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1、第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数参数方程求导相关变化率1定义定义1.隐函数的定义隐函数的定义所确定的函数所确定的函数一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为隐函数隐函数(implicit function).显函数显函数.隐函数的隐函数的可确定显函数可确定显函数例例开普勒方程开普勒方程显式显式?显化显化.22.隐函数求导隐函数求导隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数
2、的导数 相关变化率相关变化率隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到并注意到将方程两边对将方程两边对 x 求导求导.变量变量 y 是是 x 的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化，隐函数不易显化或不能显化，如何求导如何求导3例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率将此将此恒等式两边同时对恒等式两边同时对x求导求导,注意到注意到 y 是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,复合函数求导法复合函数求导法:0=y0=x0=y0=x4例例解解切线方程切线方程法线方程法线方程隐函数及由参数方程所确定
3、的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率通过原点通过原点.6例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率7或解或解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率8隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率解解103.对数求导法对数求导法(1)许多因子相乘除、开方的函数（连乘积）许多因子相乘除、开方的函数（连乘积）.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率
4、适适用用于于方方方方 法法法法方程两边取对数方程两边取对数,再利用隐函数再利用隐函数求导法。求导法。11例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 隐函数隐函数12例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率13注注复合函数，再求导。复合函数，再求导。化幂指函数为化幂指函数为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率14例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率15有
5、些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例例两边取对数：两边取对数：两边对两边对x求导：求导：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率xb+16解答解答隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数等式两边取对数17解答解答隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率18二、由参数方程所确定函数的导数如如隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称为由称为由参数
6、方程所确定的函数参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数 t，,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy19隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则:20例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 所求切线方程所求切线方程：21隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率24解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率27