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1、长春工业大学 高等数学二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导三、相关变化率长春工业大学 高等数学一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数为 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.长春工业大学 高等数学 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0)即
2、eyyy+xy0 方程中每一项对x求导得 解 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得 解 长春工业大学 高等数学例例3.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即长春工业大学 高等数学 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例4 方程两边对x求导 得 长春工业大学 高等数学y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设
3、yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得对数求导法长春工业大学 高等数学 例5 求yx sin x(x0)的导数 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 长春工业大学 高等数学上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例6 先在两边取对数 得 解 长春工业大学 高等数学 设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则二
4、、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytxyj确定的 长春工业大学 高等数学 解 例例7 7.求椭圆tbytaxsincos在相应于4 pt点处的切线方程 所求切线的斜率为abdxdyt4p 长春工业大学 高等数学 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 x(t)=v1 y(t)=v2-gt 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 速度的水平分量与铅直分量分别为 先求速度的大小 解 长春工业大学 高等数学讨论 已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?例
5、例9.设求例例10.设,且求解解:解解:长春工业大学 高等数学的函数yf(x)的二阶导数 解 (t2np n为整数)例例11计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所确定 长春工业大学 高等数学 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率长春工业大学 高等数学例例12.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求导已知 h=500m 时,长春工业大学 高等数学 作业：作业：p-110 习题习题2-4 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12