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1、勾股定理单元勾股定理单元 易错题难题测试综合卷检测易错题难题测试综合卷检测一、选择题一、选择题1已知，如图，ABC，点P,Q分别是BAC的角平分线AD，边AB上的两个动点，C 45，BC 6，则PB PQ的最小值是（）A3B2 3C4D3 22如图，在ABC中，A 90，AB6，AC 8，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作OD AB于点D，若则AD的长为()A2B2C3D43在ABC 中，BCA=90,AC=6,BC=8,D 是 AB 的中点，将ACD 沿直线 CD 折叠得到ECD，连接 BE，则线段 BE 的长等于（）A57B5C145D3654已知等边三角形的边长为a，则它边上的高、
2、面积分别是（）a a2A,24A33a a2B,24B33a3a2C,24C53a3a2D,44D3或55已知一个直角三角形的两边长分别为1 和 2，则第三边长是（）6如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D 为 BC 边上的一点，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使 AC 落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为（）A2cmB2.5cmC3cmD4cm7我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直2角三角形的两直角边分别是a、b，那么(
3、ab)的值为（）.A49B25C13D18如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A200mAa=3，b=4，c=6B300mBa=5，b=6，c=7C400mCa=6，b=8，c=9D500mDa=7，b=24，c=259在下列以线段 a、b、c 的长为边，能构成直角三角形的是（）10我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5 里，12 里，13
4、里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（）A7.5 平方千米B15 平方千米C75 平方千米D750 平方千米二、填空题二、填空题11如图，在Rt ABC中，ACB90，AC 4，BC 2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是_12如图，ABC 是一个边长为 1 的等边三角形，BB1是ABC 的高，B1B2是 ABB1的高，B2B3是 AB1B2的高，Bn-1Bn是 ABn-2Bn-1的高，则 B4B5的长是_，猜想 Bn-1Bn的长是_13如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，矩形内一动点 P 使得 SPAD点 P
5、 到点 A、D 的距离之和 PA+PD 的最小值为_1S矩形ABCD，则314我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2 丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7 周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_尺(注：l 丈等于 10 尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)15如图，在 RtABC 中，ACB90，AB7.5cm，AC4.5cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_16如图是“赵爽弦图”，ABH、
6、BCG、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和 EFGH 都是正方形如果 AB13，EF7，那么 AH 等于_17如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA=3，PB=4，PC=5，以 BC 为边在ABC 外作BQCBPA，连接 PQ，则以下结论中正确有_(填序号)BPQ 是等边三角形 PCQ 是直角三角形 APB=150 APC=13518如图，ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC的角平分线，E 是 AD 上的动点，F是 AB 边上的动点，则 BE+EF 的最小值为_19如图所示，四边形 ABCD 是长方形，把ACD 沿 AC 折叠到ACD，
7、AD与 BC 交于点E，若 AD4，DC3，求 BE 的长20如图的实线部分是由RtABC经过两次折叠得到的.首先将RtABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B处，再沿CM折叠，使点A落在CB的延长线上的点A处.若图中ACB90，BC 15cm，AC 20cm，则MB的长为_.三、解答题三、解答题21定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形（1）如图 1，四边形 ABCD 中，ABC=70，BAC=40，ACD=ADC=80，求证：四边形 ABCD 是邻和四边形（2）如图 2，是由 50 个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C 三点的位置如图，请
8、在网格图中标出所有的格点，使得以 A、B、C、D 为顶点D的四边形为邻和四边形（3）如图 3，ABC 中，ABC=90，AB=2，BC=23，若存在一点 D，使四边形 ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积22定义：如图 1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM 2，MN 3，求BN的长；（2）如图 2，在RtABC中，AC BC，点M、N在斜边AB上，MCN 45，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点（提示：把ACM绕点C逆时针旋转90）；（
9、3）在（2）的问题中，ACM 15，AM 1，求BM的长23如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，AC b，BC a，如图 1，若ACB90，b a，b 6，求a的值.如图 2，若c b a，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC120，BC 4，求ABC的面积.24（1）如图 1，在RtABC中，ACB90，A 60，CD平分ACB.求证：CA AD BC.小
10、明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC关于直线CD的对称图形ADC，CD平分ACB，A点落在CB上，且CACA，AD AD.因此，要证的问题转化为只要证出AD AB即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图 3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC CD10，AC 17，AD9，求AB的长.25定义：在ABC 中，若 BCa，ACb，ABc，若 a，b，c 满足 ac+a2b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图 1，若等腰
11、三角形 ABC 是“类勾股三角形”，其中 ABBC，ACAB，请求A 的度数；（3）如图 2，在ABC 中，B2A，且CA当A32时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2 中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；请证明ABC 为“类勾股三角形”26如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AC，BC 上的点，且满足 DEEF，垂足为点 E，连接 DF（1）求EDF=（填度数）；（2）延长 DE 交 AB 于点 G，连接 FG，如图 2，猜想 AG，GF，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）若 AB=6，G 是 AB 的中点，
12、求 BFG 的面积；设 AG=a，CF=b，BFG 的面积记为 S，试确定 S 与 a，b 的关系，并说明理由27（已知：如图 1，矩形 OACB 的顶点 A，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点 D是 y 轴上一点且坐标为（0，2），点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿线段ACCB 方向运动，到达点B 时运动停止（1）设点 P 运动时间为 t，BPD 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当点 P 运动到线段 CB 上时（如图 2），将矩形 OACB 沿 OP 折叠，顶点 B 恰好落在边AC 上点 B位置，求此时点 P 坐标；（3）在点 P 运动过程中
13、，是否存在 BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由28如图 1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系（2）把图 1 中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图 2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由（3）把图 1 中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，连接CE，如图 3，其他条件不变，若DG2，AB6，直接写出CM的长度29如图 1，已知
14、ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 CDAE，AD 与BE 相交于点 F（1）求证：ABECAD；（2）如图 2，以 AD 为边向左作等边ADG，连接 BG）试判断四边形 AGBE 的形状，并说明理由；）若设 BD1，DCk（0k1），求四边形 AGBE 与ABC 的周长比（用含 k 的代数式表示）30阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书数学九章中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的我们也称这个公式为“海伦秦九韶公式”，该公式是：设ABC 中，A、B、C 所对的边分别为
15、 a、b、c，ABC 的面积为 S(a bc)(a bc)(a cb)(bca)4（1）（举例应用）已知ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a4，b5，c7，则ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB（26+42）m，BC5m，CD7m，AD46m，A60，求该块草地的面积【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1D解析：D【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是线段QE垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ最小值为BE，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出 BE 的最小值即可得【详解】如图
16、，作QE AD，交 AC 于点 E，AD 平分 BAC，BAD=CAD，AD是线段QE垂直平分线（等腰三角形的三线合一）PQ PEPB PQ PB PE由两点之间线段最短得：当点B,P,E共线时，PB PE最小，最小值为BE点P,Q都是动点BE随点P,Q的运动而变化由垂线段最短得：当BE AC时，BE取得最小值在RtBCE中，C 45,BC 6BE CE 2BC 3 22即PB PQ的最小值为3 2故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ的最小值是解题关键2B解析：B【分析】过点 O作 OEBC于 E
17、，OFAC 于 F，由角平分线的性质得到 OD=OE=OF，根据勾股定理求出 BC的长，易得四边形 ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点 O 作 OEBC 于 E，OFAC 于 F，BO,CO 分别为ABC，ACB 的平分线，所以 OD=OE=OF，又 BO=BO,BDOBEO,BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形 ADOE 为矩形，四边形 ADOE 为正方形.AD=AF.在 RtABC 中，AB=6，AC=8，BC=10.AD+BD=6,AF+FC=8，BE+CE=BD+CF=10，+得，AD+BD+AF+FC=14，即 2AD+10=14，AD=2.故选：
18、B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型3C解析：C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作 DHBE 于 H，EGCD 于 G，证明DHEEGD，利用勾股定理求出EH DG【详解】BCA=90，AC=6，BC=8，AB7，即可得到 BE.5AC2BC2628210，D 是 AB 的中点，AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，EDC=ADC，CE=AC=6，BD=DE，作 DHBE 于 H，EGCD 于 G，DHE=EGD=90，EDH=11BDE=（180-2EDC）=90-EDC，22D
19、EB=90-EDH=90-(90-EDC)=EDC，DE=DE，DHEEGD，DH=EG，EH=DG，设 DG=x，则 CG=5-x，EG2=DE2 DG2 CE2CG2，5 x 6(5 x)，x 22227，57，5EH DG BE=2EH=故选：C.14，5【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明DHEEGD，由此求出 BE 的长度.4C解析：C【分析】作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，得出 BD，利用勾股定理即可求出AD，再利用三角形面积公式即可解决问题【详解】解：如图
20、作 ADBC 于点 DABC 为等边三角形，B60，B AD30BD 11AB a22由勾股定理得，AD213AB2 BD2a2(a)2a22边长为 a 的等边三角形的面积为故选：C1332aaa，224【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5D解析：D【解析】当一直角边、斜边为 1 和 2 时，第三边=当两直角边长为 1 和 2 时，第三边=故选：D=；6C解析：C【分析】首先由勾股定理求得 AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设 DC=x，则 BD=8x，在BDE 中，利用勾股定理列方程求解即可【详解】
21、在 RtABC 中，由勾股定理可知：AB=AC2BC2628210，由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，DEA=C=90，BE=AB-AE=10-6=4，DEB=90，设 DC=x，则 BD=8-x，DE=x，在 RtBED 中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即 42+x2=(8-x)2，解得：x=3，CD=3故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键7A解析：A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方 25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是
22、大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，四个三角形的面积=42ab=24，联立解得：（a+b）2=25+24=49故选 A.1ab=25-1=24，28D解析：D【分析】由于 BCAD，那么有DAE=ACB，由题意可知ABC=DEA=90，BA=ED，利用 AAS 可证ABCDEA，于是 AE=BC=300，再利用勾股定理可求 AC，即可求 CE，根据图可知从B 到 E 的走法有两种，分别计算比较即可【详解】解：如图所示，BCAD，DAE=ACB，又BCAB，DEAC，ABC=DEA=90，又AB=DE=400m，ABCD
23、EA，EA=BC=300m，在 RtABC 中，AC=CE=AC-AE=200，从 B 到 E 有两种走法：BA+AE=700m；BC+CE=500m，最近的路程是 500m故选 D【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是证明ABCDEA，并能比较从 B 到 E 有两种走法AB2BC2500m9D解析：D【解析】A 选项：32+4262，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+6272，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+8292，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：
24、72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确故选 D10A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案详解：52+122=132，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，这块沙田面积为：故选 A1550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）2点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键二、填空题二、填空题112 10或2 13或3 2【分析】在ABC中计算 AB，情况一：作AE CE于 E，计算 AE，DE，CE，可得 CD；情况二：作BE CE于 E，计算 BE，CE
25、，DE，可得 CD；情况三：作DECE，计算DF,DE,CE，可得 CD【详解】ACB 90，AC 4,BC 2，AB 2 5，情况一：当AD AB 2 5时，作AE CE于 E114 514 5BCAC ABAE，即AE，DE 2255AC2 AE28 55CE CD CE2DE2 2 13情况二：当BD AB 2 5时，作BE CE于 E，114 514 5BCAC ABBE，即BE，DE 2255BC2BE22 55CE CD CE2DE2 2 10情况三：当AD BD时，作DECE，作BE CE于 E11BCAC ABBE，225BE 4 5CE 3 55ABD为等腰直角三角形BF D
26、F 1AB 52DE DF EF DF BE 9 552 53 555CE EECE BF CE 5 CD CE2ED23 2故答案为：2 10或2 13或3 2【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键1233n322【分析】根据等边三角形性质得出AB1CB11，AB1BBB1C90，由勾股定理求出BB12ABB133，求出ABC 的面积是；求出S24B1B2B3B4 SBCB13，根据三角形的面积公式求出8 SAB2B13，由勾股定理求出 BB2，根据S4ABB1 SBB1B2代入求出 B2B3333，82333334，B4B55，推出 Bn1Bn1
27、62322【详解】解：ABC 是等边三角形，BAAC，BB1是ABC 的高，AB1CB112，AB1BBB1C90，由勾股定理得：BB112(1)2322；ABC 的面积是1213324；SABB1 S133BCB1248，38121B1B2，B1B234，由勾股定理得：BB2(32)2(334)24，SABB1 SBB1B2 SAB2B1，381234311422B2B3，B2B338，B3B4316，B4B5332，Bn31Bn2n2n故答案为：【点睛】33，n322本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律1382【分析】根据 SPAD
28、1S矩形ABCD，得出动点 P 在与 AD 平行且与 AD 的距离是 4 的直线 l 上，作 A 关3于直线 l 的对称点 E，连接 DE，BE，则 DE 的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到 PA+PD的最小值【详解】设PAD中 AD 边上的高是 hSPAD1S矩形ABCD，311ADhADAB，232AB4，3h动点 P 在与 AD 平行且与 AD 的距离是 4 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 BE，DE，则 DE 的长就是所求的最短距离在 RtADE 中，AD8，AE4+48，DEAE2 AD282828 2
29、,即 PA+PD 的最小值为 82故答案 82【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点P 所在的位置是解题的关键14【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20 尺，另一条直角边长 73=21（尺），因此葛藤长202212=29（尺）答：葛藤长 29 尺故答案为：29【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解1
30、575 或 6 或【分析】当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：当ABBP 时；当 ABAP 时；当 BPAP时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值【详解】在 RtABC 中，BC2AB2AC27.524.5236，BC6（cm）；当 ABBP7.5cm 时，如图 1，t947.53.75（秒）；2当 ABAP7.5cm 时，如图 2，BP2BC12cm，t6（秒）；当 BPAP 时，如图 3，APBP2tcm，CP（4.52t）cm，AC4.5cm，在 RtACP 中，AP2AC2+CP2，所以 4t24.52+（4.52t）2，解得：t9，494综上所述：当ABP 为等腰三角形时，
31、t3.75 或 t6 或 t故答案为：3.75 或 6 或94【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.16【分析】根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 a-b=7，解得 a，b 的值代入即可【详解】AB13，EF7，大正方形的面积是 169，小正方形的面积是 49，四个直角三角形面积和为16949120，设 AE 为 a，DE 为 b，即4 2ab120，a2+b2169，（a+b）2a2+b2+2ab169+120289，a+b17，ab7，解得：a12，b5，AE12，DE5，AH1275故答案为：5【点睛】此题
32、考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值17【解析】【详解】解：ABC 是等边三角形，1ab 120，2ABC 60，BQCBPA，BPA=BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，ABP=QBC，PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC 60，BPQ 是等边三角形，正确.PQ=BP=4，PQ2QC2 4232 25,PC2 52 25，PQ2QC2 PC2，PQC 90，即 PQC 是直角三角形，正确.BPQ 是等边三角形，PBQ BQP 60，BQCBPA，APB=BQC，BPA BQC 60 90 150，正确.APC 360 150 60 QPC 15
33、0 QPC，PQC 90，PQ QC，QPC 45，即APC 135，错误.故答案为.12013【解析】18AB=AC，AD 是角平分线，ADBC，BD=CD，B 点，C 点关于 AD 对称，如图，过 C 作 CFAB 于 F，交 AD 于 E，则 CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：ABCF=BCAD，CF=BC AD1012 120=AB1313120.13故答案为点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当 CFAB 时，CF 有最小值是解题的关键.78【解析】19试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC
34、=AD=8，ADBC，B=90，再根据折叠性质得DAC=DAC，而DAC=ACB，则DAC=ACB，所以 AE=EC，设 BE=x，则 EC=4-x，AE=4-x，然后在 RtABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可试题解析：四边形 ABCD 为矩形，AB=DC=3，BC=AD=4，ADBC，B=90，ACD 沿 AC 折叠到ACD，AD与BC 交于点 E，DAC=DAC，ADBC，DAC=ACB，DAC=ACB，AE=EC，设 BE=x，则 EC=4x，AE=4x，在 RtABE 中，AB+BE=AE，3+x=（4x），解得 x=即 BE 的长为203【分析】根据题意利用折叠后图形全等，
35、并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知ACM ACM,BCH BCH,BC 15cm，AC 20cm，BC BC 15cm,AC AC 20cm,AB 20155cm，ACB90，AM2222227，878 AB(等量替换)，CH AB（三线合一），222AB 25cm,利用勾股定理假设MB的长为 m，AM AM 257m，则有m(25 7m)5，解得m 3，所以MB的长为 3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.三、解答题三、解答题21（1）见解析；（2）见解析；（3）4 3或6 3【分析
36、】（1）先由三角形的内角和为180求得ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论（2）以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及ABC 外侧与点 B 和点 C 组成等边三角形的网格点即为所求（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：当DA=DC=AC 时；当CD=CB=BD 时；当 DA=DC=DB 或 AB=AD=BD 时【详解】（1）ACB=180ABCBAC=70，ACB=ABC，AB=ACACD=ADC，AC=AD，AB=AC=AD四边形 ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点 D、D、D即为所求作的点；（3
37、）在ABC 中，ABC=90，AB=2，BC=23，AC=AB BC 2 2 32222 4，显然 AB，BC，AC 互不相等分两种情况讨论：当 DA=DC=AC=4 时，如图所示：ADC 为等边三角形，过 D 作 DGAC 于 G，则ADG=AG 160 30，21AD 2，21142 3 4 3，SABC=ABBC=23，22DG AD2 AG24222 2 3，SADC=S四边形ABCD=SADC+SABC=63；当 CD=CB=BD=23时，如图所示：BDC 为等边三角形，过 D 作 DEBC 于 E，则BDE=BE 160 30，21BD 3，222DE BD BE SBDC=2 3
38、3223，12 33 3 3，2过 D 作 DFAB 交 AB 延长线于 F，FBD=FBC-DBC=90-60=30，DF=SADB=1BD=3，212 3 3，2S四边形ABCD=SBDC+SADB=43；当 DA=DC=DB 或 AB=AD=BD 时，邻和四边形 ABCD 不存在邻和四边形 ABCD 的面积是 63或 43【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键22（1）5或13；（2）见解析；（3）23【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点 A 作 ADAB，且
39、AD=BN只要证明ADCBNC，推出 CD=CN，ACD=BCN，再证明MDCMNC，可得 MD=MN，由此即可解决问题；（3）过点 B 作 BPAB，使得 BP=AM=1，根据题意可得CPBCMA，CMNCPN，利用全等性质推出BNP=30，从而得到 NB 和 NP 的长，即得 BM.【详解】解：（1）当 MN 最长时，BN=MN2 AM25，当 BN 最长时，BN=AM2 MN2 13；（2）证明：如图，过点 A 作 ADAB，且 AD=BN，在ADC 和BNC 中，AD BNDAC B，AC BCADCBNC（SAS），CD=CN，ACD=BCN，MCN=45，DCA+ACM=ACM+B
40、CN=45，MCD=MCN，在MDC 和MNC 中，CD CNMCD MCN，CM CMMDCMNC（SAS），MD=MN在 RtMDA 中，AD2+AM2=DM2，BN2+AM2=MN2，点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点；（3）过点 B 作 BPAB，使得 BP=AM=1，根据（2）中过程可得：CPBCMA，CMNCPN，AMC=BPC=120，AM=PB=1，CMN=CPN=A+ACM=45+15=60，BPN=120-60=60，BNP=30，NP=2BP=2=MN，BN=22 123，BM=MN+BN=23.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等
41、知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型23（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）a 的值为9；k 的取值范围为21k 3；（3）ABC的面积为【分析】20 312 3或35（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出a,b,c的等式，然后求解即可；类似分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下a,b,c之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB 的长及ABC面积的表达式，再类似（2），根据优
42、三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出 x 的值，即可得出ABC的面积【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为 2a，恰好是第三边 a 的 2 倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为 1故该命题是真命题；（2）ACB 90,b 6c a2b2a236根据优三角形的定义，分以下三种情况：当ab 2c时，a6 2 a236，整理得a24a 36 0，此方程没有实数根当ac 2b时，aa236 12，解得a 92当bc 2a时，6a236 2a，解得a 86，不符题意，舍去9；2由题意得：a,b
43、,c均为正数综上，a 的值为根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a）当ab 2c时，则k b1a由三角形的三边关系定理得ba c ab则ba abb ab，解得b3a，即k 32ac1a故此时 k 的取值范围为1k 3当ac 2b时，则k 由三角形的三边关系定理得ca b ac则ca acc ac，解得c 3a，即k 32ac1b故此时 k 的取值范围为1k 3当bc 2a时，则k 由三角形的三边关系定理得cb a bc则cb bcc bc，解得c 3b，即k 32b故此时 k 的取值范围为1k 3综上，k 的取值范围为1k 3；（3）如图，过点 A 作ADBC，则ABD180ABC
44、 18012060设BD xAB 2BD 2x,AD AB2BD23xAC AD2CD2(3x)2(4 x)2 2 x22x4SABC11BC AD 4 3x 2 3x22ABC是优三角形，分以下三种情况：当ACBC 2AB时，即2 x22x4 4 4x，解得x 则SABC 2 3x 2 31031020 333当AC AB 2BC时，即2 x22x4 2x 8，解得x 则SABC 2 3x 2 365612 355当BC AB 2AC时，即42x 4 x22x4，整理得3x2 4x12 0，此方程没有实数根综上，ABC的面积为20 312 3或35【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角
45、形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键24（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明ADB B 30，再根据等角对等边即可证明AD AB,再结合小明的分析即可证明；（2）作ADC 关于 AC 的对称图形ADC,过点 C 作 CEAB 于点 E，则DE=BE设DE=BE=x在 RtCEB 和 RtCEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作ADC 关于 CD 的对称图形ADC，AD=AD，C A=CA，CAD=A=60，CD 平分ACB，A点落在 CB 上ACB=90，B=90-A=30，A
46、DB=CAD-B=30，即ADB=B，AD=AB，CA+AD=CA+AD=CA+AB=CB.（2）如图，作ADC 关于 AC 的对称图形ADCDA=DA=9，DC=DC=10，AC 平分BAD，D点落在 AB 上，BC=10，DC=BC，过点 C 作 CEAB 于点 E，则 DE=BE，设 DE=BE=x，在 RtCEB 中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在 RtCEA 中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，AB=AD+DE+EB=9+6+6=21【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1
47、）中证明ADB=B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.25（1）假；（2）A45；（3）不能，理由见解析，见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得 a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；先求出 CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论【详解】解：（1）如
48、图 1，假设 RtABC 是类勾股三角形，11（c-a），AG=（a+c），两个22ab+a2c2，在 RtABC 中，C90，根据勾股定理得，a2+b2c2，ab+b2a2+b2，aba2，ab，ABC 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）ABBC，ACAB，ac，bc，ABC 是类勾股三角形，ac+a2b2，c2+a2b2，ABC 是等腰直角三角形，A45，（3）在ABC 中，ABC2BAC，BAC32，ABC64，根据三角形的内角和定理得，ACB180BACABC84，把这个三角形分成两个等腰三角形，（）、当BCDBDC 时，ABC64
49、，BCDBDC58，ACDACBBCD845826，ADCABC+BCD122ACD 不是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BCDABC64时，BDC52，ACD20，ADC128，ACD 是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BDCABC64时，BCD52，ACDACBBCD32BAC，ACD 是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2 所示，、分ABC，同（）的方法，判断此种情况不成立；、分BAC，同（）的方法，判断此种情况不成立；如图 3，在 AB 边上取点 D，连接 CD，使ACDA图 3作 CGAB 于 G，CDBACD+A2A，B2A，CDBB，CDCBa，ACDA，ADCDa，D
50、BABADca，CGAB，1（ca），211AGAD+DGa+（ca）（a+c），22DGBG在 RtACG 中，CG2AC2AG2b2在 RtBCG 中，CG2BC2BG2a2b21（c+a）2，21（ca）2，211（a+c）2a2（ca）2，22b2ac+a2，ABC 是“类勾股三角形”【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义26(1)45；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)6；sab，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图 1 中，连接 BE利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等