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1、导数在研究函数中的应用(2)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0复习复习:函数单调性与导数关系函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)增函数增函数f(x)减函数减函数 yxOabyf(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1、x3处函数值处函数值f(x1)、f(x3)与与x1、x3左右近旁左右近旁各点处各点处的的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?观察图像观察图像：f(x2)、f(x4)比比x2、x4左右近旁
2、左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?一、函数的极值定义一、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点 yxOabyf(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1、x3处函数值处函数值f(x1)、
3、f(x3)与与x1、x3左右近旁左右近旁各点处各点处的的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?观察图像观察图像：f(x2)、f(x4)比比x2、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即:f (x)=0aby=f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3 yxOabyf(x)x1 f(
4、x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1、x3处函数值处函数值f(x1)、f(x3)与与x1、x3左右近旁左右近旁各点处各点处的的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?观察图像观察图像：f(x2)、f(x4)比比x2、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即:极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何
5、规律有何规律?x2 xXx2 2 f(x)f(x)xXx1 1 f(x)f(x)增增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值极大值减减f(x)0注意注意：（1）f(x0)=0，x0不一定是极值点不一定是极值点(2）只有只有f(x0)=0且且x0两侧单调性不同不同，x0才是极值点才是极值点.(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f(x0)=0的点，的点，再再列表判断单列表判断单调性调性结论：结论：极值点处，极值点处，f(x)=0练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.ab
6、xyx1Ox2x3x4x5x6因为因为 所以所以题题1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺
7、次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况小结：小结：1:极值定义2个关键 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0。极值点左右两边的导数必须异号。3 3个步骤个步骤确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格 用方程用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个的根，顺次将函数的定义域分成若干个开开 区间，并列成表格由区间，并列成表格由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的的根左右的符号，来判断符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况