瓦（kW）
3、n 转速，转/分（r/min）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（r/min）其中：P 功率，马力（HP）n 转速，转/分（r/min）1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS功率，转速和力偶矩之间的关系功率，转速和力偶矩之间的关系第5页，本讲稿共41页圆轴扭转时的变形现象1、各圆周线绕轴线发生了相对转动，形状、大小及相互间距离均未发生变化2、所有纵向线均倾斜同一微小角度，原来的矩形格均变成平行四边形，但纵向线仍近似看作直线。第6页，本讲稿共41页 max圆轴扭转时的剪力分布因为横截面大小、形状、纵向间距均未发生变化2、横截面上有剪应力1、横截面上
4、无正应力因为相邻横截面间发生相对转动，即相对错动BT P maxAO第7页，本讲稿共41页杆扭转时的内力杆扭转时的内力 扭矩扭矩 杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为为扭矩扭矩。扭矩的符号规定扭矩的符号规定：用截面法求扭矩：用截面法求扭矩：mmmTx把扭矩按右手螺旋法则表示成矢量:4 4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向与外法线方向一致为正(离开截面为正离开截面为正)与外法线方向相反为负(指向截面为负指向截面为负)第8页，本讲稿共41页 在工程实际
5、中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上在工程实际中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化规律，这种图形称为的扭矩随横截面位置的变化规律，这种图形称为扭矩图。扭矩图。直接求扭矩图的简便方法：直接求扭矩图的简便方法：从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。（若从杆件最右端升；外力偶向下为负，扭矩下降。（若从杆件最右端直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。）偶向上为负，扭矩下降。）外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩外力偶作
6、用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。一扭矩依次相加的代数值。待画完扭矩图后可检查扭矩图两端的扭矩待画完扭矩图后可检查扭矩图两端的扭矩与两端外力偶是否相对应，以确保扭矩图正确无误。与两端外力偶是否相对应，以确保扭矩图正确无误。2.2.扭矩图扭矩图第9页，本讲稿共41页 例例1 1 某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速某传动轴如图，转速n=700r/minn=700r/min，主动轮的输入功率为，主动轮的输入功率为，主动轮的输入功率为，主动轮的输入功率为P PA A=400k
7、W=400kW，从动轮，从动轮，从动轮，从动轮B B、C C 和和和和D D 的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为的输出功率分别为P PB B=P PC C=120kW=120kW，P PD D=160kW=160kW。试作轴的。试作轴的。试作轴的。试作轴的扭矩图。扭矩图。扭矩图。扭矩图。解解：1.由功率与转速关系计算外力偶矩：由功率与转速关系计算外力偶矩：由功率与转速关系计算外力偶矩：由功率与转速关系计算外力偶矩：第10页，本讲稿共41页B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kNmT 图图图图1.642.简便方法求扭矩简便方法
8、求扭矩（1）（从左端开始从左端开始）1.64 MC向下，扭矩下降向下，扭矩下降2.18 MD向下，扭矩下降向下，扭矩下降 1.64 MB向下，扭矩下降向下，扭矩下降 从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。扭矩下降。外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。值。5.46MA向上，扭矩上升向上，扭矩上升第11页，本讲稿共41页B B
9、MMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kNmT T 图图1.645.46 MA向上，扭矩上升向上，扭矩上升2.2.简便方法求扭矩（简便方法求扭矩（1 1）（从左端开始）从左端开始）再看一次再看一次 1.64 MC向下，扭矩下降向下，扭矩下降2.18 MD向下，扭矩下降向下，扭矩下降 1.64 MB向下，扭矩下降向下，扭矩下降第12页，本讲稿共41页B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kNmT 图图图图1.645.46 MA向上向上,扭矩下降扭矩下降1.64 MC向下，扭矩上升向下，扭矩上升2
10、.简便方法求扭矩（简便方法求扭矩（2）（从右端开始）（从右端开始）2.18 MD向下，扭矩上升向下，扭矩上升 1.64 MB向下，扭矩上升向下，扭矩上升 从杆件最右端直接画扭矩图，则从杆件最右端直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。偶向上为负，扭矩下降。外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。第13页，本讲稿共41页B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA
11、 AD D3.282.18ACBDT/kNmT T 图图1.645.46 MA向上向上,扭矩下降扭矩下降1.64 MC向下，扭矩上升向下，扭矩上升2.简便方法求扭矩（简便方法求扭矩（2）（从右端开始）（从右端开始）再看一次再看一次 2.18 MD向下，扭矩上升向下，扭矩上升 1.64 MB向下，扭矩上升向下，扭矩上升第14页，本讲稿共41页 例例2 2 图示传动轴上，经由图示传动轴上，经由A A轮输入功率轮输入功率10kW10kW，经，经由由B B、C C、D D轮输出功率分别为轮输出功率分别为2kW2kW、3kW3kW、5kW5kW。轴的转速。轴的转速n n=300r/min=300r/mi
12、n，求作该轴的扭矩图。如将，求作该轴的扭矩图。如将A A、D D轮的位置更换放置轮的位置更换放置是否合理？是否合理？ACBD第15页，本讲稿共41页ACBD经由经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为解：解：第16页，本讲稿共41页ACBD（-）扭矩扭矩T-图图（+）（在（在CA段和段和AD段）段）第17页，本讲稿共41页将将A、D轮的位置更换，则轮的位置更换，则ACBD扭矩扭矩T-图图（-）（AD段）段）因此将因此将A、D轮的位置更换不合理。轮的位置更换不合理。第18页，本讲稿共41页课堂练习课堂练习 求如图所示传动轴求如图所示传动轴1-11-1截面和截面和2-22-2
13、截面的扭矩，截面的扭矩，并画扭矩图。并画扭矩图。解：解：用截面法求扭矩用截面法求扭矩1 1）取）取1-11-1截面左侧截面左侧2 2）取）取2-22-2截面右侧截面右侧3 3）作出扭矩图如图。）作出扭矩图如图。1.2kN m1.8kN m=1.8kN m=3kN m=1.2kN m1122第19页，本讲稿共41页等直圆杆扭转时横截面上的应力等直圆杆扭转时横截面上的应力直杆直杆TAdOmax第20页，本讲稿共41页从变形几何关系和静力学平衡关系（证明从略）可以推知：横截面任一点的切应力与扭矩横截面任一点的切应力与扭矩T T成正比，与该点到轴线的距离成正比，与该点到轴线的距离 成正比，与截面的极惯
14、性矩成正比，与截面的极惯性矩IpIp成反比成反比，其切应力公式为:仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆等圆截面直杆式中：式中：T T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第21页，本讲稿共41页Wn抗扭截面系数，是横截面抵抗扭转破坏的截面几何量，单位为mm3最大切应力发生在截面圆周边缘处，即=R 时，其值为a)b)图图6-9 6-9 圆轴扭转切应力分布规律圆轴扭转切应力分布规律a
15、a）实心轴）实心轴 b b）空心轴）空心轴 第22页，本讲稿共41页对于实心圆截面：对于实心圆截面：DO对于空心圆截面：对于空心圆截面：OdDd第23页，本讲稿共41页 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重重量轻量轻,结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。第24页，本讲稿共41页采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料因为因为 根据应力分布规律，根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附
16、近处的材料没有较好地发挥其作用；言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩材料分布远离轴心，其极惯性矩IpIp必大于实心轴，扭转截面系必大于实心轴，扭转截面系数数WpWp也比较大，强度和刚度均可提高；也比较大，强度和刚度均可提高；通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度
17、或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。第25页，本讲稿共41页 扭转切应力强度准则扭转切应力强度准则 与拉（压）杆的强度计算一样，圆轴扭转时必须使最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算对于等截面圆轴，最大切应力一定发生在扭矩最大的截面上；而对于阶梯轴，由于各段截面的Wn不同，最大切应力因此需综合考虑Wn和T两个量来确定。第26页，本讲稿共41页（1 1）扭转角扭转角等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形G 剪切弹性模量，取值与材料有关。单位是MPa.（2 2）单位扭转角）单位扭转角圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件(rad/m)（0）/m第27页，
18、本讲稿共41页结论：结论：1 1 1 1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向确定。确定。确定。确定。2 2 2 2）截面任一处截面任一处截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）r r=T /Ir r max=T/Wn d
19、 dD Do o空空心心圆圆轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o T T maxmax T T r r r r maxmax第28页，本讲稿共41页例例3 3 一传动轴，已知一传动轴，已知d d=4=4 5cm,5cm,n n=300r/min=300r/min。主动轮输入功率。主动轮输入功率P PA A=36=36 7kW,7kW,从动轮从动轮B B、C C、D D输出的功输出的功P PB B=14=14 7kW,7kW,P PC C=P=PD D=11kW=11kW。轴的材料为。轴的材料为4545号钢，号钢，G G=80=80 10103 3MPaMPa，=40MPa,=40MPa,=2=2/
20、m/m，试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。解解 (1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩 (2)(2)画扭矩图画扭矩图画扭矩图画扭矩图,求最大扭矩求最大扭矩求最大扭矩求最大扭矩 用截面法求得用截面法求得用截面法求得用截面法求得ABABABAB.ACACACAC.CDCDCDCD各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为:第29页，本讲稿共41页(3)(3)强度校核强度校核强度校核强度校核 满足强度条件满足强度条件满足强度条件满足强度条件.(4)(4)刚度校核刚度校核刚度校核刚度校核故满足刚度条件故满足刚度条件故满足刚度条件故满足刚度条件第30
21、页，本讲稿共41页例例4已知已知A A轮输入功率为轮输入功率为50kW50kW，B B、C C、D D轮输出功率分别为轮输出功率分别为15kW15kW、15kW15kW、20kW20kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min300r/min，=60MPa=60MPa。试设计该轴直径试设计该轴直径d d。BCADMBMCMDMA477.5Nm955Nm637NmT解解 （1 1）计算外力偶矩，画扭矩图计算外力偶矩，画扭矩图计算外力偶矩，画扭矩图计算外力偶矩，画扭矩图第31页，本讲稿共41页选：选：d=45mmTmax=955Nm（2）由强度条件设计轴直径由强度条件设计轴直径第32页，本讲稿共4
22、1页例例5 5 联联轴轴节节如如图图。轴轴径径D D=100mm=100mm=100mm=100mm，四四四四个个个个直直直直径径径径d d d d=20mm=20mm=20mm=20mm的的的的螺螺螺螺栓栓栓栓对对对对称称称称置置置置于于于于D D1 1=320mm=320mm=320mm=320mm的的的的圆圆圆圆周周周周上上上上，t t=12mm=12mm=12mm=12mm。若若若若 =80MPa=80MPa。试试确确定定许用的扭矩许用的扭矩 M M。解：解：考虑轴的扭转强度条件考虑轴的扭转强度条件:16/3maxmax p p =DMWTn16/3DMp p kN m mm)(N 7
23、.15.107.1516/1008063 =p pt tt tD D1 1MMo oD D第33页，本讲稿共41页 例例6 6 5 5吨单梁吊车，吨单梁吊车，P P=3.7kW,=3.7kW,n n=32.6r/min,=32.6r/min,轴用轴用4545号号钢，钢，=40=40MPa,MPa,G G=8010=80103 3MPa,MPa,=1=1 /m /m。试选择传试选择传动轴动轴CDCD的直径，并校核其扭转刚度。的直径，并校核其扭转刚度。第34页，本讲稿共41页解解解解（1 1 1 1）计算扭矩）计算扭矩）计算扭矩）计算扭矩轴轴轴轴CDCD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩各截面上
24、的扭矩等于车轮所受的外力偶矩各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T T T T轮轮，则则马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为车轮所消耗的功率为(Nm)(Nm)第35页，本讲稿共41页（2 2 2 2）计算轴的直径计算轴的直径计算轴的直径计算轴的直径 选取轴的直径选取轴的直径 d d=45mm=45mm。（3 3 3 3）校核轴的刚度）校核轴的刚度）校核轴的刚度）校核轴的刚度 第36页，本讲稿共41页例例7 7 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930Nm,T
25、=1930Nm,传动轴用外径传动轴用外径D=89mmD=89mm、壁厚壁厚=2.5=2.5mmmm的钢管做成。材料为的钢管做成。材料为2020号钢，号钢，=70=70MPa,MPa,校核此轴的强度。校核此轴的强度。解解（1 1）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量(cm(cm3 3)第37页，本讲稿共41页（2 2 2 2）强度校核强度校核强度校核强度校核 满足强度要求满足强度要求第38页，本讲稿共41页解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力轴的最大剪应力例例8 8 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外
26、径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为Tmax=1500 Nm,试校核此轴的强度。已知试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径径D1为多少？为多少？第39页，本讲稿共41页所以此轴安全所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而式中式中解得：解得：第40页，本讲稿共41页实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。第41页，本讲稿共41页