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1、 在一个三角形居住区内修有在一个三角形居住区内修有一个一个学校学校P P，P P到到ABAB、BCBC、CACA三边三边的距离都相等的距离都相等,请在三角形居住区请在三角形居住区内标出内标出学校学校P P的位置的位置,P,P在何处？在何处？ABC 学习目标学习目标1掌握角平分线掌握角平分线性质定理性质定理和和逆逆定理定理，并能运用这两，并能运用这两个定理个定理证明线段相等和角相等证明线段相等和角相等2提高学生对角平分线性质和判提高学生对角平分线性质和判定定在实际生活中的在实际生活中的应用能力应用能力3从对角平分线上的点的从对角平分线上的点的“纯粹性纯粹性”与与“完备性完备性”两方面两方面的考察
2、中的考察中，产生几何图形美的情感体验产生几何图形美的情感体验 学习学习重难点重难点重点：角平分线性质定理和重点：角平分线性质定理和逆逆定理定理的内容。的内容。难点：难点：角平分线性质定理和角平分线性质定理和逆逆定理定理的运用。的运用。复习提问复习提问1 1、角平分线角平分线的概念的概念一条射线一条射线把一个角把一个角分成两个相等的角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。这条射线叫做这个角的平分线。oBCA122.下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线L的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长探究角平分线的性质 (1)实验实验：如图，：如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，P是是O
3、C上任一点，做上任一点，做PD OA，PE OB，垂足，垂足分别为点分别为点D和点和点E.将将AOB沿沿OC对折，观察对折，观察PD与与PE是否会完全重合？是否会完全重合？角的角的平分线平分线上的上的点点到角的两边的到角的两边的距离相等距离相等.BADOPEC(2)猜想猜想:条件条件：一个点在一个角的平分线上：一个点在一个角的平分线上结论结论：这个点到角的两边的距离相等：这个点到角的两边的距离相等证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB PDO=PEO=900 在在PDO和和PEO中中,PDO=PEO（已证）（已证）1=2
4、（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（A.A.S.）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE(3)验证猜想验证猜想 符号语言符号语言 1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分线上的角平分线上的角平分线上的角平分线上的点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等）P PA
5、AOOB BC CE ED D12(4)角平分线的性质角平分线的性质定理定理：角平分线角平分线上的上的点点到角两边的到角两边的距离相等距离相等。定理的作用定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。（1）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）已知）=，()角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。BD CD基础练习：3.判断：（判断：（）（2）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）已知）=，()角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。BD CD（）基础练习：（3）AD平分平分BAC,DCAC，DEAB （已知）已知）=，（）D
6、BDC角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等。边的距离相等。（）基础练习：例例1 1、如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：DBEDBE的周长等于的周长等于ABAB。ABCDE如如如如图图，在，在，在，在RtRtABC ABC 中中中中，做完本做完本做完本做完本题题题题后，你后，你后，你后，你对对对对角平分角平分角平分角平分线线线线,又增加了什么又增加了什么又增加了什么又增加了什么认认认认识识识识?思考思考思考思考角平分角平分线线的性的性质质，为为我我
7、们证们证明明两条两条线线段段相等相等 又提供了新的方法与又提供了新的方法与途径途径途径途径。ABCBDBD是是是是角角角角平分平分平分平分线线，DEDE ABAB，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E，E EDEDE与与与与DC DC 相等相等相等相等吗吗？DD解：解：解：解：DE=DCDE=DC。理由理由理由理由 BDBDBDBD是是是是ABCABCABCABC的平分线的平分线的平分线的平分线 且且DEDE BABA，DE=DCDE=DC。为为什么？什么？什么？什么？DCDC BCBC，w2、已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:
8、EB=FC.BAEDCF已知：如图已知：如图,PDPDOAOA，PEPEOBOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OCB1A2PDE证明：证明：PD OA，PE OB，在在Rt PDO 与与Rt PEO中中PDO=PEO=900 PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边）Rt PDO Rt PDO(H.L.)1=2 即即点点P在在AOB的平分线上的平分线上角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点到角两边的距离到角两边的距离到角两边的距离到角两边的距离相等。相等。相等。相等。逆命题角的角的内
9、部到角内部到角两边两边的距离相等的点在的距离相等的点在角的平分线上角的平分线上.w逆定理逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.用符号语言表示为用符号语言表示为:PDOA,PEPDOA,PEOB,OB,且且PD=PEPD=PE点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上温馨提示温馨提示:这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明点在直线点在直线上上(或或直线经过直线经过某一某一点点)的根据之一的根据之一.OCBAPDE角角平分线性质定理的逆定理平分线性质定理的逆定理 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在在角平
10、分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:角的内部到角的两边距离相等的点角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角在这个角的平分线上的平分线上.4.角平分线的性质定理角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等是证明角相等、线段相等的新途径的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等总结归纳总结归纳ACBEDPMHK如图，在ABC的
11、 顶点 B的外角的平分线BD与顶点 C的外角的平分线CE相交于点P求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等证明：过点P作PMAB、PKBC、PHAC，垂足分别为M、K、H。BD平分CBM PMAB、PKBC PKPM同理PKPHPKPMPH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等若求证点P在BAC的平分线上，又该如何证明呢？1 如图，在直线如图，在直线l上找出一点上找出一点P，使得点，使得点P到到 AOB的两边的两边OA、OB的距离相等的距离相等提示：作提示：作AOB的平的平分线，交直线分线，交直线l 于于P就就是所求的点是所求的点练习练习2：如图如图,有两条相交公路交于有两条相交公路交于O O
12、点并且在点并且在第一区有两个村庄第一区有两个村庄C.D,C.D,现有人在该区建一个杂食店，现有人在该区建一个杂食店，要求（要求（1)1)到两条公路的距离相等到两条公路的距离相等,（2 2）到）到C C村村.D.D村的村的距离相等距离相等.问如何建立这个杂食店问如何建立这个杂食店CDABOP第一区第一区如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分的平分线相交于点线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上证明：作证明：作FG AE于于G.FH AD于于HFP CB于于P,作射线作射线AF CF平分平分ECB FG=FP(角平分线上
13、的点到角角平分线上的点到角两边距离相等两边距离相等)同理可证同理可证:FH=FP FG=FH 点点F在在EAD的平分线上的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)1.已知：如图，已知：如图，ABC的角平分的角平分线线BM、CN相相 交于点交于点P.求证求证：（：（1）点点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.（2）点）点P在在A的角平分线上的角平分线上.证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上PD AB,PE BC
14、（已知）（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两在角平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF（等量代换）（等量代换）.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距的距离相等离相等点点P在在A的角平分线上的角平分线上.（角的内部到角两边距离相等角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上的点在这个角的平分线上）DEFABCPMN提高训练提高训练小结下课了!这节课我们学到了什么？这节课我们学到了什么？掌握了角平分线的性质定理及其逆掌握了角平分线的性质定理及其逆定理定理.利用角平分线性质定理证明两条利用角平分线性质定理证明两条线段相等线段相等.课本第99页习题19.4 第4、5题