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1、第四章三角形安徽中考考点过关安徽中考数学第一节角、相交线、平行线目录（安徽中考）考点考点1 直线与线段考点2 角的相关概念及性质考点3 相交线考点4 平行线考点5 命题方法命题角度1 平行线的判定命题角度2 利用平行线的性质求角度命题角度3 命题考点考点1直线与线段1.点、线、面(1)点动成,线动成,面动成.(2)几何体中面与面相交形成线,线与线相交形成点.2.直线、线段、射线(1)直线、线段、射线名称端点个数特征图示表示及读法直线无可向两方无限延伸直线AB或直线BA射线1个可向一方无限延伸射线OA线段2个有一定长度,可度量线段AB或线段BA线体面考点2角的相关概念及性质1.角的概念有公共端点
2、的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点称为角的顶点,这两条射线是角的两边.2.角的表示角有以下几种表示形式:考点2角的相关概念及性质用角的顶点字母表示角,只适用于顶点处只有一个角的情况,如图所示的AOB不能表示成O.温馨提示温馨提示考点2角的相关概念及性质3.角的分类类别锐角直角钝角平角周角度数()090=9090A,ACDB.大于大于和等于互余互余8080小于考点2三角形中的重要线段名称图示位置性质备注中线 AM是ABC的一条中线,点M是BC边的中点.三角形的三条中线均在三角形内部.BM=CM,SABM=SACM=SABC.重心:三角形三条中线的交点,它到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边
3、中点的距离的2倍.高线AD是ABC的一条高线.高线可以在三角形内部,也可以不在三角形内部.ADBC,即ADC=ADB=90.垂心:三角形三条高线所在直线的交点.考点2三角形中的重要线段名称图示位置性质备注角平分线AD是ABC的一条角平分线.三角形的三条角平分线均在三角形内部.1=2=BAC.内心:三角形的三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.中位线EF是ABC的一条中位线,点E,F分别是边AB,AC的中点.在三角形的内部.EFBC,且EF=BC,SAEF=SABC.考点3特殊三角形的性质与判定1.等腰三角形和等边三角形的性质与判定 等腰三角形等边三角形性质(1)两底角相等(简称“等边对
4、等角”).(2)顶角的平分线垂直平分底边,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合,简称“三线合一”.(3)是轴对称图形,有一条对称轴.(4)面积:S=ah(a为等腰三角形的一边长,h为该边上的高).(1)三边相等.(2)三个内角相等,每一个内角都等于60.(3)是轴对称图形,有三条对称轴.(4)面积:S=a2(a为等边三角形的边长).判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(依据“等角对等边”).(1)三边相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.考点3特殊三角形的性质与判定
5、2.直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90.(2)斜边上的中线等于斜边的一半.(3)30角所对的直角边等于斜边的一半.(4)若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30.(5)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方,即a2+b2=c2(a,b为直角边,c为斜边).(6)面积:S=ch=ab(a,b为直角边,c为斜边,h为斜边上的高).判定(1)有一个角为90的三角形是直角三角形.(2)若a2+b2=c2,则以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形.(3)如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.方法命题角度1三角形的三边关系例12020山
6、东济宁已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是(写出一个即可).【思路分析】根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边解答即可.4(答案不唯一,正确即可)命题角度2三角形内角和定理及其推论例22019浙江绍兴如图,墙上钉着三根木条a,b,c,量得1=70,2=100,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是()A.5B.10C.30 D.70B【思路分析】设木条a,b所在直线交于点P,构造一个三角形,由三角形的内角和定理可知所夹锐角的度数.命题角度3三角形中的重要线段例32019合肥蜀山区一模如图,在ABC中,B+C=100,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,
7、交AC于点E,则ADE的大小是()A.30 B.40 C.50 D.60【思路分析】结合平行线的性质和角平分线的定义进行计算即可.B命题角度4等腰三角形例42019黑龙江齐齐哈尔等腰三角形ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰三角形ABC底角的度数为.【思路分析】分点B是顶角顶点、底角顶点两种情况进行讨论.当点B为底角顶点时,再分BD在ABC外部和ABC内部两种情况进行计算.15,45或75在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(ab),求周长C时,分两种情况:(
8、1)若腰长为a且2ab,则周长C=2a+b;(2)若腰长为b且2ba,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为,求顶角或底角的度数时,有三种情况:(1)若为钝角,则为顶角,底角的度数为(180-).(2)若为直角,则为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45.(3)若为锐角,则应分两种情况讨论:当为顶角时,底角的度数为(180-);当为底角时,顶角的度数为180-2.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180”.等腰三角形命题角度4提分技法提分技法等腰三角形中的分类讨论命题角度5直角三角形 D【思路分析】
9、方法一:方法二:过点D作DFBC于点F.第四章三角形安徽中考考点过关安徽中考数学第三节全等三角形目录（安徽中考）考点考点1 全等三角形的定义与性质考点2 全等三角形的判定方法命题角度 全等三角形的判定与性质考点考点1全等三角形的定义与性质1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.2.性质(1)全等三角形的对应边、对应角.(2)全等三角形的周长、面积.(3)全等三角形对应的高、中线、角平分线分别.相等相等相等相等相等考点2全等三角形的判定1.全等三角形的判定方法类型判定方法图示一般三角形分别对应相
10、等(SSS)两角及 对应相等(ASA)两角及其一角所对的边对应相等(AAS)两边及它们的夹角对应相等()直角三角形一条直角边和分别对应相等(HL)注:一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形.三条边它们的夹边斜边SASSAS考点2全等三角形的判定两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,也就是说“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如:如图,在ABC和ABD中,AB=AB,B=B,AC=AD,但ABC与ABD不全等.温馨提示温馨提示考点2全等三角形的判定2.全等三角形的常见模型模型图形示例归纳总结平移模型可看成由一个三角形沿其一条边所在直线平移得到.对称模型两个三角形关于某
11、一直线对称,即这条直线两边的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.旋转模型可看成由三角形绕某一个点旋转而成,故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中.角平分线模型把角平分线看成一条公共边所在射线,在角的两边截取相等的线段,就可以构造出全等三角形.三垂直模型也叫双直角三角形,其中的证明多数可以用到同(等)角的余角相等这一结论,相等的角就是对应角.考点2全等三角形的判定3.证明三角形全等的思路方法命题角度全等三角形的判定与性质例12020湖北仙桃如图,已知ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=90,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:BD=CE;BFC
12、F;AF平分CAD;AFE=45.其中正确结论的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路分析】过点A分别作BD,CE的垂线,垂足分别为点M,N.C命题角度全等三角形的判定与性质例22020浙江台州如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.(1)求证:ABDACE;(2)判断BOC的形状,并说明理由.【思路分析】(1)利用“SAS”即可求证.(1)证明:AB=AC,A=A,AD=AE,ABDACE.(2)BOC是等腰三角形.理由:ABDACE,ABD=ACE.AB=AC,ABC=ACB,ABC-ABD=ACB-ACE,OBC=OCB,BO=CO,命题角度全等三角形的判
13、定与性质两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90.提分技法提分技法利用三角形全等判断线段的关系的方法规范性答题全等三角形的证明第四章三角形安徽中考考点过关安徽中考数学第四节相似三角形目录（安徽中考）考点考点1 比例线段及比例的性质考点2 平行线分线段成比例考点3 相似三角形的性质考点4 相似三角形的判定考点5 相似多边形方法命题
14、角度 相似三角形的判定与性质考点考点1比例线段及比例的性质比例线段对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段a,b的比与另两条线段c,d的比相等,即ab=cd,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.比例的性质(1)基本性质:ad=bc(bd0);(2)合比性质:如果,那么=(bd0);(3)等比性质:如果=,且b1+b2+bn0,那么=.考点2平行线分线段成比例定理或基本事实1.平行线等分线段定理:三条平行线截两条直线,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.图示:当l1l2l3,且AB=BC时,有DE=EF.2.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得
15、的对应线段成比例.当l1l2l3时,有，等.考点2平行线分线段成比例推论平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所得的对应线段成比例.图示:当DEBC时,有，等.考点3相似三角形的性质1.相似三角形对应角,对应边成比例.相等相等比相等比的平方考点4相似三角形的判定1.判定方法 语言叙述图示平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.当DEBC时,ADEABC.分别相等的两个三角形相似.两角考点4相似三角形的判定语言叙述图示两边对应成比例且相等的两个三角形相似.三边 的两个三角形相似.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
16、斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.夹角对应成比例考点4相似三角形的判定判定三角形相似的思路提分技法提分技法考点4相似三角形的判定2.常见的相似模型(1)平行线型若DEBC,则ADEABC.(2)斜交型若1=2,则ADEABC.此种情况下,ADEABC.(3)一线三等角型若B=ACE=D,则ABCCDE.考点5相似多边形1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.方法命题角度相似
17、三角形的判定与性质例2020四川眉山中考改编如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.下列结论中错误的是()A.EAB=GADB.AFCAGDC.AE2=AHACD.DGACC【思路分析】延长DG交AC于点N.命题角度相似三角形的判定与性质根据比例的基本性质,可以把比例式与等积式互化.一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式可以转化为多个比例式.如bc=ad(abcd0),除了可化为ab=cd,还可化为ac=bd,ba=dc,ca=db.上述转化的关键是a,d同为比例外项或比例内项,b,c同为
18、比例内项或比例外项.等积式巧化比例式提分技法提分技法1.利用成比例线段的定义.2.利用平行线分线段成比例的基本事实.3.利用相似三角形的性质.4.利用中间比等量代换.5.利用面积关系.证明四条线段成比例的常用方法第四章三角形安徽中考考点过关安徽中考数学第五节解直角三角形目录（安徽中考）考点考点1 锐角三角函数考点2 特殊角的三角函数值考点3 解直角三角形的常用关系考点4 解直角三角形的实际应用方法命题角度 解直角三角形的实际应用考点考点1锐角三角函数锐角三角函数的定义在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c.A的正弦:sin A=;A的余弦:cos A=;A的正切:tan A
19、=.互余两角的三角函数关系若A+B=90,则:sin B=sin(90-A)=cos A;cos B=cos(90-A)=sin A;tan Atan B=1.考点4解直角三角形的实际应用1.仰(俯)角、坡度(角)、方向角概念定义图形俯角、仰角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角叫坡角,i=tan=.方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)度,方向角的角度值在0
20、90.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30、南偏东60、北偏西45(也称西北方向).考点4解直角三角形的实际应用(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)数学模型应测数据数量关系一般型测角仪高a1,水平距离a2,仰角tan=,由此可求得h.背靠背型仰角,俯角,水平距离atan=h1=atan,tan=h2=atan,由h1+h2=h即可求得h.方法命题角度解直角三角形的实际应用例2020合肥包河区一模如图,一架无人机在600米高空的P点,测得地面A点和建筑物BC的顶端B点的俯角分别为60和70(点A,B,C,P在同一平面内).已知A点到建筑物BC的底端C点的距离为286米,求建筑物
21、BC的高.(结果精确到1米.参考数据:1.73,sin700.94,cos700.34,tan702.75)【思路分析】本题是“背靠背模型”与矩形结合的解直角三角形的实际应用.过点P作PDAC于点D,过点B作BEPD于点E,先在RtAPD中得到AD的长,然后利用矩形对边相等得到BE=AC-AD,再在RtPBE中得到PE的长,进一步求解得到BC的长.命题角度解直角三角形的实际应用命题角度解直角三角形的实际应用1.审题:画出正确的平面图或截面示意图,并通过图形弄清楚已知量和未知量.2.构造直角三角形:“化斜为直”是解决此类问题的关键.添加适当的辅助线,将斜三角形转化为两个直角三角形.3.列关系式:
22、根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关直角三角形.4.检验:解题完毕后,可能会存在一些较为特殊的数据,如含有复杂的小数等,因此要特别注意所求数据是否符合实际意义,同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求.解直角三角形的实际应用题的解题步骤提分技法提分技法第四章三角形安徽中考考点过关安徽中考数学微专项目录（安徽中考）微专项微专项1 中点模型微专项2 截长补短法微专项3 “一线三等角”模型微专项4 旋转模型微专项1中点模型1.模型说明中点模型,即与中点相关的模型,一般涉及三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用.当题目中已知中点时,可根据图形抽象出中点模
23、型解决问题.有时需添加辅助线构造中点模型解题.微专项1中点模型2.辅助线的作法类型类型作法作法结论结论构造中位线点D,E分别是AB,AC的中点.DEBC,DE=BC,ADEABC.点D是AB的中点.构造直角三角形斜边上的中线在RtABC中,C=90,点D是AB的中点.CD=AB微专项1中点模型类型类型作法作法结论结论构造等腰三角形底边上的高在ABC中,AB=AC,点D是BC的中点.ADBC,AD平分BAC.倍长中线、类中线AD是ABC的中线.ABDECD在ABC中,D是BC的中点,点E是AB上一点.EBDFCD微专项2截长补短法1.截长补短法:具体作法是在某条线段上截取一条线段等于特定线段,或
24、将某条线段延长,使延长部分等于特定线段(或使延长后的线段等于某特定线段).2.截长补短法的适用情况:(1)证明一条线段等于另两条线段的和或差;(2)证明一条线段的倍等于另两条线段的和或差;(3)某些特殊情况下线段间倍数关系的证明.3.用截长补短法证明一条线段等于另两条线段的和或差的方法:截长法:在长线段上截取一条线段,使其等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.补短法:延长短线段,使其延长部分等于另一条短线段,然后证明延长后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然后证明延长部分等于另一条短线段).微专项2截长补短法如图,在ABC中,C=2B,AD平分BAC交
25、BC于点D.求证:AB=AC+CD.微专项2截长补短法方法一(截长法):在AB上截取AE=AC,连接DE.AD平分BAC,BAD=CAD.又AE=AC,AD=AD,AEDACD,DC=DE,AED=C.C=2B,AED=B+BDE,B=BDE,BE=DE,AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法二(补短法):延长AC至点E,使CE=CD,连接DE,则CDE=E,ACD=2E.又ACB=2B,B=E.AD平分BAC,BAD=CAD.又AD=AD,ADEADB,AB=AE=AC+CE=AC+CD.微专项3“一线三等角”模型1.定义三个等角的顶点在同一条直线上的模型称为“一线三等角”模型,也称
26、为“K型”相似模型.简单来说,一条直线上有三个相等的角,一般会存在相似的三角形.特殊地,当等角为直角时,也称为“一线三直角”模型或“一线三垂直”模型.微专项3“一线三等角”模型2.模型类别及相关结论类别图示常用辅助线作法或使用背景一般结论其他K型:三等角在直线同侧锐角B=ACE=D=延长BA,DE交于点F.1.BACDCE,若点C为BD的中点,连接AE,则直线AC平分BAE,直线EC平分AED,BACCAEDCE;2.若AC=CE,则BACDCE,BD=AB+DE.1.常结合等腰三角形(包括等边三角形、等腰直角三角形)进行考查;2.BFD=180-2.直角B=ACE=D=90连接AE,过点C作
27、CFAE于点F.若BC=CD,则:1.ABCAFC,EFCEDC;2.BC=CF=CD;3.AE=AB+DE.钝角B=ACE=D=延长AB,ED交于点F.F=2-180微专项3“一线三等角”模型类别图示常用辅助线作法或使用背景一般结论其他燕尾型:直线穿过一等角锐角1=2=3=90点B,D重合,BC平分ABE,ABC+ACE=180.微专项3“一线三等角”模型变K型ABC=BDE=1=1.当90时,BFD=2-180;2.BACDBE;3.若AC=BE,则BACDBE,BD=DC+DE.微专项3“一线三等角”模型例1如图,在四边形ABCD中,BAD=ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD
28、的长为5,则四边形ABCD的面积为.【思路分析】观察题图,有2个直角,即BAD和ACB,即直线AC上有2个直角.过点D作DEAC于点E,即可构造“一线三垂直”模型,再结合三角形全等和勾股定理求出BC,AC,DE的长,进而得到四边形ABCD的面积.突破点1直线穿过一直角时“一线三直角”模型的应用10微专项3“一线三等角”模型例2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为.【思路分析】题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造“一线三直角”模型的直角是AFE,过直角顶点F作竖直的线(作矩形ABCD的边AD的
29、垂线),可构造“一线三直角”模型,再结合题中的条件用“相似+勾股”进行相关计算.突破点2在特殊四边形中构造“一线三直角”微专项3“一线三等角”模型例32020湖北鄂州如图,点A是双曲线y=(x0)上一动点,连接OA,作OBOA,且使OB=3OA,当点A在双曲线y=上运动时,点B在双曲线y=上移动,则k的值为.【思路分析】分别过点A,B作x轴的垂线,构造“一线三直角”模型,然后利用相似三角形的判定与性质及反比例函数中|k|的几何意义即可求解.突破点3“一线三直角”在坐标系中的运用-9微专项4旋转模型模型说明在平面内,一个图形绕着一个定点转动一个角度得到另一个图形的变化叫做旋转,这个定点叫做旋转中
30、心,转动的角叫做旋转角.旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等.微专项4旋转模型旋转的基本图形图形旋转的要点利用旋转作辅助线的基本思路如图,将AOB绕点O旋转至AOB,则AOA=BOB.1.找准旋转中的“变”与“不变”;2.找准旋转前后的“对应关系”;3.充分挖掘旋转过程中线段之间的关系;4.找旋转中心,得等边、等角;5.证全等或相似;6.利用全等或相似得到边、角关系.1.以等边三角形为背景的旋转60(遇60旋转60);2.以正方形为背景的旋转90(遇90旋转90);3.将分散的条件通过旋转变换集中在一块“形成合力”破解难题(若条件是分散的,则试试看把图形进行平移、旋转或翻折).如图,将AOB绕点O旋转至AOB,连接AA,BB,则AOABOB.微专项4旋转模型例如图,点P是正方形ABCD内的一点,点E是BC边上的一点.若AB=2,则PA+PD+PE的最小值是.【思路分析】解决线段和(或差)的最值问题一般运用转化思想,结合旋转、对称等几何变换将线段和(或差)的最值问题转化成“点到直线距离问题”或“两点之间距离问题”.