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1、第一章第一章 解三角形解三角形.B.C 新课导入新课导入. A复习三角形中的边角关系复习三角形中的边角关系180 CBAcbacba , 大角对大边大角对大边1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系（一）任意三角形中的边角关系（一）任意三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角（角C为直角）为直角） 1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系90 BA222cba 复习引入复习引入ABCabc探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？1sin,sin
2、,sinCcbBcaACcBbAasinsinsin 复习引入复习引入即直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关系,sin Aac ,sinCcc ,sin Bbc ,1sinccC所以所以 asinB=bsinA, 得到得到.sinsinBbAa.sinsinCcBb同理，在同理，在 ABC中，中，A B C cba 如图，当如图，当 ABCABC是锐角三角形时，是锐角三角形时，锐角三角形锐角三角形D 设边设边AB上的高是上的高是CD，根据三角函数的定义，根据三角函数的定义， CD=asinB, CD=bsinA,CcBbAasinsinsin 所以所以构造直角三角形构造直角三角形 探究论
3、证探究论证A B C cbaD 钝角三角形钝角三角形注意注意：同样是构造直角三角形来同样是构造直角三角形来解次这一问题。解次这一问题。CcBbAasinsinsin 所以所以BbAasinsin所以所以同理同理CcBbsinsin 探究论证探究论证BaCDsin)sin(AbAb sin 由以上推论可知：对于作何三角形而言，都有：由以上推论可知：对于作何三角形而言，都有：三角形各边和其所对角的正弦值之比相等三角形各边和其所对角的正弦值之比相等,即即CcBbAasinsinsin这这就是就是正弦定理正弦定理 归纳总结归纳总结CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和
4、它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦的比相等，即 归纳总结归纳总结1CCABCC1abcO如图:RCcCc2sinsin1RAaRBb2sin2sin，同理：()为外接圆半径即得：RRCcBbAa2sinsinsin 一题多证一题多证向量的数量积向量的数量积 ， 为向量为向量a 与与b 的夹角的夹角 cos|baba 如何构造向量及等式？如何构造向量及等式？jACB在在锐角锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC 则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ， j 与与 的夹角为的夹角为 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC AB怎样建
5、立三角形中边和角间的关系？怎样建立三角形中边和角间的关系？ABjCBACj )()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj AcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin 一题多证一题多证CcBbAasinsinsin 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？入单位向量？怎样取数量积？jACB在在钝角钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC 则有则有j 与与 的夹角为
6、的夹角为 ， j 与与 的夹角为的夹角为 . 等式等式 .90 ACBC 90ABCBAC AB同样可证得：同样可证得：CcBbAasinsinsin 一题多证一题多证CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦的比相等，即 总结归纳总结归纳正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ （1）已知）已知两角和任意一边两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；，可以求出其他两边和一角；（2）已知）已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的，可以求出三角形的
7、其他的边和角。边和角。注注：有了正弦定理，前面的有了正弦定理，前面的设问设问可就比较容易解决了。可就比较容易解决了。 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A，B，C，及其对边，及其对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫叫解三角形解三角形 。三角形的边和角我们也称为三角形的三角形的边和角我们也称为三角形的“元素元素”。解三角形：解三角形：_,3, 3,6,) 1 (aCcAcbaCBAABC则若所对的边分别为角中在 牛刀小试牛刀小试1（2）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） A
8、BC BbAaA.sinsin BbAaBcoscos. AbBaC.sinsin AbBaDcoscos. C3sin6sinca23321a1aBbAasinsin 例例1 在在 中，已知中，已知 ，求求 。ABC 45,24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 为锐角为锐角 30A 例题讲解例题讲解类型：类型：已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边或角。求其他边或角。注意：大边对大角注意：大边对大角! 例2：已知已知a=16， b= ， A=30 .求角求角B，C和边和边c。类型：类型：已知两
9、边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边或角。求其他边或角。解：BbAasinsin有231630sin316sinsinaAbB所以 60, 或120316由正弦定理 例题讲解例题讲解当 时，60C=90，.32cC=30，.16sinsinACac当120时，300ABC16316300ABC16316 例题讲解例题讲解注意：学会分类注意：学会分类! 课堂练习课堂练习解21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb 注意：注意：大边对大角大边对大角! 课堂练习课堂练习 课堂练习课堂练习2、 ABC中，已知中，已知a=20cm，b=20 cm,A=300,求求C。39030 或C答案：答案：1.正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin 课堂小结课堂小结2、 ABC中，已知中，已知a=20cm，b=20 cm,A=300,解三角形。解三角形。31、 在在 中，已知中，已知 ，求，求b. . ABC 30,45,10CAc 课后作业课后作业