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1、河北省衡水中学2016届高三下学期（衡水卷五）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A B C D【答案】A考点：集合的运算.2.已知复数为虚数单位), 则（ ）A的实部为 B的虚部为C D的共轭复数为【答案】D【解析】试题分析：由，故的共轭复数为，故选项为D.考点：复数的概念.3.椭圆的离心率是,则实数为（ ）A B C或 D或【答案】C【解析】试题分析：由椭圆，（1）当时，得；（2）当时，得,故选项为C.考点：椭圆的性质.4.执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（ ）A B C D【答案
2、】A考点：程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，大多数有两种情形一种是循环次数比较少时，列举出每一次的运行过程直到达到输出条件即可，另一种是循环次数较多时，寻找它运行的规律即可.5.我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于分的人数为，则该班的人数为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：低于分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即，故该班人数为人，选项为B.考点：频率分布直方图.6.已知，则（ ）A B
3、C或 D【答案】A【解析】试题分析：因为,则，故选A.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.来源:学。科。网7.已知函数是上的奇函数, 则不等式的解集是（ ）A来源:学科网ZXXKBC当时, 解集是；当时, 解集是 D当时,解集是；当时, 解集是【答案】C【解析】试题分析：因为函数是上的奇函数，所以，故，则，当时，函数单调递增，得；当时，函数单调递减，得,故选C.考点：函数的奇偶性.8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图与侧视图均为半径是的圆, 则这个几何体的体积是（ ）A B C D【答案】C考点：由三视图求面积，体积.9.已知双曲线 的虚轴端点到一条渐近线的距离为,则双曲线的离心
4、率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意得双曲线 的虚轴端点可以取，渐近线可以取，故，得离心率，故选项为D.考点:双曲线的性质.10.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍, 纵坐标不变, 再将其向左平移个长度单位后, 所得的图象关于轴对称, 则的值可能是（ ）A B C D【答案】D考点：（1）三角函数图象变换；（2）三角函数的性质.11.在等比数列中, 若,则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为数列为等比数列，所以，故选C.考点：等比数列的性质.12.定义：若函数对定义域内的任意，都有恒成立，则称函数的图象的直线对称，若函数关于直线对称，且，则函数在下列
5、区间内存在零点的是（ ）A B C D【答案】C考点：（1）函数图象的对称性；（2）根的存在定理.【方法点晴】本题主要考查三次函数，二次函数图象所具有的性质以及根的存在定理的应用，难度适中，关键在于对上述两个函数图象熟悉的基础上，注意平时知识的积累；由三次项系数含有参数的函数关于直线对称，得到且，得到，结合，易得符号相反得解.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知向量与向量垂直，若，向量，在向量方向上的投影为，则向量的坐标为 【答案】【解析】试题分析：因为向量与向量垂直，所以，得；则，又因为向量，在向量方向上的投影为且，所以，得，故向量的坐标为.考
6、点：（1）向量的数量积；（2）投影的概念.14.设变量满足不等式组,则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：变量满足不等式组,故其对应的区域如图所示，其中,，故，得，故的取值范围是.考点：线性规划.15.某工厂实施煤改电工程防治雾霾, 欲拆除高为的烟囱, 测绘人员取与烟囱底部在同一水平面内的两个观测点,测得米, 并在点处的正上方处观测顶部的仰角为,且米, 则烟囱高 米【答案】【解析】试题分析：，在中，根据正弦定理得，（米），故答案为：考点：解三角形的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，考查学生的计算能力，画图识图的能力，只要准确找到图形中的长度和角的关系，是解决此问题的关键，
7、正确求出是关键，属于中档题理解清楚俯角和仰角的概念，在中由三角形的内角和求出，再根据正弦定理求得的值，即可求得16.已知函数是周期为的偶函数, 且当时, 函数,若不等式的解集是,则正数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为函数是周期为的偶函数, 且当时,故可得其图象如图所示，使得成立，即曲线在直线的下方，又因为解集分为三段，直线过定点，故可知直线与曲线相交的临界点为,过点不行，过点可以，故正数的取值范围是.考点：（1）函数的周期性与奇偶性；（2）数形结合思想.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性，以及函数的图象，及函数图象交点的问题，转化与化归思想，数形结合思想，综合性较强，难
8、度适中.首先由函数的奇偶性和周期性易得到该函数在整个定义域上的图象，把不等式的解集转化为的图象在图象的下方，且恒过定点，由其解集分为三段可得两图象交点的临界点，同时一定要注意临界点的取舍.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式；（2）设为自然对数的底数), 定义：,求.【答案】（1）当时，当时，；（2）.【解析】试题分析：（1）由递推式求数列的通项公式：时，需注意验证时是否成立；（2）将第一问中的两种情况分别代入可得结果.试题解析：（1）当时, ；当且时, , 当时,适合此等式,
9、当时, 不适合此等式,所以当时, ；当时,.（2）当时,. 当时, 所以,综上,.考点：数列的通项公式.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先通过,得到四边形为菱形,利用菱形的对角线相互垂直得，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得得到，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：，由可得三棱锥的底面的面积，由（1）知为棱锥的高，由体积公式可得结果.试题解析：（1）在侧面中, 因为,所以四边形为菱形, 所以,因为平面平面,所以,又因为平面.考点：（1）线面垂直的
10、判定；（2）几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查的是证明线面垂直，求三棱锥的体积属于中档题证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等；在求三棱锥的体积中，关键是准确的找到几何体的高及底面，除了直接法以外，常见的还有等体积法求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲, 乙两班各名同学, 测量出他们的身高(单位：),获得身高数据的茎叶图, 其中甲, 乙两班各有一个数据被污损.（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为,乙班同学身高的中位数为,求甲, 乙两班污损处的数据；（2）在(1) 的条件下,
11、求甲, 乙两班同学身高的平均值；（3）若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值, 求甲班污损处的数据的值；在的条件下, 从乙班这名同学中随机抽取两名身高高于的同学, 求身高为的同学被抽中的概率.【答案】（1），；（2），；（3）；.【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是，乙班污损处是；（2）直接根据平均数的公式可得结果；（3）由平均数的概念结合题意可得不等式，易知甲班污损处只能是；利用列举法列出满足题意得所有基本事件，根据古典概型计算公式可得结果.试题解析：（1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为,所以甲班污损处是 . 因为乙班同学身高的中位数为,所以乙班
12、污损处是.（2）由(1)得甲班同学身高的平均值为,乙班同学身高的平均值为.(3) 设甲, 乙班污损处的数据分别为,则甲班同学身高的平均值为,乙班同学身高的平均值为,由题意,. 解得.又,则,得,此时.故甲班污损处的数据的值为.设“身高为的同学被抽中” 为事件,从乙班名同学中抽取两名身高高于的同学有：共个基本事件, 而事件含有共个基本事件, 所以.考点：（1）数据的数字特征；（2）古典概型.20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点.（1）若,求直线的方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）已知直线过定点，可设为点斜式，可分为斜率
13、存在和不存在两种情况经行讨论，当斜率不存在时验证不合题意，当斜率存在时，联立直线与抛物线的方程，结合维达定理得到和的值，代入,得到斜率的值，故得解；（2）求出特例当斜率不存在时，三角形的面积,在求出当斜率不存在时结合维达定理，表达出的表达式，求出其最值.试题解析：（1）不妨设点在轴上方, 当直线的斜率不存在时, 直线方程为,此时将代入抛物线中, 得,解得,所以点的坐标分别为,又焦点的坐标为,则,所以,不满足,故舍去；当直线的斜率存在时, 设斜率为显然,故直线方程为.设点,联立,消去,得,且,则由韦达定理,得,又焦点的坐标为,则,所以.由题意, 解得,所以直线方程为或,即或.（2）当直线的斜率不
14、存在时, 由(1)得, 点的坐标分别为,所以的面积为；当直线的斜率存在时, 设斜率为显然,由(1) 得, 所以的面积为.综上所述, 面积的最小值为.考点：（1）抛物线的简单性质；（2）直线与圆锥曲线的综合.【一题多解】为了避免对斜率的讨论，可采用：设直线为，,，由，消得，则，得，即，故直线的方程为或.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）记为的从小到大的第个极值点, 证明：不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，故可求得切线的斜率为，由点斜式可得切线的方程；（2）求出函数的极值点，利用放缩法得，在结合裂项相消法，注意从
15、第二项起开始放缩得证.试题解析：（1）,则切线的斜率为,又,故函数在点处的切线方程为,即.（2）由,得所以当且时,. 所以当时, 时,. 又当时,.来源:Zxxk.Com综上, .考点：（1）求函数的切线方程；（2）利用放缩法证明不等式.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的极值，放缩法证明不等式成立，属于难题.利用导数求函数的切线方程的步骤：求出切点坐标；对求导，求出斜率；利用点斜式求出切线的方程；在第二问中求出极点代入，符合放缩法及裂项相消法的形式，注意方法的积累.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题
16、号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知圆上的四点、,过点的圆的切线与的延长线交于点.（1）求证：；（2）若,求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由两直线平行内错角相等可得由弦切角定理可得，即可得出证明；（2）由角边角可得三角形全等即,得到,又由切割线定理可得,代入可得结论.考点：（1）弦切角定理；（2）切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 以为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数), 直线和圆交于两点, 是圆上不同于的任意一点.（1）求圆心的极
17、坐标；（2）求点到直线的距离的最大值.【答案】（1）；（2）.来源:学科网ZXXK【解析】试题分析：（1）将圆：化为普通方程，得到其圆心，根据极坐标的定义可得其极坐标为；（2）把直线化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.试题解析：（1）由,得,得,故圆的普通方程为,所以圆心坐标为,圆心的极坐标为.（2） 直线的参数方程为为参数) 化为普通方程是,即直线的普通方程为,因为圆心到直线的距离,所以点到直线的距离的最大值.考点：（1）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；（3）点到直线的距离公式.来源:Zxxk.Com24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求函数恒成立；（2）求使得不等式成立的实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）由,有当且仅当，时取等号, 所以恒成立.（2）,当,即时,由,得,化简得,解得或,所以或,当,即时, 由,得,此式在时恒成立, 综上, 当时,实数的取值范围是.考点：(1)绝对值不等式的性质及解法；（2）均值不等式.