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1、【考纲下载考纲下载】1.了解任意角的概念、弧度的意了解任意角的概念、弧度的意义义2能正确地能正确地进进行弧度与角度的行弧度与角度的换换算算3理解任意角的正弦、余弦、正切的定理解任意角的正弦、余弦、正切的定义义.第三知识块第三知识块 三角函数、解三角形三角函数、解三角形第第1 1讲讲 任意角的三角函数任意角的三角函数1角的概念角的概念 (1)定定义义：角可以看成平面内一条射：角可以看成平面内一条射线绕线绕着着 从一个位置旋从一个位置旋转转到另一个到另一个 位置所成位置所成 的的图图形形 (2)分分类类：按旋：按旋转转方向分：方向分：角、角、角、角、角角正正负负零零端点端点2终边相同的角的集合终边
2、相同的角的集合 所有与角所有与角终边终边相同的角，相同的角，连连同角同角在内，可构成一个集在内，可构成一个集 合合 .或或 ，前者，前者用用 角度制表示，后者角度制表示，后者用弧度制表示用弧度制表示 提示：提示：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角 有无数个，它们之间相差有无数个，它们之间相差360的整数倍的整数倍r|rk k360，k kZ|2k k，kZ3弧度制弧度制 (1)角度与弧度的角度与弧度的换换算关系算关系 360 rad；1 rad；1 rad .(2)设设扇形的弧扇形的弧长为长为l，圆圆心角
3、大小心角大小为为(rad)，半径，半径为为r，则则l 扇形的面扇形的面积为积为 S .提示：提示：在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与30 角终边相同的角的集合不能表示为角终边相同的角的集合不能表示为|k k360 ，k kZ或或|2k k 30，k kZ|r24任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 设设是一个任意角，是一个任意角，的的终边终边上任意一点上任意一点P(除端点外除端点外)的坐的坐标标是是(x，y)，它与，它与 原点的距离是原点的距离是|OP|r (r0)则则sin ；cos ；tan
4、.5三角函数在各象限的符号规律三角函数在各象限的符号规律象限符号函数象限符号函数sin cos tan 三角函数线三角函数线设设角角的的终边终边与以原点与以原点为圆为圆心的心的单单位位圆圆交于点交于点P如下如下图图所示，所示，则图则图中的有向中的有向线线段段 MP，OM，AT的数量分的数量分别别等于角等于角的正弦、余弦、正切的的正弦、余弦、正切的值值，这这些有向些有向线线段叫段叫做角做角的的 线线、线线、线线正弦正弦余弦余弦正切正切提示：提示：三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换当角三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换当角的终边与的终边与x轴重合轴重合 时，正弦线、正切线分别变成一
5、个点，角时，正弦线、正切线分别变成一个点，角的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0；当角；当角的终的终边与边与y轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为0，正切值不存在，正切值不存在6.1已知已知cos tan 0，那么角，那么角是是()A第一或第二象限角第一或第二象限角 B第二或第三象限角第二或第三象限角 C第三或第四象限角第三或第四象限角 D第一或第四象限角第一或第四象限角 解析：解析：cos tan 0，当当cos 0时，时，为第三象限的为第三象限的 角；当角；当cos 0，tan cos x成立的成立的x取取值值范范围围是是()A.B.C.D.解析：
6、解析：如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解，如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解，要使要使sin xcosx，只只 要要x取阴影部分的角即可取阴影部分的角即可答案：答案：C弧弧长为长为3，圆圆心角心角为为135的扇形半径的扇形半径为为_，面，面积为积为_解析：解析：l|r，r 4，S lr 346.答案：答案：464利用利用终边终边相同角的表示，可以由角相同角的表示，可以由角所在的象限，判断所在的象限，判断 ，等所在的象限，其等所在的象限，其方法有：方法有：1范范围围限定法：将限定法：将的范的范围围用式子表示出来，然后求出用式子表示出来，然后求出 ，等角的范等角的范围围，根，根 据此范
7、据此范围进围进行判断此行判断此时时需要需要进进行分行分类讨论类讨论2图图示法：把直角坐示法：把直角坐标标系中的各个象限依次系中的各个象限依次进进行二等分、三等分，从行二等分、三等分，从x轴轴右上右上 方开始按逆方开始按逆时针时针将各区域依次将各区域依次标标上上1,2,3；1,2,3；是第几象限角就找数是第几象限角就找数 字几，其字几，其对应对应的位置就是的位置就是 ，等所在的象限等所在的象限 若若是第二象限的角，试分别确定是第二象限的角，试分别确定2，的终边所在位置的终边所在位置 思维点拨：思维点拨：判断角判断角在哪个象限，只需把在哪个象限，只需把改写成改写成0k k360(k kZ)，其中，
8、其中 00360.解：解：是第二象限的角，是第二象限的角，k k36090k k360180(k kZ)(1)2k k36018022k k360360(k kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的是第三或第四象限的角，或角的终边终边在在y轴轴的非正半的非正半轴轴上上【例例1】(2)k k18045 k k18090(k kZ)，当当k k2n(nZ)时时，n36045 n36090；当当k k2n1(nZ)时时，n360225 n360270.是第一或第三象限的角是第一或第三象限的角 本例条件不变，试确定本例条件不变，试确定 的终边所在象限的终边所在象限解：解：k k12030 k k1206
9、0(k kZ)，当当k k3n(nZ)时时，n36030 n36060；当当k k3n1(nZ)时时，n360150 n360180；当当k k3n2(nZ)时时，n360270 n360300.是第一或第二或第四象限的角是第一或第二或第四象限的角.拓展拓展1：对对于扇形于扇形应该应该由两个条件确定，可以将扇形所在由两个条件确定，可以将扇形所在圆圆的半径的半径 r，扇形，扇形圆圆心角的心角的弧度数弧度数和弧和弧长长l中的两个做中的两个做为为基本量基本量进进行行计计算和算和证证明弧度制下的弧明弧度制下的弧长长公式公式形式形式较为简单较为简单lr(其中其中为为扇形扇形圆圆心角的弧度数心角的弧度数)
10、【例例2】一一扇扇形形周周长长为为20 cm，问问扇扇形形的的半半径径和和圆圆心心角角各各取取什什么么值值时时，才能使扇才能使扇 形面形面积积最大？最大？思思维维点点拨拨：建建立立圆圆心心角角、半半径径之之间间的的等等量量关关系系，把把面面积积表表示示成成变变量量的函数的函数解：解：设扇形圆心角为设扇形圆心角为，半径为半径为r，则则2rr20，S扇形扇形 r2 (10r)r10rr2，当当r 5时时，S扇形扇形的最大值为的最大值为25cm2，此时此时2 rad.若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值到
11、最小值？解：解：设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为，半径为半径为R，弧长为弧长为l，根据已知条件根据已知条件 lRS扇扇，则扇则扇形的周长为形的周长为：l2R R4当且仅当当且仅当R 时等号成立时等号成立，此时此时l2 2，因此当扇形的圆心角为因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值弧度时，扇形的周长取到最小值.变式变式2：由由终边终边上一点上一点P的坐的坐标标，可，可计计算算P到原点的距离，再由三角函数的定到原点的距离，再由三角函数的定义义求求 值值，值值得注意的是，当角的得注意的是，当角的终边终边上点的坐上点的坐标标是以参数的形式是以参数的形式给给出出时时，常常要，常常要对对 参数
12、参数进进行行讨论讨论【例例3】已知角已知角终边终边上一点上一点P，P到到x轴轴的距离与到的距离与到y轴轴的距离之比的距离之比为为34，且，且 sin 0，求，求cos 2tan 的的值值 思维点拨：思维点拨：先由已知求出角先由已知求出角终边上点终边上点P的坐标，再根据三角函数的坐的坐标，再根据三角函数的坐 标法定义即可求出标法定义即可求出的所有三角函数值的所有三角函数值解：解：设设P(x，y)，则则根据根据题题意，可得意，可得 ，sin 0)，则则r 5k k，从而从而cos ，tan 若若P点位于第四象限，点位于第四象限，可可设设P(4k k，3k k)(k k0)，则则r 5k k，从而从
13、而cos ，tan cos 2tan ，由于由于 故故的的终边终边不可能在不可能在y轴轴的非正半的非正半轴轴上上综综上所述，若上所述，若P点位于第三象限，点位于第三象限，则则cos 2tan 若若P点位于第四象限，点位于第四象限，则则cos 2tan 已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(，m)，且且sin ，求求cos，tan 的的值值解：解：由题设知由题设知x ，ym，所以所以r2|OP|2()2m2，得得r ,从而从而sin 解得解得m0或或m当当m0时时，r ，x ，cos ，tan 当当m ，r 2 ，x ，cos ，tan 变式变式3：1弧弧度度制制与与角角度度制制的的转转换换关
14、关系系要要抓抓住住弧弧度度等等于于180，弧弧度度制制沟沟通通了了角角与与实实数数之之间间的的一一一一对对应应关关系系，扇扇形形的的弧弧长长公公式式l|r和和面面积积公式公式S lr，是解决有关圆问题的有效工具，是解决有关圆问题的有效工具2要确定角要确定角所在的象限，只要把所在的象限，只要把表示为表示为2k0(kZ,000时时，r5a，sin cos tan ；8分分(2)当当a0时时，r5a，sin cos tan .12分分【规范解答规范解答】如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则，则sin y，cos x，tan ，但如果不是在单位圆中，设角，但如果不是在单位圆中，设角的终边经的终边经过点过点P(x，y)，|OP|r，则，则sin ，cos ，tan .在这个定义中最容易弄在这个定义中最容易弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意其错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意其准确性，不要把准确性，不要把x，y的位置颠倒的位置颠倒.点 击 此 处 进 入点 击 此 处 进 入 作 业 手作 业 手册册【状元笔记状元笔记】