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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系经过不共线三点经过不共线三点确定平面的条件：确定平面的条件：经过一条直线和直线外的一点经过一条直线和直线外的一点经过两条相交直线经过两条相交直线经过两条平行直线经过两条平行直线有且只有一个平面有且只有一个平面复习巩固复习巩固复习巩固复习巩固下列四个命题中，正确的是下列四个命题中，正确的是()A、四边形一定是平面图形四边形一定是平面图形 B、空间中的三个点确定一个平面空间中的三个点确定一个平面C、梯形一定是平面图形梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形六边形一定是平面图形E、三角形一定是平面图形三角形一定是平面图形C C、E E判断下列命题对错：判断
2、下列命题对错：1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（的所有点都在这个平面内。（）2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。面只有一个公共点。（）3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。必在同一个平面内。（）4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（、一条直线和一个点可以确定一个平面。（）5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可、如果一条直线
3、和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。以确定一个平面。（）复习巩固复习巩固复习回顾复习回顾:1.1.平面内两条直线位置关系有几种平面内两条直线位置关系有几种?分别是什么位置关系分别是什么位置关系?ababABCD六角螺母六角螺母探讨：探讨：ABCDA1B1C1D1观察右图的长方体观察右图的长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1请同学们看一下图中的直请同学们看一下图中的直AA1 1和直线和直线C1 1D1 1平行吗？相交吗？平行吗？相交吗？有平行的直线吗？哪些是？有平行的直线吗？哪些是？有相交直线吗？哪些是？有相交直线吗？哪些是？定义：定义：我们把
4、不同在任何一个平我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做面内的两条直线叫做异面直线异面直线（即即既不平行也不相交）既不平行也不相交）.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异一个平面内的两条直线叫做异面直线。面直线。如图所示：正方体的棱所在如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线的直线中，与直线A1B异面的异面的有哪些？有哪些？答案答案：D1C1、C1C、CDD1D、AD、B1C1想一想想一想,做一做：做一做：已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的点，上的点，那么那么MNMN与与ABAB所在的
5、直线所在的直线是异面直线是异面直线吗吗？1 1 1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系从有无公共点的角度：从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-相交直线相交直线在同一平面内在同一平面内-相交直线相交直线平行直线平行直线从是否共面的角度从是否共面的角度没有公共点没有公共点-平行直线平行直线异面直线异面直线不在同一平面内不在同一平面内-异面直线异面直线空间两条直线的位置关系有且只有三种空间两条直线的位置关系有且只有三种平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面没有没有只有一个只有一
6、个没有没有共面共面不共面不共面共面共面空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系2 2、异面直线的画法、异面直线的画法abbaaba与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab两直线异面如何判定？两直线异面如何判定？(2)过平面内一点与平过平面内一点与平面外一点的直线，和这面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的个平面内不经过该点的直线是异面直线直线是异面直线Bl
7、A(1)定义就是一种方法定义就是一种方法.练习练习练习：判断下列说法的对错练习：判断下列说法的对错1 1、分别在两个平面内的两条直线一分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线定是异面直线；3 3、a a与与b b是异面直线，是异面直线，b b与与c c是异面线，是异面线，则则a a与与c c是异面直线是异面直线；4 4、a a与与b b是共面，是共面，b b与与c c是共面，是共面，则则a a与与c c共面共面.FFFF.指出下列命题是否正确指出下列命题是否正确,并说明理由并说明理由过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；.若两条直线若两
8、条直线a,ba,b没有公共点没有公共点,则则a,ba,b的位置关系是的位置关系是（）（）共面平行异面平行或异面共面平行异面平行或异面.直线直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则的直线，则a a与与b b的位置关系是（）的位置关系是（）平行相交异面相交或异面平行相交异面相交或异面练习练习在同一平面内，如果在同一平面内，如果ab,bc,则则ac那这个性质在空间中成那这个性质在空间中成立吗？立吗？想想一一想想？ABCDA1B1C1D1在右图中你找到了空间的三条在右图中你找到了空间的三条平行直线了吗平行直线了吗？3 3 公理公理4 4平行于同一条直
9、线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行直线直线a a，b b，c cabcbac(直线平行的传递性直线平行的传递性)符号表示：符号表示：abbcac思考：思考：经过直线外一点经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行？有几条直线和这条直线平行？推论：平行于同一条直线的所有直线推论：平行于同一条直线的所有直线互相平行。互相平行。例例2：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析：欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只只需需证证EHFG且且E
10、HFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需需证证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC例例2：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD变式一：变式一：在例在例2中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那，那么四边
11、形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2的基础上的基础上我们只需要证明平行四我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。边形的两条邻边相等。菱形菱形ABDCEFGH变式变式：四边形：四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是分别是AB，AD的中点的中点，F、G分别是分别是CB，CD上的点，且上的点，且求证：四边形求证：四边形EFGH是梯形。是梯形。证明：连结证明：连结BD。EH是是ABD的中位线，的中位线，EHBD，EH=BD。又又在在BCD中，中，FGBD，FG=BD。即即 EFFG。又又FGEH，四边形四边形EFGH是梯形。是梯形。ABDC
12、EFGH例例3如图：在长方体如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，已知，分别是已知，分别是AB,BC的中点，的中点，求证：求证：1C1ABCDA1B1C1D1EF证明证明:连结连结AC.在在ABC中中,E,F分别是分别是AB,BC的中点的中点所以所以EFAC又因为又因为AA1BB1且且AA1=BB1BB1CC1且且BB1=CC1所以所以AA1CC1且且AA1CC1 即四边形即四边形AA1C1C是平行四边形是平行四边形所以所以11从而从而11练一练练一练,P48P48页练习页练习1,21,2题。题。例例4 4:如图，如图，是平面是平面外的一点外的一点分别是分别是的重心，的重心，求证：求
13、证：。证明：连结证明：连结 分别交分别交 于于 ,连结连结 ,G,HG,H分别是分别是ABC,ACDABC,ACD的重心的重心,M,N,M,N分别是分别是BC,CDBC,CD的中点的中点,MN/BD,MN/BD,又又 GH/MN,GH/MN,由公理由公理4 4知知GH/BD.GH/BD.4 4、等角定理等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.推论：推论：如果两条相交直线和另两条相交直如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等（或直角）
14、相等.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角1 1、怎样定义异面直线所成的角？、怎样定义异面直线所成的角？ab设设a、b为两异面直线，经过空间为两异面直线，经过空间 一一 点点o作直线作直线 ，我们把，我们把 所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与与b所成的角（或夹角）所成的角（或夹角）.oababa boa b o aOba 两条异面直线所成的角的范围：两条异面直线所成的角的范围：两条异面直线所成的角的范围：两条异面直线所成的角的范围：abO 如果两条两条异面直线所成的角是直角，如果两条两条异面直线所成的角是直角，那么称这两条异面直线互相垂直那么称这两条异面
15、直线互相垂直。角的范围角的范围角的范围角的范围:（00，9090例例5 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？是异面直线？求直线求直线BA与与CC的夹角的度数；的夹角的度数；哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA垂直？垂直？BC、AD、CC、DD、DC、DC.AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA 在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是分别是棱棱AB，BC的的中点，求：中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大
16、小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的大小所成角的大小.OGAC AC EF,OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角,即为即为AOG或其补角或其补角.平移法平移法异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法:例例6 6：如图正方体：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角的大小所成角的大小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角的大小所成角的大小 D1D1CCB1A1ADD1B1 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2(1)求求BC和和EG所成
17、的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?解答：解答：(1)GFBCEGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BFAEFBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG=60o课堂练习课堂练习ABGFHEDC2在正方体在正方体在正方体在正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中中中中,棱长为棱长为棱长为棱长为4 4 4 4 (1)(1)(1)(1)求直线求直线求直线求
18、直线BABABABA1 1 1 1和和和和CCCCCCCC1 1 1 1所成的角的大小所成的角的大小所成的角的大小所成的角的大小 (2)(2)(2)(2)若若若若M M M M，N N N N分别为棱分别为棱分别为棱分别为棱A A A A1 1 1 1B B B B1 1 1 1和和和和B B B B1 1 1 1B B B B的中点，的中点，的中点，的中点，求直线求直线求直线求直线AMAMAMAM与与与与CNCNCNCN所成的角的余弦值所成的角的余弦值所成的角的余弦值所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=CosQNC=在空间四边形在空间四边形AB
19、CDABCD中中,AD=BC=2,E,AD=BC=2,E、F F分别是分别是 ABAB、CDCD的中点的中点.且且EF=EF=求求:异面直线异面直线ADAD和和BCBC所成的角所成的角.且且PE/BC,PF/ADPE/BC,PF/AD解解:设设P P为为ACAC中点中点,连结连结EPEP、FP.FP.则则 PEPE与与PFPF所成的锐角（其补角）就是异面直线所成的锐角（其补角）就是异面直线BCBC与与ADAD所成的角所成的角.在在PEFPEF中中,PE=PF=1,EF=,PE=PF=1,EF=即异面直线即异面直线ADAD和和BCBC成成60600 0角角ABCDEFG在空间四边形在空间四边形S
20、-ABC中，中，SABC且且 SA=BC,E,F分别为分别为SC、AB 的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线EF 与与SA 所成的角所成的角等于（等于（）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900B 填空：填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有、空间两条不重合的直线的位置关系有_、_、_三种。三种。2、没有公共点的两条直线可能是、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是直线，也有可能是 _直线。直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有有_。4、过已知直线上一点可以作、过已知直线上一
21、点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面无数无数无数无数相交、异面相交、异面1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。与另
22、一条直线垂直。()判断对错：判断对错：练习反馈：练习反馈：1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条有两条.（）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（行，那么这两个角相等（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直
23、线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）1空间两直线平行是指它们（空间两直线平行是指它们（）A无交点无交点 B共面且无交点共面且无交点 C和同一条直线垂直和同一条直线垂直 D以上都不对以上都不对练习练习 2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则这两个角（分别平行，则这两个角（）A相等相等 B互补互补 C相等或互补相等或互补 D既不相等也不互补既不相等也不互补 3一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么
24、它与另一条的位置关系是（那么它与另一条的位置关系是（）A相交相交 B异面异面 C相交或异面或平行相交或异面或平行 D相交或异面相交或异面BCD 4如图，如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与是长方体的一条棱，这个长方体中与 异面的棱共有（异面的棱共有（）A3条条 B4条条 C5条条 D6条条B5两条异面直线是指（两条异面直线是指（）A空间两条没有公共点的直线空间两条没有公共点的直线B平面内一直线与这个平面外的一直线平面内一直线与这个平面外的一直线C分别在两个平面内的两条直线分别在两个平面内的两条直线D不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线D不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系课堂小结课堂小结异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角