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1、二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从的规律出发，必然会考
2、虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。而提出了多元函数的积分学问题。当人们把定积分解决问题的基本思想当人们把定积分解决问题的基本思想“分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。象概括出来，就得到多元函数积分学。具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧平
3、面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。这就是多元函数积分学的内容。本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。概念、性质、计算和应用。重点重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。基本要求基本要求理解重
4、积分概念，了解其基本性质理解重积分概念，了解其基本性质熟练掌握重积分的计算方法熟练掌握重积分的计算方法掌握累次积分的换序法掌握累次积分的换序法掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割
5、、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域被被被被积积积积函函函函数数数数积积积
6、积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素积积积积分分分分和和和和对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值由二重积分的定义可知由二重积分的定义可知若二重积分若二重积分存在存在则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系
7、下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠紧靠D的边界的小区域的面积的边界的小区域的面积其中其中L为为D的围长的围长则面积元素为则面积元素为D D故二重积分可写为故二重积分可写为三、二重积分的性质三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质性质性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上则有则有特
8、殊地特殊地性质性质（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）解解解解解解解解 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示四、小结四、小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）二重积分的性质二重积分的性质 （与定积分类似）（与定积分类似）思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.思考题解答思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数练练 习习 题题练习题答案练习题答案