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1、河北省衡水中学河北省衡水中学 20162016 届高三下学期（衡水卷五）届高三下学期（衡水卷五）文数试题文数试题一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .）1.已知集合,|1 ,|32Ax yyxBx yyx，则AB （）A2 5,3 3B2 5,3 3C2 5,3 3D2 525,3 333 【答案】A考点：集合的运算.2.已知复数1(12izii为虚数单位), 则（）Az的实部为15Bz的虚部为15iC35z Dz
2、的共轭复数为3155i【答案】D【解析】试题分析：由532121211211iiiiiiiz，故z的共轭复数为3155i，故选项为 D.考点：复数的概念.3.椭圆222:106xyCaa的离心率是66,则实数a为（）A6 55B5C6 55或5D55或5【答案】C【解析】试题分析：由椭圆222:106xyCaa，（1）当62a时，616222aae，得556a；（2）当62a时，616622ae，得5a,故选项为 C.考点：椭圆的性质.4.执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（）A1B43C54D2【答案】A考点：程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题解题时一定要抓住重
3、要条件“QS ” ，否则很容易出现错误在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，大多数有两种情形一种是循环次数比较少时，列举出每一次的运行过程直到达到输出条件即可，另一种是循环次数较多时，寻找它运行的规律即可.5.我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40 , 40,60 , 60,80 , 80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A40B50C60D70【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为 B.考点：频率分布直方图.6.已知71
4、sin24，则cos2（）A78B78C78或78D154【答案】A【解析】试题分析：因为41cos27sin,则871cos22cos2，故选 A.考点： （1）诱导公式； （2）二倍角公式.来源:学。科。网7.已知函数 ln01xf xabaa且是R上的奇函数, 则不等式 lnf xaa的解集是（）A, a 来源:学科网 ZXXKB,aC当1a 时, 解集是, a ；当01a时, 解集是,aD当1a 时,解集是,a；当01a时, 解集是, a 【答案】C【解析】试题分析：因为函数 ln01xf xabaa且是R上的奇函数，所以 01ln0bf，故0b，则 axaxfxlnln，当1a时，函
5、数单调递增 afaaxfln，得ax ；当10 a时，函数单调递减 afaaxfln，得ax ,故选 C.考点：函数的奇偶性.8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图与侧视图均为半径是1的圆, 则这个几何体的体积是（）A3B23CD43【答案】C考点：由三视图求面积，体积.9.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的虚轴端点到一条渐近线的距离为2b,则双曲线C的离心率为（）A3B3C2D2【答案】D【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:10,0 xyCabab的虚轴端点可以取b, 0，渐近线可以取0aybx，故222bcabbaab，得离心率2ac，故选项为 D.考点:双曲线的
6、性质.10.将函数 sin 206f xx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍, 纵坐标不变,再将其向左平移6个长度单位后, 所得的图象关于y轴对称, 则的值可能是（）A12B32C5D2【答案】D考点： （1）三角函数图象变换； （2）三角函数的性质.11.在等比数列 na中, 若25234535,44a aaaaa ,则23451111aaaa（）A1B34C53D43【答案】C【解析】试题分析：因为数列 na为等比数列，所以2534234523452534251111aaaaaaaaaaaaaaaaaa554334 ，故选 C.考点：等比数列的性质.12.定义：若函数 yf x对定义域内
7、的任意x，都有f mxf mx恒成立，则称函数 yf x的图象的直线xm对称，若函数 321f xcxaxbx关于直线12x 对称，且41ae，则函数 xg xef x在下列区间内存在零点的是（）A11,2 B1,02C1,12D1,2【答案】C考点： （1）函数图象的对称性； （2）根的存在定理.【方法点晴】本题主要考查三次函数，二次函数图象所具有的性质以及根的存在定理的应用，难度适中，关键在于对上述两个函数图象熟悉的基础上，注意平时知识的积累；由三次项系数含有参数的函数 321f xcxaxbx关于直线12x 对称，得到0c且ab，得到 12axaxexgx，结合41ae，易得 1,21g
8、g符号相反得解.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 ）13.已知向量,6ak与向量3, 4b 垂直，若,0,65cx yxc且，向量ac，在向量b方向上的投影为1，则向量c的坐标为【答案】4 , 7【解析】试题分析： 因为向量,6ak与向量3, 4b 垂直， 所以0243k， 得8k； 则6, 8yxca，又因为向量ac，在向量b方向上的投影为1且65c，所以01564836522xyxyx，得47yx，故向量c的坐标为4 , 7.考点： （1）向量的数量积； （2
9、）投影的概念.14.设变量, x y满足不等式组403301xyxyx,则42xyz的取值范围是【答案】23427，【解析】试题分析：变量, x y满足不等式组403301xyxyx,故其对应的区域如图所示，其中3 , 1A,34, 1B，4749，C，故212yx，得2746yx，6427yx，故42xyz的取值范围是23427，.考点：线性规划.15.某工厂实施煤改电工程防治雾霾, 欲拆除高为AB的烟囱, 测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点,C D,测得75 ,60 ,40BCDBDCCD米, 并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30,且1CE 米, 则烟囱高AB 米【答
10、案】1220【解析】试题分析：45180BDCBCDCBD，在CBD中，根据正弦定理得sinsinCDBDCBCCBD20 6，220130tan1BCAB（米） ，故答案为：1220考点：解三角形的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，考查学生的计算能力，画图识图的能力，只要准确找到图形中的长度和角的关系，是解决此问题的关键，正确求出BC是关键，属于中档题理解清楚俯角和仰角的概念，在BCD中由三角形的内角和求出45180BDCBCDCBD，再根据正弦定理求得BC的值，即可求得AB16.已知函数 f x是周期为2的偶函数, 且当0,1x时, 2f xx, 函数 0g xkx k,
11、若不等式 f xg x的解集是 0,0ab cddcba,则正数k的取值范围是【答案】31,51【解析】试题分析：因为函数 f x是周期为2的偶函数, 且当0,1x时, 2f xx,故可得其图象如图所示，使得 f xg x成立，即曲线在直线的下方，又因为解集分为三段，直线过定点0，故可知直线与曲线相交的临界点为1 , 5,13BA ，,过A点不行，过B点可以，故正数k的取值范围是31,51.考点： （1）函数的周期性与奇偶性； （2）数形结合思想.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性，以及函数的图象，及函数图象交点的问题，转化与化归思想，数形结合思想，综合性较强，难度适中.首先由函数
12、的奇偶性和周期性易得到该函数在整个定义域上的图象， 把不等式 f xg x的解集转化为 xf的图象在 xg图象的下方， 且 0g xkx k恒过定点，由其解集分为三段可得两图象交点的临界点，同时一定要注意临界点的取舍.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和为nS,且ln1nSna.（1）求数列 na的通项公式；（2）设(nanbee为自然对数的底数), 定义：1231.nknkbb b bb,求1nkkb.【
13、答案】 （1）当0a 时，1lnnnanNn，当0a 时，ln2,11ln,2na nannn； （2）11nkaknbe.【解析】试题分析： （1）由递推式求数列的通项公式：2,1,11nSSnSannn时，需注意验证1n时是否成立； （2）将第一问中的两种情况分别代入可得结果.试题解析： （1）当1n 时,11ln2aSa；当2n 且nN时,11ln1lnln1lnln1lnlnnnnnaSSnanananannn,当0a 时,1ln2a ,适合此等式, 当0a 时,1ln2ln2aa, 不适合此等式,所以当0a 时,1lnnnanNn；当0a 时,ln2,11ln,2na nannn.（
14、2）当0a 时,1ln112341,.1123nnnannkknnbeebnnn. 当0a 时,2,11ln,2naannebennn, 所以12341123nkaaknnbene,综上,11nkaknbe.考点：数列的通项公式.18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，111,A AAB CBA ABB.（1）求证：1AB 平面1ABC；（2）若15,3,60ACBCA AB，求三棱锥1CAAB的体积.【答案】 （1）证明见解析； （2）34.【解析】试题分析： （1）先通过ABAA 1,得到四边形11A ABB为菱形,利用菱形的对角线相互垂直得11ABAB，在利用线
15、垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABBACB 得到1CBAB，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论； （2）由勾股定理可得：4AB ，由601ABA可得三棱锥ABAC1的底面ABA1的面积，由（1）知BC为棱锥的高，由体积公式可得结果.试题解析： （1）在侧面11A ABB中, 因为1A AAB,所以四边形11A ABB为菱形, 所以11ABAB,因为CB 平面111,A ABB AB 平面11A ABB,所以1CBAB,又因为11,ABBCBAB平面1ABC.考点： （1）线面垂直的判定； （2）几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查的是证明线面垂直，求三棱锥的体积属于中档题证明线面
16、垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等；在求三棱锥的体积中，关键是准确的找到几何体的高及底面，除了直接法以外，常见的还有等体积法求三棱锥的体积.19.（本小题满分 12 分）随机抽取某中学高三年级甲, 乙两班各10名同学, 测量出他们的身高(单位：cm),获得身高数据的茎叶图, 其中甲, 乙两班各有一个数据被污损.（1） 若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,乙班同学身高的中位数为172,求甲, 乙两班污损处的数据；（2）在(1) 的条件下, 求甲, 乙两班同学身高的平均值；（3）若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同
17、学身高的平均值, 求甲班污损处的数据的值；在的条件下, 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm的同学, 求身高为181cm的同学被抽中的概率.【答案】 （1）9，4； （2）170.9，171.2； （3）9；12.【解析】试题分析： （1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4； （2）直接根据平均数的公式nxxxxxnn21可得结果； （3）由平均数的概念结合题意可得不等式81701701010 xy ，易知甲班污损处只能是9；利用列举法列出满足题意得所有基本事件，根据古典概型计算公式可得结果.试题解析： （1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,所
18、以甲班污损处是9. 因为乙班同学身高的中位数为172,所以乙班污损处是4.（2）由(1)得甲班同学身高的平均值为158 162 163 168 168 171 179 179 179 182170.910,乙班同学身高的平均值为159 162 165 168 170 174 176 178 179 181171.210.(3) 设甲, 乙班污损处的数据分别为,09,09, ,x yxyx yN,则甲班同学身高的平均值为158 162.170. 1821701010 xx,乙班同学身高的平均值为159 162.170. 179 18181701010yy,由题意,81701701010 xy .
19、解得8xy.又09,09, ,xyx yN,则min0y,得8,9xx,此时0y .故甲班污损处的数据的值为9.设“身高为181cm的同学被抽中” 为事件A,从乙班10名同学中抽取两名身高高于170cm的同学有： 176,178 , 176,179 , 176,181 , 178,179 , 178,181 , 179,181共6个基本事件, 而事件A含有 176,181 , 178,181 , 179,181共3个基本事件, 所以 3162P A .考点： （1）数据的数字特征； （2）古典概型.20.（本小题满分 12 分）已知抛物线2:4C yx的焦点为F,过点2,0P的直线交抛物线于,
20、A B两点.（1）若11FA FB ,求直线AB的方程；（2）求ABF面积的最小值.【答案】 （1）20 xy或20 xy； （2）2 2.【解析】试题分析： （1）已知直线过定点，可设为点斜式，可分为斜率存在和不存在两种情况经行讨论，当斜率不存在时验证不合题意，当斜率存在时，联立直线与抛物线的方程，结合维达定理得到21xx 和21xx 的值，代入11FBFA,得到斜率k的值，故得解； （2）求出特例当斜率不存在时，三角形的面积,在求出当斜率不存在时结合维达定理，表达出ABFS的表达式，求出其最值.试题解析： （1）不妨设点A在x轴上方,当直线AB的斜率不存在时, 直线方程为2x ,此时将2x
21、 代入抛物线2:4C yx中, 得28y ,解得2 2y ,所以点,A B的坐标分别为 2,2 2 , 2, 2 2,又焦点F的坐标为1,0,则1,2 2 ,1, 2 2FAFB ,所以 1,2 21, 2 21 87FA FB ,不满足11FA FB ,故舍去；当直线AB的斜率存在时, 设斜率为k显然0k ,故直线AB方程为2yk x.设点112212,0,0A x yB xyyy,联立224yk xyx,消去y,得22224440k xkxk,且232160k ,则由韦达定理,得212121212244,4,22kxxx xy yxxk1248x x ,又焦点F的坐标为1,0,则11221
22、,1,FAxyFBxy ,所以 11221212121,1,1FA FBxyxyx xxxy y 2224444187kkk .由题意,24711k , 解得1k ,所以直线AB方程为2yx或2yx ,即20 xy或20 xy.（2）当直线AB的斜率不存在时, 由(1)得, 点,A B的坐标分别为 2,2 2 , 2, 2 2,所以ABF的面积为12121112 22 22 2222SPFyyyy ；当直线AB的斜率存在时, 设斜率为k显然0k ,由(1) 得,21212244,4kxxx xk, 所以ABF的面积为2212121212121211112442 222222SPFyyyyyyy
23、 yxxxx 2121222114411614848 432322 22222kxxx xkk.综上所述,ABF面积的最小值为2 2.考点： （1）抛物线的简单性质； （2）直线与圆锥曲线的综合.【一题多解】 为了避免对斜率的讨论， 可采用： 设直线AB为2 myx，121,4yyA，222,4yyB,0 , 1F，由xymyx422，消x得0842 myy，则840321621212yymyym，2212121,1,44yyFA FByy 222121216161141 811444yymyy ，得12m，即1m，故直线的方程为20 xy或20 xy.21.（本小题满分 12 分）已知函数
24、cossin0f xxxx x.（1）求函数 f x在点,22f处的切线方程；（2）记nx为 f x的从小到大的第n nN个极值点, 证明：不等式2222212311117.4nnNxxxx.【答案】 （1）21024xy ； （2）证明见解析；【解析】试题分析： （1）求出函数的导数 xxxfsin，故可求得切线的斜率为22 fk，由点斜式可得切线的方程； （2）求出函数的极值点nxnnN，利用放缩法得222211111nnnxn，在结合裂项相消法，注意从第二项起开始放缩得证.试题解析： （1） cossincossinfxxxxxxx ,则切线的斜率为sin2222f ,又12f ,故函数
25、 f x在点,22f处的切线方程为122yx ,即21024xy .（2）由 sin0,0fxxxx ,得nxnnN所以当2n 且nN时,2222211111111211nxnnnnn. 所以当2n 时,nN时,222222123111111.2nxxxx111111111111.3243531211nnnnnn2222211111111711221224nn. 又当1n 时,22211174x.来源:Zxxk.Com综上,2222212311117.4nnNxxxx.考点： （1）求函数的切线方程； （2）利用放缩法证明不等式.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数求函数的切线方程，利用导数研
26、究函数的极值，放缩法证明不等式成立，属于难题.利用导数求函数 f x的切线方程的步骤：求出切点坐标；对 f x求导，求出斜率0 xfk；利用点斜式求出切线的方程；在第二问中求出极点代入，22211nxn22111111211nnnn，符合放缩法及裂项相消法的形式，注意方法的积累.请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .解答时请解答时请写清题号写清题号. .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 已知圆上的四点A、B、C、,D CDAB,过点D的圆的切线D
27、E与BA的延长线交于E点.（1）求证：CDAEDB ；（2）若5,7BCCDDE,求线段BE的长.【答案】 （1）证明见解析； （2）549.【解析】试题分析： （1）由两直线平行内错角相等可得ABDBDC由弦切角定理可得ABDADE，即可得出证明； （2）由角边角可得三角形全等即EDABDC,得到EABC ,又由切割线定理可得EBEADE2,代入可得结论.考点： （1）弦切角定理； （2）切割线定理.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中, 以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆C的极坐标方程为2cos,直线l的参数方程为2(12xttyt
28、为参数), 直线l和圆C交于,A B两点,P是圆C上不同于,A B的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值.【答案】 （1）1,0； （2）5525.来源:学科网 ZXXK【解析】试题分析： （1）将圆C：2cos化为普通方程，得到其圆心1,0，根据极坐标的定义可得其极坐标为1,0； （2）把直线l212tytx化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.试题解析： （1）由2cos,得22 cos,得222xyx,故圆C的普通方程为2220 xyx,所以圆心坐标为1,0,圆心的极坐标为1,0.（2）直线l的参数方
29、程为2(12xttyt 为参数) 化为普通方程是210 xy ,即直线l的普通方程为210 xy ,因为圆心1,0到直线:210l xy 的距离1 1 0212 555d ,所以点P到直线l的距离的最大值2 552 5155rd .考点： （1）极坐标方程化为普通方程； （2）参数方程化为普通方程； （3）点到直线的距离公式.来源:Zxxk.Com24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 820f xxxm mm.（1）求函数 8f x 恒成立；（2）求使得不等式 110f成立的实数m的取值范围.【答案】 （1）证明见解析； （2）0,14,.试题解析： （1）由0m ,有 88882222f xxxmxxmmmmmmm2882mm当且仅当82mm，时取等号, 所以 8f x 恒成立.（2） 811 210mmfm,当1 20m,即12m 时, 8811 221mmmfm,由 110f,得8210mm,化简得2540mm,解得1m 或4m ,所以112m或4m ,当1 20m,即102m时, 88111 222fmmmm , 由 110f,得82210mm,此式在102m时恒成立, 综上, 当 110f时,实数m的取值范围是0,14,.考点：(1)绝对值不等式的性质及解法； （2）均值不等式.