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1、1.1.2 余余 弦弦 定定 理理用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？已知三角形的已知三角形的两角和一边两角和一边，或者是已知，或者是已知两边和其中一边的两边和其中一边的对角对角。思考：思考：如果在一个斜三角形中，已知如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？能否用正弦定理解这个三角形，为什么？正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。不能，在正弦定理不能，在正弦定理 中，已知两边及中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边
2、都有两个未知量。这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。复习回顾复习回顾那么，怎么解这个三角形呢？那么，怎么解这个三角形呢？在锐角三角形在锐角三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,求求aABCcba同理有：同理有：同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。等式成立的，课后请同学们自己证明。D学生活动学生活动余弦定理：余弦定理：用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和平方和,再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。再减去这两边与它们夹角
3、的余弦的积的两倍。建构数学建构数学同理，同理，从从 出发，出发，证得证得 从从 出发，证得出发，证得 证明：证明：学过向量之后，我们还能用向量的方法给予证明学过向量之后，我们还能用向量的方法给予证明余弦定理。余弦定理。已知已知AB,AC和它们的夹角和它们的夹角A，求，求CB即即CBA建构数学建构数学若已知若已知b=8,c=3,A=,能求能求a吗？吗？思考：思考：余弦定理还有别的用途吗？余弦定理还有别的用途吗？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？建构数学建构数学余弦定理余弦定理的变形：的变形：归纳：归纳：利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角
4、形的问题：（1）已知三边，求三个角已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。还可求其它两个角。建构数学建构数学 例例1、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求A，B，C（精确到（精确到 ）分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题解：解：数学运用数学运用思考：思考：已知条件不变，将例已知条件不变，将例1稍做改动稍做改动 （1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定判定三角形三角形ABC的形状的
5、形状分析：三角形分析：三角形ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角B决决定的。定的。（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形ABC的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。数学运用数学运用 例例2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,C=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到解这个
6、三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）分析：已知两边和两边的夹角分析：已知两边和两边的夹角解：解：数学运用数学运用思考思考:(1)还可怎样求角还可怎样求角A？(2)角角A会有两解吗？会有两解吗？（1）余弦定理适用于任何三角形）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用：a、已知三边，求三个角、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状，求三角形的面积、判断三角形的形状，求三角形的面积小结小结例例3：一钝角三角形的边长为
7、连续自然数，则这三边长为（一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：中：，所以，所以C是钝角是钝角D中：中：，所以，所以C是锐角，是锐角，因此以因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足显然不满足B例例4：在三角形：在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,求求最大角的余弦值最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边出第三边,找到最大角。找到最大角。解解：则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角小结：小结：余弦定理余弦定理应用：应用：、已知两条边和一个夹角，求第三条边、已知两条边和一个夹角，求第三条边.、已知三条边，求三个角；判断三角形的形状、已知三条边，求三个角；判断三角形的形状.课堂作业：课堂作业：P16 习题习题 1（2）、（）、（3）课课练选做题：第课课练选做题：第3课时课时 2、3、6、9、10作业作业