《第四节 重积分的应用优秀课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四节 重积分的应用优秀课件.ppt（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第四节 重积分的应用第1页，本讲稿共35页几何应用和物理应用求平面区域面积求空间区域体积求曲面的面积求物体质量求物体质心求转动惯量求引力第2页，本讲稿共35页一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用1 1、平面区域面积：、平面区域面积：为D 的面积,则 解：解：第3页，本讲稿共35页解解:第4页，本讲稿共35页第5页，本讲稿共35页2、空间区域体积：空间区域体积：曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为：占有空间有界闭区域空间有界闭区域 的立体的体积为：第6页，本讲稿共35页例例3.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P148-例6)解解:设由对称性可知第7页，本讲稿共35页例
2、例4.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.（P163-例4）解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第8页，本讲稿共35页(1)设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，3 3、曲面的面积、曲面的面积:第9页，本讲稿共35页曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第10页，本讲稿共35页(3)设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：(2)设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第11页，本讲稿共35页例例5.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程
3、为 球面面积元素为方法方法2：利用直角坐标方程利用直角坐标方程.（方法方法1 ）利用球坐标方程.见见P167-例例1第12页，本讲稿共35页例例6.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积出的面积 A.见见P168-例例2第13页，本讲稿共35页*二、重积分的物理应用二、重积分的物理应用1、平面薄片的质心、平面薄片的质心第14页，本讲稿共35页当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.由元素法由元素法第15页，本讲稿共35页解解第16页，本讲稿共35页第17页，本讲稿共35页2 2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量第18页
4、，本讲稿共35页薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量第19页，本讲稿共35页解解第20页，本讲稿共35页第21页，本讲稿共35页解解第22页，本讲稿共35页第23页，本讲稿共35页薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数3 3、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力第24页，本讲稿共35页解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知第25页，本讲稿共35页所求引力为所求引力为第26页，本讲稿共35页三、利用对称性化简重积分（三、利用对称性化简重积分（补充内容补充内容）1 1、利用对称性化简二重积分、利用对称性化简
5、二重积分：（：（偶倍奇零偶倍奇零）f(x,y)关于y 的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：(1)若D 关于 x=0(y 轴)对称(如图),则第27页，本讲稿共35页(2)若D 关于y=0(x 轴)对称(如图),则(3)若D 关于y=0(x 轴)和x=0(y轴)对称(如图),且f(x,y)关于x和y均为偶函数，则第28页，本讲稿共35页解：解：第29页，本讲稿共35页(4)若D 关于原点对称(如图),则第30页，本讲稿共35页(5)若D 关于直线y=x 对称(如图),则(6)若D 关于直线y=x 对称(如上图),且f(x,y)关于 x 和 y 都对称（即f(x,y)=f(y,x)），则第31页
6、，本讲稿共35页2 2、利用对称性化简三重积分、利用对称性化简三重积分：f(x,y,z)关于x和y 的奇偶性可类似定义，有以下重要结论：(1)若关于z=0(xoy平面)对称，则第32页，本讲稿共35页例例.设计算提示提示:利用对称性原式=奇函数相应地，若关于yoz平面(zox平面)对称，f(x,y,z)关于x（或y）有奇偶性，可得相应结论。第33页，本讲稿共35页(2)若关于三个坐标面 对称，且f(x,y,z)关于x,y,z均 为偶函数，则例例.设计算第34页，本讲稿共35页内容小结内容小结1、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、曲面的面积曲面的面积2、计算要简便计算要简便充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为第35页，本讲稿共35页