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1、勾股定理单元勾股定理单元 易错题测试基础卷易错题测试基础卷一、选择题一、选择题1如图，长方体的长为15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B 离点 C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cmA25B20C24D1052“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b，若（ab）221，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为（）A3B4C5D63如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离
2、地面2.4米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A0.8米B2米C2.2米D2.7米4在ABC 中，BCA=90,AC=6,BC=8,D 是 AB 的中点，将ACD 沿直线 CD 折叠得到ECD，连接 BE，则线段 BE 的长等于（）A57B5C145D3655如图，在等腰RtABC中，C 90，AC 8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持ADCE连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形 CDFE 不可能为正方形；DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积
3、保持不变；CDE 面积的最大值为 8其中正确的结论是（）AA1BB2CC2DD36已知，等边三角形 ABC 中，边长为 2，则面积为（）7如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm，BC 8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A2cmB3cmC4cmD5cm8如图，已知 AB 是线段 MN 上的两点，MN12，MA3，MB3，以 A 为中心顺时针旋转点 M，以点 B 为中心顺时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，当ABC 为直角三角形时 AB 的长是（）A3B5C4 或 5D3 或 519小明学了在数轴上画出表示无理数的点
4、的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数 2 的点 A，然后过点 A 作 ABOA，使 AB=3(如图)以 O 为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点 P 所表示的数介于()A1 和 2 之间B2 和 3 之间C3 和 4 之间D4 和 5 之间10如图，在ABC中，D、E分别是BC、AC的中点已知ACB90，BE 4，AD7，则AB的长为（）A10B5 3C2 13D2 15二、填空题二、填空题11如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm 和 1 dm，A 和 B是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物请
5、你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm12如图，ABC 是一个边长为 1 的等边三角形，BB1是ABC 的高，B1B2是 ABB1的高，B2B3是 AB1B2的高，Bn-1Bn是 ABn-2Bn-1的高，则 B4B5的长是_，猜想 Bn-1Bn的长是_13如图，已知DBC 是等腰直角三角形，BE 与 CD 交于点 O，BDC=BEC=90，BF=CF，若 BC=8，OD=2，则 OF=_.14算法统宗中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点 A 离地 1 尺，将它往前推送 10 尺(水平距离)时，点 A 对应的点 B 就和某人一
6、样高，若此人的身高为 5 尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为_尺.15如图，在等边ABC 中，AB6，AN2，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_16如图，长方形 ABCD 中，A=ABC=BCD=D=90，AB=CD=6，AD=BC=10，点 E 为射线AD 上的一个动点，若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，当ABC 为直角三角形时，AE的长为_17已知 x，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_18如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得A
7、BC，则 AC 边上的高的长度是_19我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1 S2 S315，则S2的值是_20在ABC 中，A=30，B=90，AC=8，点 D 在边 AB，且 BD=3，点 P 是ABC边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是_三、解答题三、解答题21如图，ABC,B 90,AB 8cm,BC 6cm,P,Q是边上的两点，点 P 从点 A 开始沿A B方向运动，且速
8、度为每秒1cm，点 Q 从点 B 沿B C A运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒（1）出发 2 秒后，求线段 PQ 的长；（2）求点 Q 在 BC 上运动时，出发几秒后，PQB是等腰三角形；（3）点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间13 12 248 2 3；22（1）计算：3（2）已知 a、b、c 满足|a2 3|3 2 b(c30)2 0判断以 a、b、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由23如图，已知ABC中，B 90，AB 8cm，BC 6cm，P、Q是ABC边上
9、的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当t 2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B C A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间24如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：2
10、2，CD3 6，求线段 AB的长25如图，ABC 中 AC=BC，点 D，E 在 AB 边上，连接 CD，CE(1)如图 1，如果 ACB=90，把线段 CD 逆时针旋转 90，得到线段 CF，连接 BF，求证：ACD BCF；若 DCE=45，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图 2，如果 ACB=60，DCE=30，用等式表示 AD，DE，BE 三条线段的数量关系，说明理由26（1）如图 1，在RtABC中，ACB90，A 60，CD平分ACB.求证：CA AD BC.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC关于直线CD的对称图形ADC，CD平分ACB，A点落在CB上，且CACA，A
11、D AD.因此，要证的问题转化为只要证出AD AB即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC CD10，AC 17，AD9，求AB的长.27如图，ABC 中，BAC90，AB=AC，P 是线段 BC 上一点,且0 BAP 45.作点 B 关于直线 AP 的对称点 D,连结 BD，CD，AD（1）补全图形.（2）设BAP 的大小为.求ADC 的大小(用含 的代数式表示).（3）延长 CD 与 AP 交于点 E,直接用等式表示线段BD 与 DE 之间的数量关系.28如图，在平面直角坐标系中，点
12、O是坐标原点，ABC，ADE，AFO均为等边三角形，A在y轴正半轴上，点B(6,0)，点C(6,0)，点D在ABC内部，点E在ABC的外部，AD 3 2，DOE30，OF与AB交于点G，连接DF，DG，DO，OE.（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG的周长.29如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图 1，过点E作EF BE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BE EF;设AE x，CG y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图 2 中，请
13、用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.30如图,在 ABC 中,D 是边 AB 的中点,E 是边 AC 上一动点,连结 DE,过点 D 作 DFDE 交边BC 于点 F(点 F 与点 B、C 不重合),延长 FD 到点 G,使 DG=DF,连结 EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:ADGBDF；(2)请你连结 EG,并求证:EF=EG；(3)设 AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段 EF 长度的最小值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结
14、AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图 1AB 10 20252925 5 37把右侧面展开到正面上，连结AB，如图 2AB 202105625 252把向上的面展开到正面上，连结AB，如图 3AB 102205725 5 292925 725 6255 37 5 29 25需要爬行的最短距离为25cm故选：A【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直
15、角三角形解决问题2C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4 个直角三角形的面积，利用已知(ab)2=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。【详解】由于大正方形的边长为a2b2，又大正方形的面积为 13，即a2b213，而小正方形的面积表达式为a2b213，而小正方形的面积表达式为(ab)2 2(a2b2)(a b)2 21321 5故本题正确答案为 C【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键3D解析：D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度【详解】解：如图，由题意可得：AD2=
16、0.72+2.42=6.25，在 RtABC 中，ABC=90，BC=1.5 米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，AB2+1.52=6.25，AB=2，AB0，AB=2 米，小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图4C解析：C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作 DHBE 于 H，EGCD 于 G，证明DHEEGD，利用勾股定理求出EH DG【详解】BCA=90，AC=
17、6，BC=8，AB7，即可得到 BE.5AC2BC2628210，D 是 AB 的中点，AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，EDC=ADC，CE=AC=6，BD=DE，作 DHBE 于 H，EGCD 于 G，DHE=EGD=90，EDH=11BDE=（180-2EDC）=90-EDC，22DEB=90-EDH=90-(90-EDC)=EDC，DE=DE，DHEEGD，DH=EG，EH=DG，设 DG=x，则 CG=5-x，EG2=DE2 DG2 CE2CG2，5 x 6(5 x)，x 22227，5EH DG BE=2EH=故选：C.7，514，5【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定
18、理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明DHEEGD，由此求出 BE 的长度.5A解析：A【分析】作常规辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证CFE 和ADF 全等，从而可证DFE=90，DF=EF所以DEF 是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变；DEF是等腰直角三角形 DE=2DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时，DE 取最小值4 2，CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去DEF 的最小面积【详解】连接 CF；ABC 是等腰直角三角形，FCB=A=45，CF=AF=FB；AD=CE，ADFCEF；EF=
19、DF，CFE=AFD；AFD+CFD=90，CFE+CFD=EFD=90，EDF 是等腰直角三角形.当 D.E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形.ADFCEF，SCEF=SADF，S四边形CEFD=SAFC.由于DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；即当 DFAC 时,DE 最小,此时 DF=DE=2DF=42；当CEF 面积最大时，此时DEF 的面积最小.此时 SCEF=S四边形CEFDSDEF=SAFCSDEF=168=8，则结论正确的是.故选 A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在
20、三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.1BC=4.26D解析：D【解析】根据题意可画图为：过点A 作 ADBC，垂足为 D，B=60，BAD=30，AB=2，AD=3，S ABC=故选 D.11BCAD=23=3.227B解析：B【分析】根据翻折的性质可知：ACAE6，CDDE，设 CDDEx，在 RtDEB 中利用勾股定理解决【详解】解：在 RtABC 中，AC6，BC8，ABAC2BC2=628210，ADE 是由ACD 翻折，ACAE6，EBABAE1064，设 CDDEx，在 RtDEB 中，DE2 EB2 DB2，x2428 x，x3，CD3故答案为：B【点睛】本题考查翻折
21、的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题28C解析：C【分析】设 ABx，则 BC9x，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答【详解】解：在ABC 中，ACAM3，设 ABx，BC9x，由三角形两边之和大于第三边得：3 x9 x，39 xx解得 3x6，AC 为斜边，则 32x2（9x）2，即 x29x360，方程无解，即 AC 为斜边不成立，若 AB 为斜边，则 x2（9x）232，解得 x5，满足 3x6，若 BC 为斜边，则（9x）232x2，解得 x4，满足 3x6，x5 或 x4；故选 C【
22、点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键9C解析：C【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，再根据无理数的估算即可求得答案.【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，OAB=90，OB=OA2 AB22232 13，P 点所表示的数就是13，9 13 16，313 4，即点 P 所表示的数介于 3 和 4 之间，故选 C.【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.10C解析：C【分析】设 EC=x，DC=y，则直角BCE 中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC 中，4x2+y2=AD2=49，由方程
23、组可求得 x2+y2，在直角ABC 中，AB【详解】解：设 EC=x，DC=y，ACB=90，D、E分别是BC、AC的中点，4x24y2AC=2EC=2x，BC=2DC=2y，在直角BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，5x25y2164965，即x2 y213，在直角ABC 中，AB故选：C【点睛】4x24y24 132 13本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和直角ADC求得x2y2的值是解题的关键二、填空题二、填空题11【解析】试题分析：将台阶展开，如图，AC 3313 12,
24、BC 5,AB2 AC2 BC2169,AB 13,即蚂蚁爬行的最短线路为13dm.考点：平面展开：最短路径问题1233n3221，AB1BBB1C90，由勾股定理求出BB12ABB1【分析】根据等边三角形性质得出AB1CB133，求出ABC 的面积是；求出S24B1B2B3B4 SBCB13，根据三角形的面积公式求出8 SAB2B13，由勾股定理求出 BB2，根据S4ABB1 SBB1B2代入求出 B2B3333，82333334，B4B55，推出 Bn1Bnn1623222【详解】解：ABC 是等边三角形，BAAC，BB1是ABC 的高，AB1CB11，AB1BBB1C90，213由勾股定
25、理得：BB112()2；22ABC 的面积是S S1331；224ABB1BCB1133，248311B1B2，82B1B23，43233)()2，244由勾股定理得：BB2(SABB1 SBB1B2 SAB2B1，313311B2B3，824422B2B3B3B4B4B5，3，83，163，3232nBn1Bn故答案为：【点睛】33，n322本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律1310【分析】过点 F作 FGBE，连接 OF、EF，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE的值，然后根据中位线定理得出FG的的值，最
26、后再根据勾股定理得出OF的值即可.【详解】过点 F作 FGBE，连接 OF、EF，如下图所示：DBC是等腰直角三角形，且BF CF，BC8DC DB OD BC 4 222OC DC OD 3 2OBBD2DO234设OE x，BEC=90则OC2OE2 BC2OBOEOE 23 341712 3417EC OC2 EO2BF CF，FGBE，BEC=90FG 16 34EC 21720 3417BE BO OE GO GE OE 17 34BE OE 217OF=GO2GF2 10【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关
27、键.145【分析】设绳索 x尺，过点 B向地面及 AO作垂线 BE、BC，构成直角三角形 OBE，利用勾股定理求出 x 的值【详解】如图，过点 B 作 BCOA于点 C，作 BD垂直于地面，延长OA交地面于点 D由题意知 AD=1，BE=5，BC=10设绳索 x尺，则 OA=OB=xOC=x+1-5=x-4在 RtOBC中，OB2=OC2+BC2x (x4)10得 x=14.5（尺）故填 14.5222,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.157【解析】【分析】通过作辅助线转化 BM，MN 的值，从而找出其最小值求解【详解】解：连接 CN，与 AD 交
28、于点 M则 CN 就是 BM+MN 的最小值取 BN 中点 E，连接 DE，如图所示：等边ABC 的边长为 6，AN2，BNACAN624，BEENAN2，又AD 是 BC 边上的中线，DE 是BCN 的中位线，CN2DE，CNDE，又N 为 AE 的中点，M 为 AD 的中点，MN 是ADE 的中位线，DE2MN，CN2DE4MN，CM3CN4113 3BC3，DMAD，22237，2在直角CDM 中，CD22CMCD MD CN437 2 732BM+MNCN，BM+MN 的最小值为 27故答案是：27【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用162 或 18【分析】分
29、两种情况:点 E 在 AD 线段上,点 E 为 AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：如图点 E 在 AD 线段上，ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，ABEABE,B AE=A=90o,AB=ABB AC=90o,E、A,C 三点共线,CD AB在ECD 与 CB A中，D BAC,DEC ECBECD CB A,CE=BC=10,在 RTCB A中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AE=CE-AC=10-8=2;如图点 E 为 AD 延长线上,由题意得：ABC+ACB=DCE+ACB=90oABC=DCE,A=CDE在ABC 与DCE 中，CD ABA
30、BC DCEABCDCE,DE=AC,在 RT ABC 中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AD+DE=AD+AC=10+8=18;综上所知,AE=2 或 18.故答案为:2 或 18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.173 10，6 2或3 2【解析】【详解】（x-6）2=9，x-6=3，解得：x1=9，x2=3，x，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，当 x=3时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为32323 2；当 x=9时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为92323 10；当 x=
31、9时，x 为斜边、y为直角边，则第三边为92326 2.故答案为：3 10，6 2或3 2.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解355【详解】18四边形 DEFA 是正方形，面积是 4；ABF，ACD 的面积相等，且都是12=1BCE 的面积是：1111=2213=22则ABC 的面积是：411在直角ADC 中根据勾股定理得到：AC=22+12=5设 AC 边上的高线长是 x则解得：x=315ACx=x=，222355故答案为19535.5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，
32、y表示出S1，S2，S3，得出答案即可【详解】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1 S2 S310，得出S1S1S28yS3x，S23x12y4yx，S3 x，15，15，故3x12yx4y15=5，3x4y5，所以S2【点睛】故答案为：5此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1 S2 S315求出是解决问题的关键203 或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出 AB，根据直角三角形的性质列式计算即可【详解】解：如图B
33、=90，A=30，BC=11AC=8=4，22由勾股定理得，AB=AC2 BC28242 4 3AD 4 3 3 3 3当点 P 在 AC 上时，A=30，AP=2PD，ADP=90，则 AD2+PD2=AP2，即（33）2=（2PD）2-PD2，解得，PD=3，当点 P 在 AB 上时，AP=2PD，AD=33，PD=3，当点 P 在 BC 上时，AP=2PD，设 PD=x，则 AP=2x，由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，2x 4 3解得，x=1522 x23故答案为：3 或3或15.【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜
34、边长为 c，那么 a2+b2=c2三、解答题三、解答题8秒3后，PQB 是等腰三角形；（3）当 t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ 为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2 秒后，BQ 和 PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度；（2）设所求时间为 t，则可由题意得到关于 t 的方程，解方程可以得到解答；21（1）出发 2 秒后，线段 PQ 的长为2 13；（2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发（3）点 Q 在边 CA 上运动时，BCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答【详解】(1)BQ=22=4cm，BP=ABAP=821=6c
35、m，B=90，由勾股定理得：PQ=BQ2 BP2426252 2 13出发 2 秒后，线段 PQ 的长为2 13；(2)BQ=2t，BP=8t由题意得：2t=8t解得：t=838秒后，PQB 是等腰三角形；3当点 Q 在边 BC 上运动时，出发(3)ABC=90，BC=6，AB=8，AC=6282=10.当 CQ=BQ 时(图 1)，则C=CBQ，ABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=5，BC+CQ=11，t=112=5.5 秒；当 CQ=BC 时(如图 2)，则 BC+CQ=12t=122=6 秒当 BC=BQ 时(如图 3)，过 B 点作 B
36、EAC 于点 E，BE=ABBC6824，AC105所以 CE=BC2BE2=故 CQ=2CE=7.2，18=3.6，5所以 BC+CQ=13.2，t=13.22=6.6 秒.由上可知，当 t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ 为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键22（1）436【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解
37、】2；（2）以 a、b、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，31解：（1）3 12 23482 3=(6 3=(23 4 3)2 33283)(2 3)324；3（2）以 a、b、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：a、b、c 满足|a 2 3|3 2 b(c30)2 0，a230，32b0，c300，a23，b32，c30，23+3230，23+3032，23+3032，以 a、b、c 为边能组成三角形，a23，b32，c30，a2+b2c2，以 a、b、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和 b，则此三角形的面积是【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根
38、式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.23（1）2 13；（2）；（3）5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ BP，即2t 8t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ BQ时（图1)，则C CBQ，可证明AABQ，则BQ AQ，则8312 33 236.2CQ AQ，从而求得t；当CQ BC时（图2)，则BCCQ12，易求得t；当BC BQ时（图3)，过B点作BE
39、 AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t【详解】（1）解：（1）BQ 22 4cm，BP AB AP 8216cm，B 90，PQ BQ2 BP24262 2 13(cm)；（2）解：根据题意得：BQ BP，即2t 8t，解得：t 8；38即出发时间为秒时，PQB是等腰三角形；3（3）解：分三种情况：当CQ BQ时，如图 1 所示：则C CBQ，ABC 90，CBQ ABQ 90，AC 90，A ABQBQ AQ，CQ AQ 5，BC CQ 11，t 112 5.5秒当CQ BC时，如图 2 所示：则BCCQ12t 122 6秒当BC BQ时，如图 3 所示：过B点作BE AC于点E，则BE
40、 AB BC68 4.8(cm)AC10CE BC2 BE2 3.6cm，CQ 2CE 7.2cm，BC CQ 13.2cm，t 13.22 6.6秒由上可知，当t为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用24（1）见解析；（2）BD2+AD22CD2；（3）AB22+4【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明ACEBCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接 EF，设 BDx，利用（1）、（2）求出 EF=3x，再利用勾股定理求出
41、x，即可得到答案.【详解】（1）证明：ACB 和ECD 都是等腰直角三角形ACBC，ECDC，ACBECD90ACBACDECDACDACEBCD，ACEBCD（SAS），AEBD（2）解：由（1）得ACEBCD，CAECBD，又ABC 是等腰直角三角形，CABCBACAE45，EAD90，在 RtADE 中，AE2+AD2ED2，且 AEBD，BD2+AD2ED2，ED2CD，BD2+AD22CD2，（3）解：连接 EF，设 BDx，BD：AF1：22，则 AF22x，ECD 都是等腰直角三角形，CFDE，DFEF，由（1）、（2）可得，在 RtFAE 中，EF22AF2 AE2(2 2x)
42、x3x，AE2+AD22CD2，x2(2 2x 3x)2 2(3 6)2，解得 x1，AB22+4【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25（1）详见解析；详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EBAD，证明详见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得CF=CD，DCF=90，再根据已知条件即可证明ACD BCF；连接 EF，根据中全等三角形的性质可得EBF=90，再证明DCEFCE 得到 EF=DE即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出 AD，DE，BE 之间的关系【详解】解：（1）证明：由旋转可
43、得 CF=CD，DCF=90ACD=90ACD=BCF又AC=BCACDBCF证明：连接 EF，由知ACDBCFCBF=CAD=CBA=45，BCF=ACD，BF=ADEBF=90EF2=BE2+BF2，EF2=BE2+AD2又ACB=DCF=90，CDE=45FCE=DCE=45又CD=CF，CE=CEDCEFCEEF=DEDE2=AD2+BE2DE2=EB2+AD2+EBAD理由：如图 2，将ADC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到CBF，过点 F 作 FGAB，交 AB的延长线于点 G，连接 EF，CBE=CAD，BCF=ACD，BF=ADAC=BC，ACB=60CAB=CBA=60AB
44、E=120，EBF=60，BFG=30BG=13BF，FG=BF22ACB=60，DCE=30，ACD+BCE=30，ECF=FCB+BCE=30CD=CF，CE=CEECFECDEF=ED在 Rt EFG 中，EF2=FG2+EG2又EG=EB+BGEG=EB+1BF，2EF2=（EB+13BF）2+（BF）22213AD）2+（AD）222DE2=（EB+DE2=EB2+AD2+EBAD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系26（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明ADB B 30，再根据等
45、角对等边即可证明AD AB,再结合小明的分析即可证明；（2）作ADC 关于 AC 的对称图形ADC,过点 C 作 CEAB 于点 E，则DE=BE设DE=BE=x在 RtCEB 和 RtCEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作ADC 关于 CD 的对称图形ADC，AD=AD，C A=CA，CAD=A=60，CD 平分ACB，A点落在 CB 上ACB=90，B=90-A=30，ADB=CAD-B=30，即ADB=B，AD=AB，CA+AD=CA+AD=CA+AB=CB.（2）如图，作ADC 关于 AC 的对称图形ADCDA=DA=9，DC=DC=10，AC
46、 平分BAD，D点落在 AB 上，BC=10，DC=BC，过点 C 作 CEAB 于点 E，则 DE=BE，设 DE=BE=x，在 RtCEB 中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在 RtCEA 中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，AB=AD+DE+EB=9+6+6=21【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明ADB=B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27（1）见解析；（2）ADC=45；（3
47、）BD【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；2DE（2）点 B 与点 D 关于直线 AP 对称，BAP=，PAD=，AB=AD，BAC 90，DAC 902，又AB=AC，AD=AC，ADC=1180(902)=45；2（3）如图，连接 BE，由（2）知：ADC=45，ADC=AED+EAD，且EAD=，AED=45，点 B 与点 D 关于直线 AP 对称，即 AP 垂直平分 BD，AED=AEB=45，BE=DE，BE
48、D=90，BED 是等腰直角三角形，BD2 BE2 DE2 2DE2，BD【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.2DE.28（1）(0，6 3)；（2）DF OE；（3）93 2 3 3.【分析】（1）由等边三角形的性质得出OB6，AB AC BC 12，由勾股定理得出OAAB2OB26 3，即可得出点A的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE，AF AO，FAODAE60，证出FADOAE，由SAS证明FAD OAE，即可得出DF OE；（3）证出AGO90，求出AG 9，由全等三角形的性质
49、得出AOEAFD，证1出FDOAFD60 AOD90，由等边三角形的性质得DG OF 3 3，2即可得出答案【详解】解：（1）ABC是等边三角形，点B(6,0)，点C(6,0)，OB 6，AB AC BC 12，OAAB2OB2 122626 3，点A的坐标为(0，6 3)；（2）DF OE；理由如下：ADE，AFO均为等边三角形，AD AE，AF AO，FAODAE60，FADOAE，AF AO在FAD和OAE中，FAD OAE，AD AEFAD OAE(SAS)，DF OE；（3）AOF 60，FOB30，ABO60，AGO90，AFO是等边三角形，AO 6 3，AG OAsin60 36
50、 3 9，2FAD OAE，AOEAFD，DOE30AODAOE，AODAFD30，FDOAFDFAOAOD，FDOAFD60 AOD60 3090，AG OF，AOF为等边三角形，G为斜边OF的中点，11DG OF 6 3 3 3，22ADG的周长 AG AD DG 93 2 3 3【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键29(1)见解析；y【解析】【分析】（1）连接 DE，如图 1，先用 SAS 证明CBECDE，得 EB=ED，CB