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1、课前热身课前热身课前热身课前热身:1 1：解线性方程组：解线性方程组2 2：极大线性无关组：极大线性无关组若满足：若满足：线性无关；线性无关；则称为则称为的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组.线性相关线性相关.设设 是一个向量组，它的某一个部分组是一个向量组，它的某一个部分组3.3.5 线性方程组解的结构1 齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系的基础解系2 非非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组设齐次线性方程组（1 1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质若若使得方程使得方程 成立，成立，称为方
2、程组称为方程组（1 1）的的解向量解向量，则则基础解系及其求法基础解系及其求法基础解系及其求法基础解系及其求法方程组的解向量中，方程组的解向量中，它的某一个部分组它的某一个部分组线性相关线性相关.线性无关；线性无关；则称为齐次线性则称为齐次线性方程组方程组的一组的一组基础解系基础解系.满足：满足：定义：定义：也是也是 的解的解.定理定理:若若 为为 的解，则对任意的常数的解，则对任意的常数（）（）若若的秩为的秩为，则，则(1)(1)的全部解不妨写成的全部解不妨写成:其中其中是任意实数是任意实数.根据向量的运算法则根据向量的运算法则,(3),(3)可以整理成为：可以整理成为：齐次线性方程组基础解
3、系的求法齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法易知：易知：为齐次线性为齐次线性方程组方程组(1)(1)的的一个一个基础解系基础解系,令令(4)(4)为为(4)(4)(5)(5)(5)(5)为方程组为方程组 的的通解通解.定理定理定理定理:齐次线性方程组齐次线性方程组 :解系（此时解空间只含有零向量）解系（此时解空间只含有零向量）当时，线性方程组只有零解，故当时，线性方程组只有零解，故没有基础没有基础注：注：基础解系不唯一，但所含个数唯一确定；基础解系不唯一，但所含个数唯一确定；任任-个线性无关的个线性无关的解向量构成基础解系解向量构成基础解系当时，
4、线性方程组必有含当时，线性方程组必有含-个向量的个向量的基基础础解系为解系为 ，程组的解可以表示为：程组的解可以表示为：此时线性方此时线性方例：例：求下列齐次线性方程组求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：练习：求下列齐次线性方程组练习：求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.基础解系：基础解系：二、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)(1)与非齐次方程组与非齐次方程组称为该称为该非齐次方程组的非齐次方程组的导出组导
5、出组.对应的对应的齐次方程组齐次方程组非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质:（2 2）若）若 为为 的解，的解，为为 的解，的解，（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则是其导出组是其导出组 的解的解.也是也是 的解的解则则其中为其导出组的通解，其中为其导出组的通解，非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非非齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的通解为为非齐次线性方程组的任意一个特解为非齐次线性方程组的任意一个特解.定理：定理：例例：求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组例例
6、4 4：设：设 ,求证：求证：(1)B(1)B的列向量是齐次线性方程组的列向量是齐次线性方程组 的解向量；的解向量；练习练习:设设A A为为m mn n矩阵，且矩阵，且R R(A A)=)=r r,求证：必存在求证：必存在 一个秩为一个秩为n n r r 的的n n(n-rn-r)矩阵矩阵B B,使使ABAB=0.=0.例例3 3：设：设 ,已知已知 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 的两个相异解，求该方程的通解。的两个相异解，求该方程的通解。作业作业：P161-163 20(2)23(2)27 小结小结：2.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解1.齐次线性方程组基础解系的求法齐次
7、线性方程组基础解系的求法例例5 5：设设阶矩阵阶矩阵的各行元素之和为的各行元素之和为0 0，且秩为，且秩为的通解为的通解为_._.，则线性方程组，则线性方程组分析：分析：则则的基础解系只有一个向量的基础解系只有一个向量.设设的第个方程为的第个方程为又矩阵又矩阵的各行元素之和为的各行元素之和为0 0，即，即为它的一个解向量为它的一个解向量.的通解为的通解为例例6:6:设三设三阶矩阵阶矩阵，且，且的每一列均为方程的每一列均为方程的解，的解，（）求（）求.（）证明（）证明解解（）（）因为因为，且，且的每一列均为方程的解，的每一列均为方程的解，所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.（）当时，（）当时，方程组的矩阵为方程组的矩阵为所以所以则线性方程组基础解系所含向量的个数为则线性方程组基础解系所含向量的个数为3 32 21 1个，个，