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1、固定收益证券第六讲第六讲:利率期限结构动态模型利率期限结构动态模型主讲教师：李磊宁n单位：中央财经大学金融工程系单位：中央财经大学金融工程系n主讲课程：主讲课程：金融工程学金融工程学/固定收益证券固定收益证券n联系方式：联系方式：电子邮件：电子邮件：内容提要 利率动态模型的定义与特征利率动态模型的定义与特征1 均衡模型与无套利模型均衡模型与无套利模型2定义与特征n定义及其含义定义及其含义n利率期限结构模型即是描述短期利率随时间变化的动力学方程，也是利利率期限结构模型即是描述短期利率随时间变化的动力学方程，也是利率衍生品进行定价及风险管理的重要工具。率衍生品进行定价及风险管理的重要工具。n第五讲
2、对利率期限结构的分析属于静态分析，即对某个时点的利率期限第五讲对利率期限结构的分析属于静态分析，即对某个时点的利率期限结构的分析和估计。在考虑到了时间因素以后，利率期限结构被视为一结构的分析和估计。在考虑到了时间因素以后，利率期限结构被视为一种随机过程，应该用随机函数关系模型描述这一过程。种随机过程，应该用随机函数关系模型描述这一过程。定义与特征n短期利率的运动特征：短期利率的运动特征：n特征一：短期利率在有限的范围内变动，一般情况下特征一：短期利率在有限的范围内变动，一般情况下不会是负值，不会是负值，也不可能是特别大的正值。也不可能是特别大的正值。n特征二：当利率水平特别高时，利率更倾向于下
3、降而特征二：当利率水平特别高时，利率更倾向于下降而非上升；当利率水平特别低时，利率更倾向于上升而非上升；当利率水平特别低时，利率更倾向于上升而非下降。利率在偏离均值时有向均值非下降。利率在偏离均值时有向均值“回归回归”的现象，的现象，该现象被称作具有均值回复性。该现象被称作具有均值回复性。n特征三：不同期限的利率之间不是完全相关的。往往特征三：不同期限的利率之间不是完全相关的。往往表现为当利率期限结构（收益率曲线）发生变化时，表现为当利率期限结构（收益率曲线）发生变化时，收益率曲线短端变化剧烈，而长端变化缓慢。收益率曲线短端变化剧烈，而长端变化缓慢。定义与特征n短期利率的运动特征：短期利率的运
4、动特征：n特征四：不同期限的利率具有不同的波动率，收益率曲线短端的利率通特征四：不同期限的利率具有不同的波动率，收益率曲线短端的利率通常具有更高的波动率。常具有更高的波动率。n特征五：短期利率的波动率具有异方差性，即不同的利率绝对水平上，特征五：短期利率的波动率具有异方差性，即不同的利率绝对水平上，利率波动率的方差不同。利率波动率的方差不同。定义与特征n利率期限结构模型示例：利率期限结构模型示例：n一个假定的模型：一个假定的模型：n其中：其中：ndr代表一个很小的时间间隔（用代表一个很小的时间间隔（用dt表示）利率的变化；表示）利率的变化；n代表趋势变量，它是市场对利率变化的预期和风险补偿的综
5、合反映；代表趋势变量，它是市场对利率变化的预期和风险补偿的综合反映；n代表利率的年度波动率（代表利率的年度波动率（1年内波动多少基点）；年内波动多少基点）；ndw代表一个均值为代表一个均值为0，标准差为，标准差为 ,符合正态分布的随机变量。符合正态分布的随机变量。定义与特征n利率期限结构模型示例：利率期限结构模型示例：n用利率二叉树表示用利率二叉树表示注：根据利率树计算出来的利率期望和标准差也就是模型代表的期望和标准差，这个利率树具备我们的假定的模型的基本性质 定义与特征n利率期限结构模型示例：利率期限结构模型示例：n假设初始利率水平假设初始利率水平r=5%，利率年波动率，利率年波动率=6%，
6、时间，时间变化单位为一个月，即变化单位为一个月，即dt=1/12年，年，=-0.2%，dw=0.1，一个月后的利率水平是多少，一个月后的利率水平是多少?ndr=dt+dw=-0.2%(1/12)+6%0.1 0.58%，即，即一个月后新的利率水平就是一个月后新的利率水平就是r+dr=5%+0.58%5.58%。n在一个月的时间内，利率变化的趋势是下降的，即一在一个月的时间内，利率变化的趋势是下降的，即一个月下降个月下降1.7个基点，个基点，-0.2%(1/12)0.017%，一个，一个月利率变化的标准差是月利率变化的标准差是174个基点（个基点（=6%1.74%）。5%6.723%3.243%
7、8.446%5.034%1.554%例子中的利率树图，步长为1个月，共2期利率期限结构模型示例定义与特征r0,0r1,1r1,0r2,2r2,1r2,0V0,0V1,1V1,0V2,2V2,1V2,0定义与特征利率期限结构模型示例-利率树与债券价格树定义与特征n设债券面值是设债券面值是100元，元，B10表示表示1年期零息债券的价格，年期零息债券的价格，B20表示表示2年期零息债年期零息债券的价格，券的价格，B1表示表示1年期附息债券（假设票息率年期附息债券（假设票息率4%）的价格，）的价格，B2表示表示2年期年期附息债券（假设票息率附息债券（假设票息率4%）的价格。）的价格。6%5%4%第一
8、年利率为5%，第二年可能是6%，也可能是4%（各为50%）定义与特征n1年期零息债券的定价过程是年期零息债券的定价过程是n1年期零息债券的价格树图是年期零息债券的价格树图是95.24100100定义与特征n2年期零息债券的定价过程是年期零息债券的定价过程是定义与特征n2年期零息债券的定价树图是年期零息债券的定价树图是90.7094.3496.15100100100定义与特征n1年期附息债券的定价过程是年期附息债券的定价过程是n1年期附息债券的价格树图是年期附息债券的价格树图是99.05100100定义与特征n2年期附息债券的定价过程是年期附息债券的定价过程是定义与特征n2年期附息债券的定价树图
9、是年期附息债券的定价树图是98.1598.11+4100+4100+4100+4100+4利率模型分类n均衡模型均衡模型:根据市场均衡条件推导出利率演变过程，根据市场均衡条件推导出利率演变过程，模型中相关经济条件是输入变量，利率是输出变模型中相关经济条件是输入变量，利率是输出变量；均衡模型分为单因素模型与多因素模型。量；均衡模型分为单因素模型与多因素模型。n无套利模型无套利模型:通过利率衍生品（价格依据利率变动通过利率衍生品（价格依据利率变动而变动的金融工具，如债券等）的价格必须满足而变动的金融工具，如债券等）的价格必须满足无套利的条件推导出模型表达式。无套利的条件推导出模型表达式。均衡模型n
10、Vasicek模型模型 n该模型由学者该模型由学者Vasicek于于1977年创立年创立。模型认为利率变动存在。模型认为利率变动存在“均值反转均值反转”的特征的特征，模型的形式是模型的形式是是长期均衡利率，k是正数，代表均值反转的速度。当r小于时，趋势为正，当r大于时，趋势为负。r和之间的差距越大，短期利率向长期均衡利率的变化程度越大。均衡模型nVasicek模型模型 n该模型的另一个表达式该模型的另一个表达式可以把分成两个构成因素：一是利率的长期均衡值，另一个是风险溢价。均衡模型nVasicek模型模型 n 例例如如，k=0.02，r=4%，=6%，=0.2%，=0.012，t=1/12(年
11、年)，那那么么根根据据公公式式，=6%+0.2%/0.02=16%。一个月以后利率变动的预期值将是一个月以后利率变动的预期值将是2个基点：个基点：未来一个月的利率波动率将是35个基点：均衡模型nVasicek模型模型 n 例子中的第一期树图例子中的第一期树图4%均衡模型nVasicek模型模型 n 例子中的第二期树图例子中的第二期树图4.37%3.67%均衡模型nVasicek模型模型 n 例子中的二期利率树例子中的二期利率树(节点不重合节点不重合)4.37%4%3.67%3.34%4.74%4.041%4.04%均衡模型nVasicek模型模型 n面值面值1 1元的零息债券在时刻元的零息债券
12、在时刻t t的价格是的价格是均衡模型nVasicek模型模型 nt t时刻对于时刻对于T-tT-t期间的连续复利的表达式是期间的连续复利的表达式是 一旦确定了k,和三个参数，整个利率期限结构可以作为r(t)的函数加以确定。均衡模型n H-W模型模型n 1990年，学者豪（年，学者豪（Hull）和怀特（）和怀特（White）发表论文，）发表论文，对对Vasicek模型和模型和CIR模型进行扩展，提出了一个模型进行扩展，提出了一个Vasicek模型的扩展形式模型的扩展形式n其中，其中，a和和 是常数。是常数。H-W模型与模型与Vasicek模型类似，所不模型类似，所不同的是向均值回复的水平依赖时间
13、。因为如果把同的是向均值回复的水平依赖时间。因为如果把（t）看）看作常数，模型就变回到作常数，模型就变回到Vasicek模型。模型。n均衡模型n H-W模型模型n 根据模型，债券价格由下式给出根据模型，债券价格由下式给出均衡模型n通过运行通过运行MATLAB程序（函数为程序（函数为HWprice），我们可以运用该模型为），我们可以运用该模型为一只国债定价。如为一只国债定价。如为“21国债（国债（10）”定价，定价日为定价，定价日为2007年年9月月25日日.债券价格树见下图。债券价格树见下图。无套利模型nHO-LEE模型模型 n该模型由学者该模型由学者Thomas Ho 和和 Sang-Bin
14、 Lee于于1986年创立年创立 n模型认为利率变动可以写成模型认为利率变动可以写成 注意：此处的 是关于t的函数无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u可以根据历史数据取得，或者是根据金融衍生品的价格，通过倒推的方式取得u各期是根据“拟合”零息债券的办法，即通过使得零息债券的定价符合其市场的真实价格的方式取得各期的（举例）无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u假如当前1年期零息债券价格为95.24,2年期零息债券价格为89.42，利率年波动率为1%，如何利用上述资料求得，并建立HO-LEE模型的利率树呢？无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u首先
15、，可以通过两个零息债券的价格分别求得1年期和2年期两个即期利率无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u画出2年期零息债券价格树图和相应的利率树图 89.42100100100t=0t=1t=22年期零息债券价格树 无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u画出2年期零息债券价格树图和相应的利率树图 含有未知趋势项的HO-LEE模型2期利率树 无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 u 写出2年期零息债券的定价方程，可以求得方程中唯一的未知数是知道了以后，自然可以根据模型求得利率树中各节点的利率无套利模型nHOLEE模型的利率树图模型的利率树图 7.51%5
16、%5.51%最终的利率树 无套利模型nHOLEE模型的优、缺点模型的优、缺点n n优点优点优点优点：假设未来利率呈现正态分布，所以计算比较简单，可以方便地对利率假设未来利率呈现正态分布，所以计算比较简单，可以方便地对利率衍生品定价；衍生品定价；n n缺点缺点缺点缺点：n1.利率有可能出现负值利率有可能出现负值；n2.常数波动率与利率运动的第四和第五个特征不符常数波动率与利率运动的第四和第五个特征不符；n3.HO-LEE模型中利率为正态分布的假设也不符合实际模型中利率为正态分布的假设也不符合实际。nHOLEE模型的改进模型的改进“波动率随着时间而变化的波动率随着时间而变化的”HO-LEE模型模型
17、（举例）（举例）rrurdt=1t=0有关统计概念的回顾HOLEE模型的扩展n举例举例:如何利用债券价格和利率期限结构做出如何利用债券价格和利率期限结构做出“波动率随着时间变化的波动率随着时间变化的”HO-LEE模模型利率树型利率树 期限期限即期利率即期利率(%)(%)零息债券价格零息债券价格年波动率年波动率(%)(%)1 15.785.7894.5494.541.51.52 26.206.2088.6688.661.31.33 36.436.4382.9582.951.21.2当前的利率期限结构、债券价格与波动率HOLEE模型的扩展n由由于于当当前前的的一一年年期期即即期期利利率率已已知知，
18、我我们们首首先先需需要要求求出出的的是是明明年年开开始始的的一一年年期期利利率率的的分分布布。有有关关的的债债券券价价格格树见下图树见下图88.66100100100t=0t=1t=2HOLEE模型的扩展n建立并解出下列方程组建立并解出下列方程组 HOLEE模型的扩展5.78%r2,2r2,1r2,0t=0t=1t=2利率树就扩展到了第2期 HOLEE模型的扩展n 下下面面需需要要解解出出r2,2、r2,1和和r2,0。此此时时有有关关的的利利率率树树和和债债券价格树如图所示。券价格树如图所示。82.951001001001006.20%rurdHOLEE模型的扩展n 同样，我们可以建立并解出
19、下列的方程组同样，我们可以建立并解出下列的方程组 HOLEE模型的扩展n然然后后根根据据已已经经知知道道的的有有关关节节点点处处债债券券的的价价格格，反反推推出出相相应应节节点点的的利利率率，为为此此，需需要要建建立立并并解解出出下下列列的的方方程程组组HOLEE模型的扩展n波动率随着时间变化的波动率随着时间变化的HO-LEE模型利率树（模型利率树（1年期利率）年期利率）5.78%8.15%5.15%9.11%6.92%4.74%HOLEE模型的扩展nBDT模型模型 Black-Derman和和Toy于于1990年创立的年创立的BDT模型认为利率模型认为利率本身并不服从正态分布，而是利率的对数服从正态分布。本身并不服从正态分布，而是利率的对数服从正态分布。所以利率服从所以利率服从“对数正态分布对数正态分布”。n利率对数的波动率有下面的形式利率对数的波动率有下面的形式 n2007年年9月月25日，运用日，运用BDT模型对模型对“21国债（国债（10）”进行定价。进行定价。MATLAB的的“金融衍生品工具箱金融衍生品工具箱”中支持中支持BDT模型的运行。通过查找初模型的运行。通过查找初始的利率期限结构和设定波动率结构始的利率期限结构和设定波动率结构,运行运行MATLAB后得到债券的当前后得到债券的当前价格是价格是101.60元。元。