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1、第四节第四节 重积分的应用重积分的应用1.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法(元素法元素法)分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3.解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 已经学过的利用重积分解决的问题已经学过的利用重积分解决的问题1 平面区域平面区域的面积的面积2 曲顶柱体的体积
2、曲顶柱体的体积3 平面薄片平面薄片的质量的质量4 空间物体空间物体的体积的体积5 空间物体空间物体的质量的质量例例1 求物体求物体的体积。的体积。解解在球坐标系下空间立体在球坐标系下空间立体所占区域为所占区域为则立体体积为则立体体积为一一 曲面面积曲面面积设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累无限积累设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,则则而成而成.(称为称为面积元素面积元素)故有曲面面积公式故有曲面面积公式即即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 则有则有例例2 求
3、球面求球面为平面为平面所夹部分的曲面面积。所夹部分的曲面面积。解解该曲面可以看成该曲面可以看成球面球面落落在在部部分，分，例例3 求圆锥面求圆锥面夹在两圆柱面夹在两圆柱面之间的那部分面积之间的那部分面积解解落在落在内的那部分面积内的那部分面积例例4 求球面求球面的面积。的面积。解法一解法一球面的面积为上半球面球面的面积为上半球面的两倍，的两倍，由于由于其在其在无界，无界，所以取所以取解法二解法二设球面方程为设球面方程为 球面面积元素为球面面积元素为利用球坐标方程利用球坐标方程.二二 物理应用物理应用1 物体的质心物体的质心设平面有设平面有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知,该
4、质点系对该质点系对y,x 的静矩的静矩分别位于分别位于为为为为如果把质点组的质量集中在一点如果把质点组的质量集中在一点使得质点组使得质点组对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对相同的轴的静矩，相同的轴的静矩，那么该点就称为该质点组的质心，那么该点就称为该质点组的质心，因此因此如果如果xoy面薄片面薄片D，面密度函数为面密度函数为则在则在D上任上任取含有点取含有点的面积元素的面积元素则其对则其对y，x的静矩分别的静矩分别为为薄片薄片D 对对y，x的静矩为的静矩为薄片薄片D的总质量为的总质量为其中其中A 为为 D 的面积的面积得得D 的的形心坐
5、标形心坐标:质心坐标为质心坐标为同理可得体密度为同理可得体密度为的空间物体的空间物体的质心的质心则得形心坐标：则得形心坐标：例例5 求位于两圆求位于两圆和和的形心的形心.解解:利用对称性可知利用对称性可知而而例例6 设面密度函数为设面密度函数为求由求由围成的三角形簿片的质心。围成的三角形簿片的质心。解解例例7求由求由所围均匀物体的所围均匀物体的质心质心解解设物体体密度为设物体体密度为由对称性由对称性2 转动惯量转动惯量质量为质量为m的质点的质点M对定轴对定轴l的转动惯量为的转动惯量为其其中中r为为M到轴到轴l的距离，的距离，质点组对轴质点组对轴l的转动惯量为各质点的转动惯量为各质点的转动惯量的
6、总和，的转动惯量的总和，设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该物体位于该物体位于(x,y,z)处处因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的的转动惯量转动惯量:的的微元微元故连续体的转动惯量可用积分计算故连续体的转动惯量可用积分计算.对对z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为类似可得类似可得:对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.分别称为对分别称为对面的面的转动惯量转动惯量。则则例例8 求由
7、求由所围的均匀薄片对所围的均匀薄片对轴的转动惯量。轴的转动惯量。解解 例例9 求密度为求密度为 的均匀球体对于球心的一条轴的均匀球体对于球心的一条轴l的转的转动惯量动惯量.解：解：所求转动惯量即球体对于所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为轴的转动惯量为取球心坐标原点，取球心坐标原点，z轴与轴轴与轴l重合，又设球的重合，又设球的半径为半径为a，其中其中 为球体的质量为球体的质量.则球体所占空间闭区域则球体所占空间闭区域例例10 求均匀圆柱体求均匀圆柱体对对yoz 面面的转动惯量。的转动惯量。解解设体密度为设体密度为3 引力引力量的质点的引力近似地为量的质点的引力近似地为设物体占有空间有界闭区域
8、设物体占有空间有界闭区域，它在点它在点(x,y,z)处的处的密度为密度为并假定并假定在在上连续上连续.在物体在物体内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域dv(这闭区域的体积也记作这闭区域的体积也记作dv)，(x,y,z)为这一小块中的一点为这一小块中的一点.把这一小块物体的质量把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点近似地看作集中在点(x,y,z)处处.于是按两质点间的引于是按两质点间的引力公式，力公式，可得这一小块物体对位于可得这一小块物体对位于处单位质处单位质其中其中为引力元素为引力元素在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分量，分量，G为引力常为引力常数数.将将在在上分别积分，即得上分别积分，即得设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域度为度为面密面密则该薄片对质量为则该薄片对质量为m的质点的质点的引力为的引力为例例10 求均匀圆柱体求均匀圆柱体对位于在对位于在原点处的单位质点的引力原点处的单位质点的引力解解由对称性知由对称性知