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1、第五节第五节1在有解的情况下，在有解的情况下，回顾：回顾：其中其中为增广矩阵。为增广矩阵。当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限有限个解表示出来。个解表示出来。2一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当只有零解当且仅当(*)有零解有零解(即无穷多解即无穷多解)当且仅当且仅当当3齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质:证明证明（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则也是也是 的解的解.证明证明均是均是
2、的解的解,则它们的则它们的综上所述综上所述,若若线性组合线性组合也是也是 的解的解.4定义定义 齐次线性方程组齐次线性方程组的一组解向量的一组解向量如果满足：如果满足：(1)线性无关；线性无关；(2)的任一解向量均可被的任一解向量均可被线性表示，线性表示，则称则称为为的一个的一个基础解系基础解系。若若 只有零解，则基础解系不存在。只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。定理定理证略证略下面举例说明基础解系的求法。下面举例说明基础解系的求法。5 求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系
3、表示出全部解。基础解系表示出全部解。例例1解解6自由未知量取为自由未知量取为 7基础解系基础解系:8例例2解解求下面齐次线性方程组的一个基础解系：求下面齐次线性方程组的一个基础解系：9自由未知量取为自由未知量取为 10自由未知量取为自由未知量取为 基础解系基础解系:11二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构称称为为的的导出组导出组。12非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质:证明证明（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 是是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为为 的解，的解，则则 是是 的解的解.13定理定理 如果如果 是是 的一个特解，那
4、么的一个特解，那么的任一解的任一解可表为可表为其中其中 是导出组是导出组 的解的解.因此，当因此，当 取遍导出组的全部解时，取遍导出组的全部解时，就给出就给出的全部解。的全部解。证明证明由上述性质可知，由上述性质可知，为导出组为导出组 的解，的解，记为记为则则当当 取遍导出组的全部解时，取遍导出组的全部解时，就给出就给出 的的全部解。全部解。14设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组当当 取遍导出组的全部解时，取遍导出组的全部解时，就给出就给出 的的全部解。全部解。全部解的求法：全部解的求法：满足满足则有无穷多解则有无穷多解,导出组导出组(1)(1)求出导出组求出导出组 的基础解系的基础解系(2
5、)(2)求出原方程组求出原方程组 的一个特解的一个特解则则的全部解为的全部解为其中其中为任意常数为任意常数.15例例3解解求方程组求方程组的全部解的全部解.所以有无穷多解。所以有无穷多解。16导出组的基础解系：导出组的基础解系：特解：特解：所以全部解为所以全部解为任意。任意。17例例4方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：导出组的基础解系：18特解：特解：所以全部解为所以全部解为任意。任意。19例例5解解方程组方程组(1)(1)为何值时为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？无解？有唯一解？有无穷多解？(2)(2)无穷多解时，求出全部解无穷多解时，求出全部解(用向量表示用向量表示)。无解无解;20有无穷多解有无穷多解,全部解为全部解为k为任意常数为任意常数.21例例6解解k为任意常数为任意常数.22练习：练习：P141 习题三习题三23