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1、1齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构平面间位置关系的讨论平面间位置关系的讨论三元非齐次线性方程组解的几何意义三元非齐次线性方程组解的几何意义目录 下页 返回 结束 2在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有在有多个解的情况下，所谓多个解的情况下，所谓解的结构解的结构就是解与解之间的就是解与解之间的关系关系.下面我们将证明，虽然在
2、这时有无穷多解但下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但是全部的解都可以用有限多个解表示出来是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就是这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面的讨下面的讨论当然都是对于有解的情况说的论当然都是对于有解的情况说的, 这一点就不再每这一点就不再每次都说明了次都说明了.首页 上页 下页 返回 结束 3一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1111221211222211220 ,0,(1)0 .nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组它的解是一
3、个它的解是一个 n 维向量维向量, 称之为称之为解向量解向量, 解构成的集合，称之为解构成的集合，称之为解集解集.由它的所有由它的所有首页 上页 下页 返回 结束 41.1.解的性质解的性质方程组方程组 (1) 有下面两个重要性质：有下面两个重要性质：性质性质 1 两个解的和还是方程组的解两个解的和还是方程组的解.证证设设 ( k1 , k2 , , kn ) 与与 ( l1 , l2 , , ln ) 是方是方程组程组 (1) 的两个解，则有的两个解，则有10(1,2, ),nijjja kis 10(1,2, ),nijjja lis 首页 上页 下页 返回 结束 5把两个解的和把两个解的
4、和( k1 + l1 , k2 + l2 , , kn + ln ) (2)代入方程组，得代入方程组，得1()nijjjja kl 11nnijjijjjja ka l 000(1,2, ).is 这说明这说明 (2) 确实是方程组的解确实是方程组的解.首页 上页 下页 返回 结束 6性质性质 2 一个解的倍数还是方程组的解一个解的倍数还是方程组的解.证证设设 ( k1 , k2 , , kn ) 是方程组是方程组 (1) 的一个解的一个解,c 为一常数，因为为一常数，因为1()nijjja ck 1nijjjca k 00c (1,2, ).is 所以所以 ( ck1 , ck2 , , c
5、kn ) 是方程组是方程组 (1) 的解的解. 推论推论 齐次线性方程组齐次线性方程组(1)的任意有限个解的线的任意有限个解的线性组合还是该方程组的解性组合还是该方程组的解.首页 上页 下页 返回 结束 72. 解的性质的几何意义解的性质的几何意义我们以我们以 3 元齐次线性方程组为例来解释这两个元齐次线性方程组为例来解释这两个性质的几何意义性质的几何意义. 3 元齐次线性方程组中的每个方元齐次线性方程组中的每个方程表示一个过原点的平面程表示一个过原点的平面. 于是方程组的解，也就于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点
6、的直线或一个过原点的平面过原点的直线或一个过原点的平面. 以原点为起点以原点为起点而终点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述而终点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述性质性质.首页 上页 下页 返回 结束 83. 解的结构问题的提出解的结构问题的提出对于齐次线性方程组，由它的两个性质即得，对于齐次线性方程组，由它的两个性质即得，解的线性组合还是方程组的解解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，这个性质说明了，如果找到了方程组的几个解，那么这些解的所有可如果找到了方程组的几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解能的线性组合就给出了很多的解. 基于这个事实，基于这个事实，我
7、们要问：我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合表示出来？它的有限的几个解的线性组合表示出来？ 这就是当解不唯一时这就是当解不唯一时, 解与解之间的关系问题解与解之间的关系问题(即解的结构即解的结构). 为此，我们引入下面的定义为此，我们引入下面的定义.首页 上页 下页 返回 结束 94. 基础解系的定义基础解系的定义 定义定义 17 齐次线性方程组齐次线性方程组 (1) 的一组解的一组解 1 , 2 , , t 称为称为 (1) 的一个的一个基础解系基础解系，如果，如果 1) (1) 的任一解都能表成的任一解都能表成 1 , 2
8、 , , t 的线的线性性组合；组合； 2) 1 , 2 , , t 线性无关线性无关. 注注: 定义中的条件定义中的条件 2) 是为了保证基础解系中没是为了保证基础解系中没有多余的解有多余的解. 事实上事实上, 如果如果 1 , 2 , , t 线线性相关，性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，性组合，譬如说譬如说, t 可以表示成可以表示成 1 , 2 , , t -1 的的线性组合线性组合, 那么那么, 1 , 2 , , t -1 显然也具有性显然也具有性质质 1) .首页 上页 下页 返回 结束 105. 基础解系的存在性与求法基础解
9、系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的定理给出定理给出. 定理定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情形下在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于并且基础解系所含解的个数等于n - - r , 这里这里 r 表示系数矩阵的秩表示系数矩阵的秩 (n - - r也就是自由未知量的也就是自由未知量的个数个数) .证证设方程组设方程组(1)的系数矩阵的系数矩阵A的秩为的秩为 r , 不妨设不妨设A的左上角的的左上角的 r 级子式不等于零级子式不等于零. 于是按上一节最后于是按上一节最后的分析，方程组
10、的分析，方程组 (1) 可以改写成可以改写成首页 上页 下页 返回 结束 1111111,11121122,11211,11,(3).rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x 如果如果 r = n，那么方程组没有自由未知量，那么方程组没有自由未知量, 方程方程组组(3) 的右端全为零的右端全为零. 这时方程组只有零解这时方程组只有零解, 当然也当然也就就不存在基础解系不存在基础解系. 以下设以下设 r n .我们知道，把自由未知量的任意一组值我们知道，把自由未知量的任意一组值 ( cr+1 ,cr+2 , , cn ) 代
11、入代入 (3) , 就唯一地决定了方程就唯一地决定了方程 (3)也就是方程组也就是方程组 (1) 的一个解的一个解. 换句话说换句话说, 方程组方程组 (1)首页 上页 下页 返回 结束 12的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样解就完全一样. 特别地，如果在一个解中，自由未特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定是零解知量的值全为零，那么这个解一定是零解.因此，为了求方程组因此，为了求方程组 (1) 的的 n - - r 个不同的解，个不同的解，在在 (3) 中，令自由未知量中，令自由未知量 xr+1 , xr
12、+2 , , xn 取下列取下列n - - r 组数：组数：12100010,(4)001rrnxxx 首页 上页 下页 返回 结束 13于是就得出方程组于是就得出方程组(3), 也就是方程组也就是方程组(1)的的 n - - r 个解个解: 11112212,1,(, 1, 0, 0) ,(, 0, 1, 0) ,(5)(,0, 0, 1).rrn rn rn r rcccccc 下证，下证，(5) 就是一个基础解系就是一个基础解系.首先证明首先证明 1 , 2 , , n - - r 线性无关线性无关. 事实上事实上, 如果如果k1 1 + k2 2 + + k n - - r n - -
13、 r =0 ,即即首页 上页 下页 返回 结束 14k1 1 + k2 2 + + k n- - r n- - r= ( * *, , * *, k1 , k2 , , kn- - r )= ( 0, , 0, 0, 0, , 0 ) .比较最后比较最后 n - - r 个分量，得个分量，得k1 = k2 = = kn - - r = 0 .因此因此, 1 , 2 , , n - - r 线性无关线性无关.再证明方程组再证明方程组 (1) 的任意一个解都可以由的任意一个解都可以由 1 , 2, , n - - r 线性表出线性表出.设设 = ( c1 , , cr , cr+1 , cr+2
14、, , cn ) (6)首页 上页 下页 返回 结束 15是方程组是方程组 (1) 的一个解的一个解. 由于由于 1 , 2 , , n- - r 是是 (1)的解，所以线性组合的解，所以线性组合cr+1 1 + cr+2 2 + + cn n- - r也是也是 (1) 的一个解的一个解. 比较比较 (7) 和和 (6) 的最后的最后 n - - r 个分个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全一样，即一样，即= ( * *, , * * , cr+1 , cr+2 , , cn ) (7) = cr+1 1 + cr+2 2 + + cn
15、n- - r (8)这就是说，任意一个解这就是说，任意一个解 都能表成都能表成 1 , 2 , , n- - r 首页 上页 下页 返回 结束 16的线性组合的线性组合. 综合以上两点综合以上两点, 我们就证明了我们就证明了 1, 2 , , n- - r 确为方程组确为方程组 (2) 的一个基础解系的一个基础解系, 因而齐因而齐次线性次线性方程组方程组(1)的确有基础解系的确有基础解系.证明中具体给出的证明中具体给出的这个这个基础解系是由基础解系是由 n - - r 个解组成个解组成. 至于其它的基础解系至于其它的基础解系,由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都由定义，一定与这个基础解
16、系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量是线性无关的，因而有相同个数的向量. 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法方法.首页 上页 下页 返回 结束 17 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系向量组都是基础解系.证证设设 1 , 2 , , n- - r 是方程组是方程组1111221211222211220 ,0 ,(1)0 .nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x 的一个基础解系，向量组的一个基础解系，向量组 1 , 2 , , t 线
17、性无关线性无关且与且与 1 , 2 , , n- - r 等价等价.由基础解系的定义，可得出下面重要结论：由基础解系的定义，可得出下面重要结论：首页 上页 下页 返回 结束 18下面来证明下面来证明 1 , 2 , , t 是方程组是方程组 (1) 的基础的基础解系解系. 因为因为 1 , 2 , , t 与与 1 , 2 , , n- - r 等价等价且它们都是线性无关的，所以有且它们都是线性无关的，所以有1) t = n - - r ;2) 1 , 2 , , t 可经可经 1 , 2 , , n- - r 线性表线性表出出.由由 2) 可得可得 i = c1 1 + c2 2 + + c
18、n- - r n- - r ( i = 1, 2, , t )于是于是 1 , 2 , , t 也是方程组也是方程组 (1) 线性无关的解线性无关的解.首页 上页 下页 返回 结束 19 = k1 1 + k2 2 + + kn - - r n - - r 设设 1 , 2 , , n- - r 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1) 的的基础解系，则称基础解系，则称是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1) 的的一般解一般解.齐次线性方程组的一般解齐次线性方程组的一般解首页 上页 下页 返回 结束 20 12345123452345123450 ,3230 ,2260 ,54330 .xxx
19、xxxxxxxxxxxxxxxx 例例1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系.解解 系数矩阵作初等行变换系数矩阵作初等行变换11111321130122654331 11111012260122601226首页 上页 下页 返回 结束 211111101226000000000010115012260000000000于是原方程组与于是原方程组与 13452345502260 xxxxxxxx 同解同解. 将此方程组变形为将此方程组变形为 134523455226xxxxxxxx 首页 上页 下页 返回 结束 22345,.xxx其其中中为为自自由由未未知知量量345
20、3453451,0,0,0,1,0,0,0,1,xxxxxxxxx分别令分别令得得 123(1, 2, 1, 0, 0),(1, 2, 0, 1, 0),(5, 6, 0, 0, 1), 123,. 则则就就是是原原方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系首页 上页 下页 返回 结束 23 总结上述讨论总结上述讨论, 求解齐次线性方程组可按下列求解齐次线性方程组可按下列步骤进行步骤进行: 1) 将方程组将方程组(1)的系数矩阵的系数矩阵A用初等行变换用初等行变换(必要必要时可用交换两列的变换时可用交换两列的变换)化为化为1,112,12,11000100010000000000rnrnr rr
21、ncccccc 首页 上页 下页 返回 结束 24从而得到与原方程组同解的齐次线性方程组从而得到与原方程组同解的齐次线性方程组11,11122,112,11,.rrnnrrnnrr rrrnnxcxc xxcxc xxcxc x 1,.rnxx 其其中中为为自自由由未未知知量量 12),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1),rnxx 对对于于依依次次取取值值得得基基础础解解系系首页 上页 下页 返回 结束 25 11,1,121,2,21(, 1, 0, 0)(, 0, 1, 0),(, 0, 0, 1).rr rrr rn rnrncccccc 3) 写出方程组的通解写
22、出方程组的通解(一般解一般解) (112212,)n rn rn rkkkk kkP 首页 上页 下页 返回 结束 26二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构1. 非齐次线性方程组与其导出组非齐次线性方程组与其导出组11112211211222221122,(9).nnnnsssnnsa xa xa xba xa xaxba xa xa xb 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组若令若令 b1 = b2 = = bs = 0，就得到齐次方程组，就得到齐次方程组 (1).方程组方程组 (1) 称为方程组称为方程组 (9) 的的导出组导出组.首页 上页 下页 返回 结束 27
23、2. 解的性质解的性质方程组方程组 (9) 的解与它的导出组的解与它的导出组 (1) 的解之间有密的解之间有密切的关系：切的关系：1) 线性方程组线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组的两个解的差是它的导出组(1) 的解的解.证证设设 ( k1 , k2 , , kn ) 与与 ( l1 , l2 , , ln ) 是方程组是方程组 (9) 的两个解，则有的两个解，则有1(1,2, ),nijjija kbis 1(1,2, ),nij jija lbis 首页 上页 下页 返回 结束 28它们的差是它们的差是 ( k1- - l1 , k2- - l2 , , kn- - ln ) .
24、显然有显然有1()nijjjja kl 11nnijjij jjja ka l 0(1,2, ).iibbis 这就是说，这就是说，( k1- - l1 , k2- - l2 , , kn- - ln ) 是导出组是导出组 (1)的一个解的一个解.2) 线性方程组线性方程组 (9) 的一个解与它的导出组的一个解与它的导出组 (1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.设设 ( k1 , k2 , , kn ) 是方程组是方程组 (9) 的一个解的一个解,即即首页 上页 下页 返回 结束 291(1,2, ),nijjija kbis 又设又设 ( l1
25、, l2 , , ln ) 是导出组是导出组 (1) 的一个解，即的一个解，即10(1,2, ),nij jja lis 显然显然1()nijjjja kl 11nnijjij jjja ka l 0(1,2, ).iibbis 这就是说这就是说, ( k1+ +l1 , k2+ +l2 , , kn+ +ln ) 是是 (9)的一个解的一个解.首页 上页 下页 返回 结束 303. 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构定理定理 9 如果如果 0 是方程组是方程组 (9) 的一个特解的一个特解, 那么那么方程组方程组 (9) 的任一个解的任一个解 都可以表成都可以表成 = 0 +
26、， (10)其中其中 是导出组是导出组 (1) 的一个解的一个解.因此因此, 对于方程组对于方程组(9)的任一个特解的任一个特解 0 , 当当 取遍它的导出组的全部解时取遍它的导出组的全部解时, (10) 就给出就给出 (9) 的全部解的全部解.首页 上页 下页 返回 结束 31显然显然 = 0 + ( - - 0 )，由上面的由上面的 1)， - - 0 是导出组是导出组 (1) 的一个解，令的一个解，令 - - 0 = ，就得到定理的结论就得到定理的结论. 既然既然 (9) 的任一个解都能表成的任一个解都能表成(10) 的形式，由的形式，由 2) 在在 取遍取遍 (1) 的全部解的时候，的
27、全部解的时候， = 0 + 就取遍就取遍 (9) 的全部解的全部解.首页 上页 下页 返回 结束 32非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解 = 0 + k1 1 + k2 2 + + kn - - r n - - r 设设 0 是非齐次线性方程组的一个特解是非齐次线性方程组的一个特解, 1 , 2 , , n- - r 是它的导出组的一个基础解系是它的导出组的一个基础解系, 则它则它的任一的任一个解个解 可表示为可表示为称之为非齐次线性方程组的称之为非齐次线性方程组的一般解一般解 .由定理由定理 9 容易得出以下推论：容易得出以下推论：首页 上页 下页 返回 结束 33 推论推论
28、在非齐次线性方程组有解的条件下在非齐次线性方程组有解的条件下, 解解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.证证充分性充分性如果方程组如果方程组 (9) 有两个不同的解有两个不同的解,那么它的差就是导出组的一个非零解那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此因此, 如果如果导出组只有零解，那么方程组导出组只有零解，那么方程组(9)有唯一解有唯一解.必要性必要性如果导出组有非零解，那么这个解如果导出组有非零解，那么这个解与方程组与方程组 (9) 的一个解的一个解 (因为它有解因为它有解) 的和就是的和就是 (9)的另一个解，也就是说，的另一个解，也就是说，
29、(9) 不止一个解不止一个解.因之，因之，如果方程如果方程 (9) 有唯一解有唯一解, 那么它的导出组只有零解那么它的导出组只有零解.首页 上页 下页 返回 结束 34例例 2 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组123451235124512340,221,3321,21,xxxxxxxxxxxxxxxxx 111110221011330121112101A 解解 增广矩阵增广矩阵首页 上页 下页 返回 结束 35111110003211003211003211 111110003211000000000000 121110333211001333000000000000 首页 上页 下
30、页 返回 结束 36245,xxx 是是自自由由未未知知量量. .2450,xxx 取取得得方方程程组组的的一一个个特特解解11033( ,0, ,0,0)T 121245332134533xxxxxxx 由由得导出组的基础解系得导出组的基础解系 1121245333121345333xxxxxxx 于是原方程组同解于方程组于是原方程组同解于方程组首页 上页 下页 返回 结束 37于是原方程组的通解为于是原方程组的通解为1121333212131233334511000000100001xxxkkkxx 123,.k k k 为为任任意意常常数数 121233( 1, 1, 0, 0, 0)
31、,( , 0, 1, 0) ,TT 21333(, 0, 0, 1)T 首页 上页 下页 返回 结束 38例例 3 设线性方程组设线性方程组1231231234 ,3 ,24 .axxxxbxxxbxx 讨论方程组的解的情况与参数讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时的关系，有解时求其解求其解.11|11121aAbb 111100abb 111ab 解解 系数行列式系数行列式首页 上页 下页 返回 结束 39(1)b a (1)01,ba当当且且时时 方方程程组组有有唯唯一一解解: :123211142,(1)(1)bbabxxxb abb a (2)0,b 当当时时11410
32、131014aA 1013011430001aa ( )2( )3,R AR A因因故方程组无解故方程组无解.首页 上页 下页 返回 结束 4011141131214Abb (3)1,a 当当时时1114010102100bb 111401010102b 1012000120102b 1012010200012b 首页 上页 下页 返回 结束 41101201020000A 1,2b 当当时时方程组有无穷多解方程组有无穷多解, 通解为通解为 12322()xkxkxk 为为任任意意常常数数1,2b 当当时时101201020001A ( )2( )3,R AR A因因故方程组无解故方程组无解.
33、首页 上页 下页 返回 结束 42三、平面间位置关系的讨论三、平面间位置关系的讨论 由于平面在直角坐标系下的方程，是三元线性由于平面在直角坐标系下的方程，是三元线性方程方程a1x1 + a2x2 + a3x3 = b ,而直线在直角坐标系下的而直线在直角坐标系下的方程是两个三元线性方程组成的方程组方程是两个三元线性方程组成的方程组, 因此因此, 讨论讨论它们之间的位置关系它们之间的位置关系 ( 如平行、重合、相交等如平行、重合、相交等 ), 可可用线性方程组的解的理论阐明用线性方程组的解的理论阐明. 两个平面间的位置关系有：两个平面间的位置关系有：平行平行、重合重合、相交相交三种情况三种情况.
34、首页 上页 下页 返回 结束 43设有两个平面设有两个平面 1 , 2 ，其方程如下：，其方程如下： 1 ： a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 , 2 ： a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 则平面则平面 1 , 2 间的位置关系可由线性方程组间的位置关系可由线性方程组11112213312112222332a xa xa xbaxaxaxb 的解的情况来确定的解的情况来确定.为方便起见为方便起见, 用用 A 表示所讨论的方程组的系数矩表示所讨论的方程组的系数矩阵阵, 表示所讨论的方程组的增广矩阵表示所讨论的方程组的增广矩阵, R(A) 表示矩表示矩阵阵
35、A 的秩的秩.A首页 上页 下页 返回 结束 44这时方程组有无穷多组解，其一般解中含有一这时方程组有无穷多组解，其一般解中含有一个任意常数，即两平面相交为一直线个任意常数，即两平面相交为一直线.这时增广矩阵的两个行向量成比例，故两个平这时增广矩阵的两个行向量成比例，故两个平面是重合的面是重合的.3) 相交相交的条件是：的条件是：R(A) = R( ) = 2.A1) 重合重合的条件是：的条件是： R(A) = R( ) = 1.A这时方程组无解，即两个平面平行，且不重合这时方程组无解，即两个平面平行，且不重合.2) 平行平行的条件是：的条件是：R(A) = 1，R( ) = 2.A首页 上页
36、 下页 返回 结束 45四、三元非齐次线性方程组解的几何意义四、三元非齐次线性方程组解的几何意义 在本节的最后在本节的最后, 我们来讨论一下三元非齐次线我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义性方程组解的几何意义.设有三元非齐次线性方程组设有三元非齐次线性方程组 11112222,( ).mmmma xb yc zda xb yc zda xb yc zd * *则方程组则方程组 (* *) 的解有以下三种情况的解有以下三种情况:1) 无解无解 这时方程组这时方程组 (* *) 中的中的 m 个方程所表个方程所表首页 上页 下页 返回 结束 462) 有唯一解有唯一解 这时方程组这时方程
37、组 (* *) 中的中的 m 个方程个方程所表示的平面交于一点所表示的平面交于一点. 示的平面既不交于一点示的平面既不交于一点, 也不共线、共面也不共线、共面.3) 有无穷多个解有无穷多个解 这时又可分为两种情形这时又可分为两种情形:情形一情形一未知量未知量, 基础解系中有两个向量基础解系中有两个向量, 其一般解的形式为其一般解的形式为A 的秩的秩 = A的秩的秩 = 1 . 此时此时, 有两个自由有两个自由 = k1 1 + k2 2 + 0 (k1 , k2 为任意常数为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由而这个平面是由过点过点 0且分别以且分别以 1 、 2 为方向向量的两条相交直为方向向量的两条相交直线所确定线所确定. 首页 上页 下页 返回 结束 47向量的直线上向量的直线上. 情形二情形二这时方程组这时方程组 (* *) 的一般解为的一般解为 = k + 0 ( k 为任意常数为任意常数 ).此时方程组此时方程组 (* *) 的所有解在过点的所有解在过点 0且以且以 为方向为方向A 的秩的秩 = A 的秩的秩 = 2 .首页 上页 返回 结束