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1、、例例4解解.1,)(2222222222222所围成的立体区域所围成的立体区域由由是是其中其中计算三重积分计算三重积分 czbyaxczbyaxdxdydz;cossinsincossin czbyax由广义球面坐标变换由广义球面坐标变换.sin),(),(2 abczyxJ dddabcdxdydzczbyaxsin)(242222222 dddabc 106020sin.74abc cossinsincossinwvu cwzbvyaux. 10;0;20 1222 wvu1222222 czbyax 第四节、重积分应用第四节、重积分应用1.1.立体的体积立体的体积一、几何应用一、几何应
2、用、例例1.22所围立体的体积所围立体的体积与与求由曲面求由曲面yxzyxz 解解02222 yxyxzyxzyxz消消去去.)()()(222221221 yx.)()()(:222221221 yxDxoy面面的的投投影影区区域域在在 yxyxDdzdxdydxdydzV22 dxdyyxyxD)(22 DDdxdyyxdxdyyxyx)()()(2212212122rJrDryrx 222121020:sincos: 令令.)(8122202120 rdrrdV 重积分应用重积分应用 2 、 曲面面积曲面面积 dyxfyxfdAyx),(),(122 DyxDdyxfyxfdAA ),(
3、),(122)1),(),(cos),(),(:yxfyxfnddADyxyxfzyxxy ),(),(11cos22yxfyxfznyx 轴正向的夹角为轴正向的夹角为与与的切平面的部分的切平面的部分在点在点黄颜色小平面是曲面黄颜色小平面是曲面),(zyxP :曲曲面面面面积积计计算算公公式式,),(),(:)1(xyDyxyxfz 、假假设设曲曲面面;)()(122 xyDyzxzdxdyA:,),(的面积为的面积为则曲面则曲面具有连续偏导数具有连续偏导数 yxf,),(),(:)2(xzDzxzxfy 、假设曲面、假设曲面;)()(122dxdzAxzDzyxy :,),(的面积为的面积为
4、则曲面则曲面具有连续偏导数具有连续偏导数 zxf,),(),(:)3(yzDzyzyfx 、假假设设曲曲面面.)()(122dydzAyzDzxyx :,),(的面积为的面积为则曲面则曲面具有连续偏导数具有连续偏导数 zyf、例例2.2222的表面积的表面积求球面求球面azyx 解解222222:),( ,:ayxDDyxyxazxyxy 由由对对称称性性考考虑虑上上半半球球面面 dxdydxdyzzdSyxayyxaxyx22222222)()(11222222 dxdyyxayyxax222222221dxdyyxaa222 2222222ayxyxaadxdyA所所求求球球面面积积 ar
5、ardrda020222 ararada0)(22222 araa0222121)(112 .4)0(42aaa 、例例3.,)0(2222大大在定球面内部的面积最在定球面内部的面积最球面球面取何值时取何值时问问上上的球心在定球面的球心在定球面的球面的球面设半径为设半径为 RaazyxR解解)1(,:224222222aRRyxyxRaz )1()(20 ,)(:224222222222222222aRzRyxRazyxazyxaRRazyx 消消去去的的方方程程为为曲曲面面:的的方方程程为为所所求求曲曲面面 )1(,:224222222aRRyxyxRaz 的方程为的方程为所求曲面所求曲面
6、)1(222422221)(:aRRyxyxdxdyzzRA的的面面积积为为 )1(222242222aRRyxyxRRdxdy )1(222242222aRRyxyxRRdxdy 242102220aRRrRRrdrd 22410222aRRrRR )(2223aRR aRRRAaR20)(2)(223 )(0,0)1(4)2(23443232舍舍去去 RRRRRAaaRaR .,)(342273234在在定定球球面面上上的的面面积积最最大大球球面面时时所所以以当当且且驻驻点点唯唯一一面面积积一一定定存存在在因因为为该该实实际际问问题题的的最最大大得得 aRaaA ),(3032011星期三
7、星期三第六周第六周日日月月年年.),.,3 , 2 , 1(),(,的质点系的质点系坐标为坐标为质量为质量为niyxmiii niiniiixniiniiiymmyMMymmxMMx1111:),()(则则的坐标的坐标质点系重心质点系重心点点yx .),(),(,),(),(:),(,),(, DDxDDydxdyyxdxdyyxyMMydxdyyxdxdyyxxMMxyxDyxD 为为则重心坐标则重心坐标上连续上连续在在且面密度且面密度设平面薄片所在区域为设平面薄片所在区域为二、重心坐标二、重心坐标.,:),( ,的面积的面积是区域是区域为为重心坐标称为形心坐标重心坐标称为形心坐标当密度均匀
8、时当密度均匀时DdxdydxdyydxdyMMydxdyxdxdyMMxyxDDDxDDy .;,),(,)(),(),(,),(),(,),(),(:),(,),(,的体积的体积是是重心坐标为形心坐标重心坐标为形心坐标时时均匀分布均匀分布为常数为常数当密度当密度为为则重心坐标则重心坐标连续连续密度为密度为若空间立体所占位置为若空间立体所占位置为 dvdvzdvzdvydvydvxdvxzyxdvzyxdvzyxzzdvzyxdvzyxyydvzyxdvzyxxxzyxzyx 、例例4).(sin4,sin2形心形心之间均匀薄片的重心之间均匀薄片的重心求介于两圆求介于两圆 rr解解;0:)(
9、x形形心心的的横横坐坐标标知知见见图图由由对对称称性性 DDdxdyydxdyy 4Dydxdy drrd sin4sin220sin31 04sin956d37221432956 )., 0(:37M形心坐标为形心坐标为), 0(37M、例例5.:,)(22yxyxDdxdyyxD 其中其中计算计算解解21221221)()(: yxD).,(:2121MD的形心坐标为的形心坐标为 DDDydxdyxdxdydxdyyx)()()(DAyDAx .2221221 )(,)(2 DADDA的面积的面积为为三、其他应三、其他应用用)(.2的距离的距离到直线到直线是质点是质点转动惯量转动惯量的的的
10、质点绕直线的质点绕直线质量为质量为lmdmdIlml ),(),()(;),(;),(:,2222的面密度的面密度是是分别为分别为轴以及原点的转动惯量轴以及原点的转动惯量轴轴绕绕平面区域平面区域DyxIIIdxdyyxyxIdxdyyxxIdxdyyxyIyxDyxoDoDyDx ),()(),()(),()(),()(),()(:,212220222222的体密度的体密度是是分别为分别为轴以及原点的转动惯量轴以及原点的转动惯量轴轴轴轴绕绕空间区域空间区域 yyxIIIIdxdydzzyxzyxIdxdydzzyxyxIdxdydzzyxzxIdxdydzzyxzyIzyxzyxozyx 三三
11、、其其他他应应用用、例例6.径径边边的的转转动动惯惯量量的的均均匀匀半半圆圆薄薄片片对对于于直直求求半半径径为为a解解:所所以以所所求求转转动动惯惯量量0,:,222 yayxDD面区域为面区域为设均匀半圆薄片所占平设均匀半圆薄片所占平 adrrdd02300sin DxdxdyyI2 .)21(2为为均均匀匀半半圆圆薄薄片片的的质质量量其其中中 aM 244124Maa 、例例7.).3(;).2(;).1(),0()0(2222轴的转动惯量轴的转动惯量求该球体关于求该球体关于求该球体的重心坐标求该球体的重心坐标求该球体的质量求该球体的质量则则比例系数为比例系数为离成反比离成反比与坐标原点到
12、该点的距与坐标原点到该点的距上各点的密度上各点的密度假设球体假设球体zkaazzyx ).1 (解解,),(222zyxkzyx 的的体体密密度度球球体体 dxdydzzyxM),(质量质量 dxdydzzyxk222drrddkar2cos2012020sin cos202020sinardrddk drkacos2022120sin2 2022cossin4 dak.cos342033422 kaka ; 0),(),(),(1 dxdydzzyxxdxdydzzyxdxdydzzyxxxM :).2(求求该该球球体体的的重重心心坐坐标标; 0),(),(),(1 dxdydzzyxydx
13、dydzzyxdxdydzzyxyyM ),(奇函数奇函数对称对称面面关于关于xyoz ),(奇函数奇函数对称对称面面关于关于yxoz dxdydzzyxzdxdydzzyxdxdydzzyxzzM),(),(),(1 ,2222rzyx 2222sinryx drrddkIarrz2cos20sin202022sin drrdka cos203203sin2 20cos204413)(sin2 drka 20434cossin8 dka 20424coscossin8 dka 20424coscos)cos1(8 dka.35164 ka )(8coscoscoscos87151420206
14、44kaddka .).3(zIz轴的转动惯量轴的转动惯量求该球体关于求该球体关于dxdydzzyxyxIz),()(22 ;22222)(dxdydzzyxyxk dxdydzzyxzdxdydzzyxdxdydzzyxzzM),(),(),(1 dxdydzzyxkzka222243 cos2021202043cossin2aradrrrdd 204202cossin ddaaada54512202055122)()(cos ), 0 , 0(:54a重心坐标为重心坐标为),(142011星期五星期五第六周第六周日日月月年年、含含参参变变量量的的积积分分第第五五节节 、定理定理1.,),(
15、)(,)(,)(:)(),(,:),()()(上连续上连续在在则函数则函数满足满足连续函数连续函数上连续上连续在矩形区域在矩形区域若函数若函数badyyxfxdxcdxcxxdycbxaDyxfxx )(2 莱莱布布尼尼兹兹公公式式、定定理理).()(,()()(,(),()(,),()(,)(,)(:)(),(,:),(),()()()()(xxxfxxxfdyyxfxbadyyxfxbaxdxcdxcxxdycbxaDyxfyxfxxxxxx 并且并且上可微上可微在在则函数则函数满足满足可微函数可微函数上连续上连续在矩形区域在矩形区域及其偏导数及其偏导数若函数若函数、例例1).(,)sin()(2xdyyxyxxx 求求设设解解 xxxxxdyxyxxx223sin2sin)cos()(2 有有应用莱布尼兹公式应用莱布尼兹公式 ,.sin2sin323xxx 、定理定理3.),(),(,:),(dxyxfdydyyxfdxdycbxaDyxfbadcdcba 则则上连续上连续在矩形区域在矩形区域若函数若函数、例例2).0(ln10badxxxxab 计算定积分计算定积分解解 1010lnbayabdyxdxdxxxx dxxdyyba10 dybayxy1011.11ln)1ln( abyba dybay 11