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1、第一章第一章:解三角形解三角形 1.问题的引入问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问,月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸,只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具的有力工具.回忆一下直角三角形的边
2、角关系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?1.1.1 正弦定理正弦定理(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到1.1.1 正弦定理正弦定理BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D方法二：方法二：外接圆法外接圆法（R R为外接圆半径）为外接圆半径）OC/cbaC
3、BAOC/cbaCBA 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即作用作用:1.1.1 正弦定理正弦定理(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角的其他的边和角.变式变式:a:b:c=sin A:sin B:sin C(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形已知两边和其中一
4、边的对角，可以求出三角形的其他的边和角的其他的边和角.作用作用:(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角的其他的边和角.作用作用:(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的
5、过程叫解三角形。解三角形。正弦定理的应用正弦定理的应用1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角定理的应用例例 1：在在ABC 中，已知中，已知c=10,A=45。,C=30。，解三角形解三角形.（即求出其它边和角）（即求出其它边和角）解：得 b=（1）已知两角和任一边，）已知两角和任一边，求其他两边和一角求其他两边和一角=BACbca根据三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，（1）在ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在ABC中，已知c=，A=，B=，求
6、b。解：=解：=又（1）已知两角和任一边，）已知两角和任一边，求其他两边和一角求其他两边和一角练习：练习：例 2 在ABC中，已知a20，b28，A40，求B和c.解：sinB 0.8999b sinA a B164，40ABCbB1B2(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角的其他的边和角.B164，C76,c=30 B2116，C24,c=13B2116（三角形中大边对大角）在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b20，A60，a203;（2）b20，A60，a103;（3）b20，A60，a15.60ABCb
7、例 2 在ABC中，已知a20，b28，A40，求B和c.(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角的其他的边和角.（1）b20，A60，a203sinB ，b sinA a12B30或150，15060 180，B150应舍去.6020203ABC（2）b20，A60，a103sinB 1，b sinA aB90.B60AC20（3）b20，A60，a15.sinB ，b sinA a233233 1，无解.6020AC 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下
8、有一解一解,二解二解,无解无解?思考：思考：正弦定理正弦定理已知边已知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab正弦定理正弦定理ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACba一解一解a正弦定理正弦定理ABabCABabCABabCab 一解一解小结2.正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；（2）已知两边及其中一边的对角.(此时可能有一解、二解、无解）1.正弦定理 是解斜三角形的工具之一.asinAbsinBcsinC2R正弦定理正弦定理230 ABC中，（1）已知）已知c3，A45，B75，则则a_.（2）已知c2，A120，a23，则B_.（3）已知）已知c2，A45，a ，则，则 B_.26375或15探究课题引入时问题探究课题引入时问题(2)的解决方法的解决方法ABCbc解决问题解决问题