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1、第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影在在学学习习中中要要把把握握好好三三投投影影面面体体系系的的转转换换规规律律，并并逐逐步步具具备备分分析析和和解决空间问题的能力。解决空间问题的能力。点点是是最最基基本本的的几几何何元元素素，虽虽然然简简单单但但点点的的投投影影作作图图方方法法和和点点的的投投影规律是后面学习直线、平面以及立体投影的基础。影规律是后面学习直线、平面以及立体投影的基础。一、点的三面投影一、点的三面投影设设第第一一分分角角内内有有一一A点点，过过A点点分分别别向向三投影面投射即得三投影面投射即得A点的三面投影。点的三面投影。点及其投影的表示方法：点及其投影的表示方法：空间
2、的点用大写字母表示空间的点用大写字母表示点的投影用小写字母，加上点的投影用小写字母，加上，或或。为为表表示示点点的的各各投投影影的的对对应应关关系系用用细细线线相相连连接接。点点的的投投影影连连线线与与投投影轴的交点分别记做影轴的交点分别记做ax、ay、az。3 2 点的投影点的投影如如A水平投影水平投影a，正面投影，正面投影a，侧面投影，侧面投影a。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影一、点的三面投影一、点的三面投影设设第第一一分分角角内内有有一一A点点，过过A点点分分别别向向三三投投影影面面投投射射即即得得A点点的的三三面面投影。投影。将三投影面展开便得到将三投影面展开便得到 点的
3、三面投影图点的三面投影图如下图所示。点的三面投影图点的三面投影图如下图所示。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影二、点的三面投影与直角坐标的关系二、点的三面投影与直角坐标的关系为为了了研研究究问问题题方方便便，可可将将三三投投影影面面体体系系视视为为一一空空间间直直角角坐坐标标系系。这这样样就就可可将将H、V、W三三投投影影面面视视为为坐坐标标平平面面，X、Y、Z三三投影轴视为坐标轴，投影原点投影轴视为坐标轴，投影原点O视为坐标原点。视为坐标原点。引入坐标系的概念后，就可用坐标说明点的位置。引入坐标系的概念后，就可用坐标说明点的位置。三个有序的坐标即三个有序的坐标即X X、Y Y、Z
4、Z可确定惟一一个点的位置可确定惟一一个点的位置点的坐标表示方法：点的坐标表示方法：A A（X X，Y Y，Z Z）例如：）例如：A A（1515，2020，8 8）、）、B B（5 5，3030，2525）第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影二、点的三面投影与直角坐标的关系二、点的三面投影与直角坐标的关系 对对照照下下图图试试分分析析点点的的每每一一个个投投影影能能反反映映该该点点三三个个坐坐标标中中的的几几个坐标？个坐标？点的每个投影能反映该点的两个坐标点的每个投影能反映该点的两个坐标 点的正面投影点的正面投影a反映出反映出x、z坐标坐标 点的水平投影点的水平投影a反映出反映出x、y
5、坐标坐标 点的侧面投影点的侧面投影a反映出反映出y、z坐标坐标结论：任给点的两个投影，该两投影均能反映点的三个坐标。结论：任给点的两个投影，该两投影均能反映点的三个坐标。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影二、点的三面投影与直角坐标的关系二、点的三面投影与直角坐标的关系点的坐标还表示了点到投影面的距离。点的坐标还表示了点到投影面的距离。X XA A=a=a a ayhyh=a=a a az z=A=A 点到点到WW面的距离面的距离Y YA A=a a=a ax x=a=a a az z=A=A 点到点到V V面的距离面的距离Z ZA A=a a=a ax x=a=a a aywyw=A
6、=A 点到点到H H面的距离面的距离第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 点的三面投影规律为：点的三面投影规律为：1.1.点的正面投影与水平投影的连线垂直于点的正面投影与水平投影的连线垂直于OXOX轴，即轴，即a a aoao x x2.2.点的正面投影与侧面投影的连线垂直于点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZOZ轴，即轴，即aaoaao z z3.3.点的水平投影与侧面投影具有相同的点的水平投影与侧面投影具有相同的Y Y坐标，即坐标，即a a a ax x=a=a a az z根据上述规律就可准确作出点的三面投影图。根据上述规律就可准确作出点
7、的三面投影图。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 例例1.1.已已知知点点A A（3030、1515、2525）求求作作A A点点的的三三面面投影。投影。1.分别在分别在X、Y、Z轴上量取轴上量取A点的坐标点的坐标30、15和和25，得得ax、ayh、ayw和和az点点2.过过ax、ayh、ayw和和az点作点作A点投影的连线点投影的连线3.各连线的交点即为各连线的交点即为所求所求作图步骤：作图步骤：第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 例例2:2:已知已知B B（4040、3030、0 0）作出
8、）作出B B点的三面投影。点的三面投影。问题：根据问题：根据B B点的坐标分析点的坐标分析B B点的位置。点的位置。因因B B点的坐标（点的坐标（4040、3030、0 0）中）中Z Z坐标为坐标为0 0，故，故B B点位于点位于H H面上。面上。点的位置有如下说法点的位置有如下说法：1.1.空间的点，如图中的空间的点，如图中的A A点点2.2.投影面上的点，即位于投影面上的点，即位于V V、H H 或或WW投影面上，如投影面上，如B B点点当当点点位位于于H H面面、WW面面以以及及Y Y轴轴上上时时，要注意分析点的各个投影的位置。要注意分析点的各个投影的位置。投影面上的点的三个坐标中有一个
9、为投影面上的点的三个坐标中有一个为0 0点在点在V面上面上 Y坐标为坐标为0 在在H面上面上 Z坐标为坐标为0 在在W面上面上 X坐标为坐标为0第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 例例2:2:已已知知B B（4040、3030、0 0）作作出出B B点点的的三三面面投影。投影。作图步骤：作图步骤：1.在在X、Y轴上量取轴上量取B 点坐标点坐标2.作点的投影的连线作点的投影的连线，各连线的交点为所求各连线的交点为所求要注意的是：要注意的是：B点的侧面投影点的侧面投影b应在应在Yw轴上，而不应画在轴上，而不应画在Yh轴上。轴上。第三章第三章 第二节
10、第二节 点的投影点的投影三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 例例3.3.已知已知B B点的两面投影，补出点的两面投影，补出B B点的第三投影。点的第三投影。作作图图分分析析：由由于于点点的的任任两两投投影影都都能能反反映映该该点点的的三三个个坐坐标标，因因此此便便可可按按点点的的投投影影规律作出点的第三投影。规律作出点的第三投影。作图步骤：作图步骤：1.按点的投影规律作点的投影连线按点的投影规律作点的投影连线2.投影连线的交点即为投影连线的交点即为B点的水平投影点的水平投影第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影四、两点的相对位置四、两点的相对位置两两点点间间的的相相对对位位置置是是
11、指指空空间间两两点点之之间间的的上上下下、左左右右和和前前后后的的位位置置关系。关系。判断方法判断方法：试判别图中试判别图中A A、B B两点的相对位置。两点的相对位置。根据给出的两点的坐标判断相对位置根据给出的两点的坐标判断相对位置。两点中，两点中，X X坐标大的点在左；坐标大的点在左；Y Y坐标大的点坐标大的点在前；在前；Z Z坐标大的点在上。坐标大的点在上。A A点在点在B B点之上方点之上方 、后方、后方、右方右方点的坐标是作点的投影图和判断两点间点的坐标是作点的投影图和判断两点间位置关系的基础，也是分析和解决空间问题位置关系的基础，也是分析和解决空间问题的关键。的关键。应充分理解点的
12、投影与其坐标的关系，应充分理解点的投影与其坐标的关系，尤其要熟悉三投影面的转换规律。尤其要熟悉三投影面的转换规律。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影五、重影点及其可见性五、重影点及其可见性重重影影点点：若若两两个个点点在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影重重合合成成一一点点则则称称为为重重影影点，如图所示。点，如图所示。从从图图中中可可看看出出：A A、B B两两点点的的X X、Y Y坐坐标相等；标相等；C C、D D两点的两点的X X、Z Z坐标相等。坐标相等。试试分分析析A A、B B两两点点哪哪两两个个坐坐标标相相等等，C C、D D两点哪两个坐标相等？两点哪两个坐标相等？
13、问题：重影的两点其坐标有何特点问题：重影的两点其坐标有何特点？重影点的坐标中有两个相等。重影点的坐标中有两个相等。并并由由此此可可分分析析出出当当两两点点在在WW面面重重影影时时,两点的两点的Y Y、Z Z坐标相等。坐标相等。当当两两点点的的投投影影重重合合时时就就会会有有一一个个点点的的投投影影被被挡挡住住，作作图图时时要要判判断断出出被被挡挡住住的的点点，即即是是判判别别重重影影点点的的可可见见性性可可通通过过两两重重影影点点的的不不相相等等的的坐坐标标来来判判别别。一一定定是坐标大的点挡住坐标小的点。是坐标大的点挡住坐标小的点。注意：判别后要将不可见投影用括号括住表示该点投影的字母。注意
14、：判别后要将不可见投影用括号括住表示该点投影的字母。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影五、重影点及其可见性五、重影点及其可见性判别图中各点的可见性判别图中各点的可见性2.C2.C、D D两点在两点在V V面重影，因面重影，因D D点的点的Y Y坐标小故坐标小故D D点的正面投影不可见。点的正面投影不可见。1.1.从从图图中中可可看看出出A A、B B在在H H面面上上的的投投影影重重合合，为为水水平平重重影影点点。由由于于A A点的点的Z Z坐标比坐标比B B点的点的Z Z坐标大故坐标大故B B点的水平投影不可见。点的水平投影不可见。第三章第三章 第二节第二节 点的投影点的投影例：已知点例：已知点A（40、15、30）求作）求作A点的直观图。点的直观图。由由于于直直观观图图具具有有一一定定的的空空间间效效果果，因因此此在在分分析析问问题题时时常常需需要要绘绘制制这样的图形这样的图形 1.在在三三坐坐标标轴轴上上分分别别量量取取该该点点的的三三个个坐坐标标，得得ax、ay和和az点点 三投影面体系直观图三投影面体系直观图2.过过ax、ay和和az点作相点作相应坐标轴的平行线，各线应坐标轴的平行线，各线的交点为点的投影的交点为点的投影3.分别过分别过a、a、a作作三坐标轴的平行线，三三坐标轴的平行线，三条线的交点为空间条线的交点为空间A点点作图步骤：作图步骤：