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1、 函数的极值与导数函数的极值与导数abxyO定义定义 一般地一般地,设函设函数数 f(x)在点在点x0附附近有定义近有定义,如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有我们就说我们就说 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极大值极大值,点点x0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极大值点极大值点.反之反之,若若 ,则称则称 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极小值极小值,点点x0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极小值点极小值点.极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点,极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值.yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察
2、上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0例：例：y=x3练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的极值点的极值点,并指
3、出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x x(,2)2)22(2(2,2)2)2 2(2(2,+)0 00 0f f(x x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）
4、确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:令令 解得解得 列表列表:x x0 0f f(x x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以,当当 时时,f(x)有极小有极小值值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 列表
5、列表:x x(,3)3)33(3(3,3)3)3 3(3(3,+)0 00 0f f(x x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.解得解得 所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.习题习题 A组组#4下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,在标记的点中在标记的点中,在哪一点处在哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?或或