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1、 相交线与平行线相交线与平行线 相交线相交线 平行线及其判定平行线及其判定 平行线的性质平行线的性质相相交交线线与与平平行行线线 相相交交线线 平平行行线线补角、余角、对顶角补角、余角、对顶角第第二二章章探索直线平行的探索直线平行的特征特征探索直线平行的探索直线平行的条件条件同位角同位角 内错角内错角 同旁内角同旁内角本章知识结构图：本章知识结构图：作一条线段等于已知线段，作一个角等作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。于已知角。尺规作图尺规作图两个角的和是两个角的和是_，称这两个角互为余角。，称这两个角互为余角。两个角的和是平角，称这两个角互为两个角的和是平角，称这两个角互为_。有公共
2、顶点，两边互为反向延长线的两个有公共顶点，两边互为反向延长线的两个 角叫做角叫做_。_ _的余角相等；的余角相等；同角或等角的同角或等角的_相等；相等；对顶角对顶角_。直角直角补角补角对顶角对顶角同角或等角同角或等角补角补角相等相等1 1 概念，性质填空概念，性质填空：回顾回顾&思考思考回顾与思考两直线相交形成两直线相交形成两直线相交形成两直线相交形成 4 4 4 4 个角个角个角个角，1 12 23 34 4互补的互补的互补的互补的从位置关系上讲从位置关系上讲从位置关系上讲从位置关系上讲2 2 2 2与与与与4 4 4 4形成形成形成形成 角角角角；对顶对顶对顶对顶数量关系上讲，数量关系上讲
3、，数量关系上讲，数量关系上讲，1 1 1 1与与与与2 2 2 2形成形成形成形成 角角角角，2 1 1 1 1、你学过了哪些具有特殊位置关系的角你学过了哪些具有特殊位置关系的角你学过了哪些具有特殊位置关系的角你学过了哪些具有特殊位置关系的角?2 2 2 2、两条直线相交，交成几个角两条直线相交，交成几个角两条直线相交，交成几个角两条直线相交，交成几个角?这些角都有什么样的关系这些角都有什么样的关系这些角都有什么样的关系这些角都有什么样的关系?对顶角对顶角对顶角对顶角.两条直线相交成的四个角中有对顶角两条直线相交成的四个角中有对顶角两条直线相交成的四个角中有对顶角两条直线相交成的四个角中有对顶
4、角 对对对对.两两两两3 3 3 3、若两条直线被第三条直线所截，形成几个角若两条直线被第三条直线所截，形成几个角若两条直线被第三条直线所截，形成几个角若两条直线被第三条直线所截，形成几个角?1 13 37 75 52 24 48 86 6D DC CA AB BE EF F 三条直线构成的八个角之间除三条直线构成的八个角之间除三条直线构成的八个角之间除三条直线构成的八个角之间除以上这些角的关系外，还有什么样的以上这些角的关系外，还有什么样的以上这些角的关系外，还有什么样的以上这些角的关系外，还有什么样的关系关系关系关系 同位角同位角 内错角内错角 同旁内角同旁内角F F1 13 37 75
5、52 24 48 86 6D DC CA AB BE E图图图图2-62-62-62-61 1 1 12 2 2 24 4 4 43 3 3 37 7 7 76 6 6 65 5 5 58 8 8 8同位角是同位角是同位角是同位角是 F F 形状形状形状形状右上右上右上右上左上左上左上左上左下左下左下左下右下右下右下右下在图在图1 1中，中，1 1与与2 2是同位角的有（是同位角的有（）A A、B B、C C、D D、c2 2 2 27 7 7 7A A A AB B B B内错角象个什么呢？内错角象个什么呢？内错角象个什么呢？内错角象个什么呢？我们称我们称我们称我们称2 2 2 2和和和和7
6、 7 7 7为为为为内错角内错角内错角内错角。Z Z内错角:“内内内内”的涵义：的涵义：的涵义：的涵义：两直线的内部两直线的内部两直线的内部两直线的内部(两直线之间两直线之间两直线之间两直线之间););););“错错错错”的涵义：的涵义：的涵义：的涵义：第三直线的两侧第三直线的两侧第三直线的两侧第三直线的两侧1 13 37 75 52 24 48 86 6D DC CA AB BE EF F同同 旁旁 内内 角角F F F F1 1 1 13 3 3 37 7 7 75 5 5 52 2 2 28 8 8 86 6 6 6D D D DC C C CA A A AB B B BE E E E4
7、 4 4 47 7 7 72 2 2 2 与与与与 是内错角是内错角是内错角是内错角;4 4 4 45 5 5 5 与与与与 是内错角是内错角是内错角是内错角;5 5 5 52 2 2 27 7 7 74 4 4 42 2 2 2 与与与与 5 5 5 5 是是是是 角角角角;7 7 7 7 与与与与 4 4 4 4 是是是是 角角角角;同旁内同旁内同旁内同旁内同旁内同旁内同旁内同旁内“内内内内”的涵义的涵义的涵义的涵义?“旁旁旁旁”的涵义的涵义的涵义的涵义:二直线之内二直线之内二直线之内二直线之内;第三直线第三直线第三直线第三直线的同旁的同旁的同旁的同旁F F1 13 37 75 52 28
8、 86 6D DC CA AB BE E4 4构成的八个角中构成的八个角中构成的八个角中构成的八个角中 两直线被第三直线所截,位于两直线位于两直线位于两直线位于两直线同一方同一方同一方同一方、位于两直线的位于两直线的位于两直线的位于两直线的 且在第三直线的且在第三直线的且在第三直线的且在第三直线的 的两个角叫做的两个角叫做的两个角叫做的两个角叫做 内错角内错角内错角内错角 且在第三直线且在第三直线且在第三直线且在第三直线同一侧同一侧同一侧同一侧的的的的 两个角，叫做两个角，叫做两个角，叫做两个角，叫做 同位角同位角同位角同位角内部内部内部内部两侧两侧两侧两侧 位于两直线的位于两直线的位于两直线
9、的位于两直线的 ,且在第三直线的且在第三直线的且在第三直线的且在第三直线的 的的的的 两个角两个角两个角两个角,叫做叫做叫做叫做 同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角 ;内部内部内部内部同旁同旁同旁同旁同位角是同位角是同位角是同位角是 F F F F 形状形状形状形状内错角是内错角是内错角是内错角是 形状形状形状形状Z Z Z Z同旁内角是同旁内角是同旁内角是同旁内角是 形状形状形状形状U U U U知识的回顾知识的回顾 1 1、例：如右图、例：如右图1 1 互为余角互为余角_互为补角的有互为补角的有_图中有对顶角吗图中有对顶角吗?答答:_:_一、余角、余角、补角、补角、对顶角、对顶角、(对顶角相
10、等对顶角相等)2 2、如右图、如右图2 2 对顶角有对顶角有_对对.它们分别是它们分别是_例：找出图例：找出图4 4中的同位角，内错角，同旁内角：中的同位角，内错角，同旁内角：同位角有同位角有_内错角有内错角有_同旁内角有同旁内角有_ _ 二、二、同位角，内错角，同旁内角。同位角，内错角，同旁内角。如图，下列说法错误的是（如图，下列说法错误的是（）A A、A A和和B B是同旁内角是同旁内角 B B、1 1和和3 3是同位角是同位角C C、2 2和和B B是同位角是同位角 D D、2 2和和3 3是内错角是内错角 三、两直线平行的判定：三、两直线平行的判定：同位角同位角_，两直线平行。，两直线
11、平行。内错角内错角_，两直线平行。，两直线平行。同旁内角同旁内角_，两直线平行，两直线平行。例：如图例：如图5 5，由，由1=31=3得得_/_()_/_()由由2=32=3得得_/_()_/_()由由3+4=1803+4=180得得_/_()_/_()由由2+4=1802+4=180得得_/_()_/_()相交相交相交相交 或平行或平行或平行或平行 的两直的两直的两直的两直线叫做两平行线线叫做两平行线线叫做两平行线线叫做两平行线.同一平面内同一平面内同一平面内同一平面内，不相交，不相交，不相交，不相交同一平面内同一平面内同一平面内同一平面内(无公共点无公共点无公共点无公共点)根据平行线的定义
12、，两条直线平行必须符合什么条件根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件?(1)(1)(1)(1)同一平面内；同一平面内；同一平面内；同一平面内；(2)(2)(2)(2)没有交点没有交点没有交点没有交点 在同一平面内两条直线的位置关系是在同一平面内两条直线的位置关系是 平行线及其判定平行线及其判定如图，三根木条相交成如图，三根木条相交成1 1，2 2，固定木条，固定木条b b、c c，转动木条，转动木条a a当当1 12 2时时当当1 12 2时时当当1 12 2时时直线直线a a和和b b不平行不
13、平行直线直线 abab直线直线a a和和b b不平行不平行二、判断两直线平行同位角同位角同位角同位角 ，两直线平行，两直线平行，两直线平行，两直线平行.内错角内错角 ，两直线平行，两直线平行.同旁内角同旁内角 ，两直线平行，两直线平行.考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两直线的桥梁直线的桥梁直线的桥梁直线的桥梁考察考察考察考察(被第三直线截成的八个角中被第三直线截成的八个角中被第三直线截成的八个角中被第三直线
14、截成的八个角中)不共顶点的两个角不共顶点的两个角不共顶点的两个角不共顶点的两个角,是否满足是否满足是否满足是否满足某种数量关系某种数量关系某种数量关系某种数量关系 .a a a ab b b bl l l l相等相等相等相等相等相等相等相等互补互补互补互补抓住被考察的两直线、寻找第三线；抓住被考察的两直线、寻找第三线；抓住被考察的两直线、寻找第三线；抓住被考察的两直线、寻找第三线；找出不共顶点的两个角及其数量关系，找出不共顶点的两个角及其数量关系，找出不共顶点的两个角及其数量关系，找出不共顶点的两个角及其数量关系，是判定两直线平行的必要途径。是判定两直线平行的必要途径。是判定两直线平行的必要途
15、径。是判定两直线平行的必要途径。b ba ac c如图：直线如图：直线如图：直线如图：直线 a a 与与与与b b 直线平行。直线平行。直线平行。直线平行。（1 1）测量同位角测量同位角测量同位角测量同位角1 1和和和和5 5的的的的大小，它们有什么关系？大小，它们有什么关系？大小，它们有什么关系？大小，它们有什么关系？相等：相等：相等：相等：1=1=5 5。图中还有其它同位角吗？图中还有其它同位角吗？图中还有其它同位角吗？图中还有其它同位角吗？它们的大小有什么关系？它们的大小有什么关系？它们的大小有什么关系？它们的大小有什么关系？2=2=6 6、3=3=7 7、4=4=8 8；还有三对还有三
16、对还有三对还有三对同位角。同位角。同位角。同位角。（2 2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3 3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？有两对内错角：有两对内错角：有两对内错角：有两对内错角：3=3=5 5、4=4=6 6；4=4=2 2，2=2=6 6，4=4=6 6。同
17、理：同理：同理：同理：3=3=5 5 有两对同旁内角：有两对同旁内角：有两对同旁内角：有两对同旁内角：4+4+5=1805=180，3+3+6=1806=180。从中，你发现了什么规律吗？从中，你发现了什么规律吗？8 83 31 12 24 45 57 76 6简记为：简记为：两条平行直线被第三条直线直线所截，两条平行直线被第三条直线直线所截，两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。两类定理的比较两条平行直线被第
18、三条直线直线所截，两条平行直线被第三条直线直线所截，两条平行直线被第三条直线直线所截，两条平行直线被第三条直线直线所截，同位角相等，同位角相等，同位角相等，同位角相等，两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。判定定理判定定理判定定理判定定理性质定理性质定理性质定理性质定理条件条件条件条件结论结论结论结论条件条件条件条件结论结论结论结论1 1 1 1、判定定理与性质定理的判定定理与性质定理的判定定理与性质定理的判定定理与性质定理的条件与结论有什么关系条件与结论有什么关系条件与结论有什么关系条件与结论有
19、什么关系？互换。互换。互换。互换。内错角相等，内错角相等，内错角相等，内错角相等，两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补2 2 2 2、使用判定定理时使用判定定理时使用判定定理时使用判定定理时是是是是 已知已知已知已知 ，说明，说明，说明，说明 角的相等或互补角的相等或互补角的相等或互补角的相等或互补二直线平
20、行二直线平行二直线平行二直线平行 使用性质定理时使用性质定理时使用性质定理时使用性质定理时是是是是 已知已知已知已知 ，说明，说明，说明，说明 。二直线平行二直线平行二直线平行二直线平行角的相等或互补角的相等或互补角的相等或互补角的相等或互补 四、四、平行线的特征平行线的特征:两直线平行，同位角两直线平行，同位角_._.两直线平行，内错角两直线平行，内错角_._.两直线平行，同旁内角两直线平行，同旁内角_._.ABCD(ABCD(已知已知)ABE=_(ABE=_(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)ADBE(ADBE(已知已知)D=_()D=_()ABE=D (ABE=D (等量代换等
21、量代换)如右图如右图,AB/CD,AD/BE,AB/CD,AD/BE,试说明试说明ABE=D.ABE=D.（1 1）A A的余角是的余角是2020，那么，那么A A等于等于_度度.（2 2）A A与与B B互互补补，如如果果A=36A=36，那那么么B B的的度度数为数为_._.（3 3）如图所示，）如图所示，AOC=36AOC=36，DOE=90DOE=90，则，则BOE=_.BOE=_.（4 4）如图中，如图中，有有_对对顶角对对顶角.巩固练习巩固练习（5 5）如图中，已知四条直线）如图中，已知四条直线ABAB，BCBC，ACAC，DEDE。问：问：1=21=2是直线是直线_和直线和直线_
22、被直线被直线_所截而成的所截而成的_角角.1=3 1=3是直线是直线_和直线和直线_被直线被直线_所截而成的所截而成的_角角.4=54=5是直线是直线_和直线和直线_被直线被直线_所截而成的所截而成的_角角.2=52=5是直线是直线_和直线和直线_被直线被直线_所截而成的所截而成的_角角.（）如图：（）如图：1=21=2，_,_,理由是理由是_._.ABDC,3=_,ABDC,3=_,理由是理由是_._.AD_,5=ADC,AD_,5=ADC,理由是理由是_._.(（7 7）如图）如图1-7,1-7,已知已知B B、C C、E E在同一直线上，在同一直线上，且且CD/AB,CD/AB,若若A=
23、105,B=40,A=105,B=40,则则ACEACE为为(8)(8)如图如图1-8,a/b,1-8,a/b,且且2 2是是1 1的的2 2倍倍,那么那么2 2等于等于 (9)(9)如图如图1-6,11-6,1和和2 2互补互补,3=130,3=130,那么那么4 4的度数是的度数是(10)(10)如图如图1-10,1-10,若若1+2+3+4=180,1+2+3+4=180,则则 （1111）如图，已知）如图，已知AD/BCAD/BC，1=21=2，A=112A=112，且，且BDCDBDCD，则，则ABC=_ABC=_，C=_.C=_.如图，CDAB，EFAB，1=2，则AGD与ACB相
24、等吗？请说明理由。一艘轮船从一艘轮船从A港出发沿着北偏东港出发沿着北偏东65方方向航行，行驶至向航行，行驶至B处转向北偏西处转向北偏西25方方向航行，到达向航行，到达C处需要把航向恢复到出处需要把航向恢复到出发时的航向，问应如何调整航向？发时的航向，问应如何调整航向？如图，已知ADBC，BO，CO分别平分ABC，DCB。若A+D=m，则BOC=。如图，点A、B、D共线，且BMAC，BNDE。若C=45，EBC=60，E=30，求MBN的度数。如果A和B的两边分别平行，那么A和B的关系是 。两平行直线被第三条直线所截，则结论错误的是（）A、内错角的平分线互相平行B、同旁内角的平分线互相垂直C、同
25、位角的平分线平行D、同位角的平分线不一定平行。如图，如果ABEF，用含有 的式子表示x2 2、如图，如图，如图，如图，1=1=2=552=55，3 3等于多少度？等于多少度？等于多少度？等于多少度？直线直线直线直线ABAB、CDCD平行吗？平行吗？平行吗？平行吗？说明你的理由。说明你的理由。说明你的理由。说明你的理由。第第第第2 2题图题图题图题图312ABFCDE因为因为 1=2=55 3和和 2是对顶角，是对顶角，所以所以 3=1=55所以所以AB CD.随堂练习而对顶角相等而对顶角相等而对顶角相等而对顶角相等如图，如图，1和和2是同位角的是（）是同位角的是（）12121212(A)(B)
26、(C)(D)D(3)找出下图互相平行的直线找出下图互相平行的直线abmn1305050 同位角有同位角有同位角有同位角有4 4对对对对：内错角有内错角有内错角有内错角有2 2对：对：对：对：同旁内角有同旁内角有同旁内角有同旁内角有2 2对：对：对：对：1 1和和和和2,2,3 3和和和和4,4,5 5和和和和6,6,7 7和和和和8.8.7 7和和和和2,2,5 5和和和和4.4.7 7和和和和4,4,5 5和和和和2 2在三线八角中在三线八角中在三线八角中在三线八角中F F1 13 37 75 52 28 86 6D DC CA AB BE E4 4 说明说明说明说明(证明证明证明证明)二直
27、线平行二直线平行二直线平行二直线平行,要根据已知条件要根据已知条件要根据已知条件要根据已知条件,选定选定选定选定同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等、内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等及及及及同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补之一，来进行。之一，来进行。之一，来进行。之一，来进行。练习中要练习中要练习中要练习中要注意书写格式的规范注意书写格式的规范注意书写格式的规范注意书写格式的规范的训练。的训练。的训练。的训练。为什么为什么“内错角相等时内错角相等时,二直线平行二直线平行”已知已知已知已知:如图如图如图如图,二直线二直线二直线二直线a a、b bb ba a被第三直线
28、被第三直线被第三直线被第三直线 c c 所截所截所截所截,c求证求证求证求证:直线直线直线直线 a a b.b.1 12 23 3内错角内错角内错角内错角 11=2.2.2.2.证明证明证明证明:设设设设11的对项角是的对项角是3,3,33=1,1,1,1,()对顶角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等 11=2,()2,()2,()2,()已知已知已知已知 33=2;()2;()2;()2;()直线直线直线直线 a a b.b.().().等量代换等量代换等量代换等量代换同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.证明思路证明思路证明思路证明思路二二二二
29、直线平行直线平行直线平行直线平行同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等为什么“同旁内角互补时,二直线平行”已知已知已知已知:如图如图如图如图,二直线二直线二直线二直线a a、b bb ba a被第三直线被第三直线被第三直线被第三直线 c c 所截所截所截所截,c求证求证求证求证:直线直线直线直线 a a b.b.2 2同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角 11与与与与2 2 2 2互补互补互补互补 .证明证明证明证明:设设设设11的的角是角是3,3,已知已知已知已知 3 3;();();();()直线直线直线直线 a
30、 a b.b.().().证明思路证明思路证明思路证明思路二二二二直线平行直线平行直线平行直线平行同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等 同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补1 1同角的补角同角的补角同角的补角同角的补角相等相等相等相等补补补补互补互补互补互补=2222同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等同角的补角同角的补角同角的补角同角的补角相等相等相等相等 11、2222 ,(),(),(),()设设设设11的的角是角是3,3,3 3;();();();()3 3补补补补=2222同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.3 3 3 3