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1、2023年双曲线及其标准方程教案 双曲线及其标准方程（第一课时） 教学目标： 1掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程； 3能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 教学重点：双曲线的定义和标准方程。 教学难点：双曲线标准方程的推导过程。 教学过程： 一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(-1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。 （1）若r=4，试求动圆圆心的轨迹
2、；（2）若r=1，试求动圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）： 师：当r=4时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 是：为什么？ 生：因为当r=4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1=4-MF2，移项后可以得到：MF1+MF2=4满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F 1、F2为定点，4为定长的椭圆。 师：很好。那么，当r=1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1=1+MF2，移项
3、后可以得到：MF1-MF2=1。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1=MF2-1，移项后可以得到：MF1-MF2=-1。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1-MF2=1即MF1-MF2=1，圆心的轨迹我们称之为双曲线。 二、新课讲解： 1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点F 1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个
4、定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当MF1-MF2=2a时，表示的是双曲线的右支，当MF1-MF2=-2a时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下： （1）若a=0，则有MF1-MF2=0即MF1=MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线； （2）若2a=F1F2,则有MF
5、1-MF2=F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F 1、F2为端点的两条射线； （3）若2aF1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。 3、双曲线标准方程的推导过程： 师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之） 第一步：建立直角坐标系； 第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a； 第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： P=MMF1-MF2=2a； 第四步：建立方程：(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=2a； ab教师强调：我们得
6、到了焦点在x轴上，且焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习） y2x2 生（练习后）：此时的标准方程应该是2-2=1(a0,b0)。 ab 4双曲线标准方程的探讨： 师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？ -y2=1(a0,b0)，这里c2=a2+b2 第五步：化简，得到 x22-y22=1(a0,b0) 生：a、b、c满足等式c2=a2+b2，所以有a2=c2-b2，可以得到a,bb。 师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程
7、很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？ y2x2x2y2 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为2-2=1和2-2=1，我们发现焦点所在轴相 abab关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。 x2y2-=1，那么你如何寻找a？ 师：很好。如果我们知道的方程是32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。 x2y2-=-1呢？ 师：如果方程是32 生：先化成标准方程。 师：请同学总结一下。 生：化标准，找正号。 5运用新知： y2x2-=1表示双曲线，则m的取值范围是_，此时 【练习】已知方程9m+1双曲线的焦点坐标是_，焦距是_； 【变式】若将9
8、改成2+m，则m的取值范围是_。 【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F 1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 -y22=1(a0,b0)， 所以b2=52-32=16， x2y2-=1。 所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0)，动点P到F 1、F2的距离的差 等于6，求P点的轨迹方程。 解：因为PF1-PF2=6，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为-
9、=1(a0,b0)， a2b2 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 x2y2 所以b2=52-32=16， x2y2-=1(x3)。 所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P 1、P2的坐标分别为 9(3,-42)、(,5)，求双曲线的标准方程。 4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 y2x2 2-2=1(a0,b0)， ab 因为点P 1、P2在双曲线上，所以点P 1、P2的坐标适合方程，代入得： (-42)232-2=12ab2a=162 可解得：。 92b=9425-2=12bay2x2-=1。 所以所求双曲线
10、得标准方程为：169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P 1、P2的坐标分别为 9（分情况讨论） (3,-42)、(,5)，求双曲线的标准方程。4 【练习】（1）DABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,-6)，顶点A满足AB-AC=8， 求A的轨迹方程。 （2）DABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边所在直线的斜率之积是 4，求顶点9A的轨迹。 三、本课小结： 师：我们总结一下本节课我们学了什么？ 生： 1、双曲线的定义； 2、双曲线标准方程推导过程； 3、运用已有知识解决一些 简单的问题。 四、作业： 课本P108： 2、 3、4 问题：一炮弹在M处爆炸，在F 1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为340m/s，那么M点一定在哪条曲线上？ 双曲线及其标准方程教案 优秀教案双曲线及其标准方程 双曲线的定义及其标准方程教案 双曲线及其标准方程教学设计 高二数学双曲线的定义及其标准方程说课稿 双曲线及其标准方程的教学设计及教学反思 双曲线教案1 双曲线的教案 9双曲线及其标准方教学设计1 北师大版高中数学3.1双曲线及其标准方程word教案.doc优秀