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1、隐函数的导数、隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率相关变化率第五节第五节一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:隐函数的显化隐函数的显化例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定y y是是x x的函数的函数,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对两边对x求导求导(含导数含导数 的方程的方程)例例1.1.解：解：解得解得例例2.2.解：解：所求切线方程为所求
2、切线方程为显然通过原点显然通过原点.例例3.3.解：解：二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数方法：方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围：适用范围：例例4.4.解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得例例5.5.解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地（对数求导法）（对数求导法）三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反
3、函数的求导法则得若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶可导,且且则由它确定的函数则由它确定的函数可求二阶导数可求二阶导数.利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得例例6.6.解：解：所求切线方程为所求切线方程为例例7.7.解解设由方程设由方程确定函数确定函数求求方程组两边对方程组两边对t t 求导求导,得得故故例例8.8.解：解：例例9.9.解：解：解：解：得得练习：练习：练习：练习：若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程给出给出,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程,因此曲线因此曲线切线的斜率为切线的斜率为例例10.10.解：解：将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换
4、成则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法借助参数方程处理问题的方法,在高等数学在高等数学中将多次遇到中将多次遇到.四、相关变化率四、相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率例例
5、11.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则两边对两边对 t 求导求导已知已知 h=500m 时时,思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:对 t 求导已知求试求当容器内水例例12.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部
6、向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的两边对 t 求导而故体积为 V,则水面水面例例13.13.解：解：桥面桥面2020m mx xy y(1)(1)在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5 5s s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.对对t t求导求导(2)(2)(3)(3)内容小结内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连
7、除表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式思考题思考题不对不对求其反函数的导数求其反函数的导数 .解解:方法方法1 1方法方法2 2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导2.2.设设3.3.设设由方程由方程确定确定,解解:方程两边对方程两边对x x求导求导,得得再求导再求导,得得当当时时,故由故由 得得再代入再代入 得得 求求