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1、第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)第二章函数与导数第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.1函数的解析式、定义域、值域一、函数的定义设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于知识诠释思维发散第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就
2、称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.二、函数的表示法第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法.三、一般函数解析式的常见求法1.换元法;2.待定系数法;3.配凑法.四、函数的定义域第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科
3、)求函数定义域需要注意的地方:1.分式函数:分母不为0;2.偶次方根:被开方数为非负数;3.对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1;4.正切函数:y=tanx的定义域为x|xk+,kZ;5.对应法则下的整体取值范围一致,而定义域指的是自变量第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)的取值范围;6.含有参数时的定义域与参数的取值范围相对应;7.实际问题:根据实际情况确定自变量的取值范围.五、常见函数的定义域与值域第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考
4、第一轮复习用书数学数学(理科理科)函数类型解析式定义域值域一次函数y=kx+b(k0)RR二次函数y=ax2+bx+c(a0)R当a0时,值域为,+);当a0,b0)x|x0(-,-22,+)指数函数y=ax(a0且a1)R(0,+)第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)对数函数y=logax(a0且a1)(0,+)R正、余弦函数y=sinx,y=cosxR-1,1正切函数y=tanxx|xk+,kZR第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮
5、复习用书数学数学(理科理科)1.已知函数f(x)=若ff(1)=4a,则实数a等于()(A).(B).(C)2.(D)9.【解析】f(1)=1+1=2,ff(1)=f(2)=4+2a=4a,a=2.【答案】C第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.下列各组函数中,表示同一函数的是()(A)y=与y=.(B)y=x与y=.(C)y=与y=x+3.(D)y=1与y=x0.【解析】A中对应关系不一致,C、D中定义域不一致,只有B才符合要求.【答案】B第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析
6、式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)3.函数f(x)=lo(x2-2x+5)的值域是.【解析】x2-2x+5=(x-1)2+44,y=lox在0,+)上为减函数,f(x)lo4=-2,f(x)的值域为(-,-2.【答案】(-,-2第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)y=x-1与y=;y=与y=;y=4lgx与y=2lgx2;y=lgx-2与y=lg.核心突围技能聚合题型1函数的概念与解析式例1(1)下列四组函数中,表示同一个函数的是.(填序号)第二章第二章 2.1
7、函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)已知f(x+)=x2+,求函数f(x)的解析式.【分析】(1)判断函数的定义域与对应法则是否相同.(2)用配凑法求解析式.【解析】(1)因为y=x-1与y=|x-1|的对应法则不同,故不是同一个函数;y=(x1)与y=(x1)的定义域不同,故它们不是同一个函数;又y=4lgx(x0)与y=2lgx2(x0)的定义域不同,因此它们也不是同一个函数;而y=lgx-2(x0)与y=lg=lgx-2(x0)有相同的定义域与对应法则,故它们是同一个函数.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定
8、义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)f(x+)=x2+=(x+)2-2,x+2或x+-2,f(x)=x2-2(x2或x-2).【答案】(1)【点评】(1)两个函数的定义域与对应法则完全相同时才是同一个函数;(2)配凑法是以整体处理的方式进行配凑.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练1(1)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,求f(x)的解析式.(2)已知f(x)=,f(x)=4-x,求(x)的解析式.(
9、3)已知f(x)=f()lgx+1(x0),求函数f(x)的解析式.【解析】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=1,c=1,即f(x)=ax2+bx+1(a0).第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)把f(x)的表达式代入f(x+1)-f(x)=2x,有a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,2ax+a+b=2x,a=1,b=-1,f(x)=x2-x+1.(2)f(x)=,f(x)=4-x,5(x)=(4-x)(x)-12+3x,(1+x)(x)=-12+
10、3x,第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(x)=.(3)f(x)=f()lgx+1(x0),f()=f(x)lg+1,由可得f(x)=.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)题型2函数的定义域问题例2已知函数f(x)=loga(ax2+2x+1).(1)若a=,求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.【分析】(1)对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.(2)f(x)定义
11、域为R,则恒成立,第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】(1)a=,f(x)=lo(x2+2x+1),x2+2x+10,x-2+或x-2-.函数f(x)的定义域为(-,-2-)(-2+,+).(2)由题意可知恒成立,=4-4a1.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)实数a的取值范围为(1,+).【点评】本题需要用数形结合的思想解不等式,并需要对条件进行转化.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值
12、域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练2求函数f(x)=lg(ax-k2x)(a0且a2)的定义域.【解析】使函数f(x)有意义,则ax-k2x0,k()x,当k0时,k()x恒成立,函数f(x)的定义域为R;当时,klok,函数f(x)的定义域为(lok,+);当时,k()x,xlok,函数f(x)的定义域为(-,lok).第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例3已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0),满足条件f(2)=0,且
13、方程f(x)=x有两个相同的实根.(1)求f(x)的解析式.(2)是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域、值域分别为m,n和2m,2n?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.【分析】利用f(2)=0,且方程f(x)=x有两个相同的实根,可列出两个方程,解出a,b的值,解析式也就出来了;由于已知函数是题型3函数值域有关问题第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)二次函数,值域可求,需要判断m,n与对称轴的关系.【解析】(1)f(2)=0,4a+2b=0,b=-2a,f(x)=ax2-2a
14、x.方程f(x)=x有两个相同的实根,ax2-(2a+1)x=0有两个相同的实根,=(2a+1)2=0,a=-,f(x)=-x2+x.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)f(x)=-x2+x=-(x-1)2+,2n,n,又f(x)的对称轴为x=1,f(x)在m,n上为增函数,假设存在m,n满足条件,则有即第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)mn,存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域、值域分别为m,
15、n和2m,2n,此时m=-2,n=0.【点评】本题的易错点:第一把方程f(x)=x和f(x)=0混淆;第二是不能利用值域对n的取值范围进行分析,从而把问题复杂化.解题过程中使用了方程与讨论的思想,需要化归的能力.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练3已知函数y=的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.【解析】(1)依题意,当xR时,mx2-6mx+m+80恒成立.当m=0时,xR;当m0时,即第二章第二章 2.1 函数的解析式、定
16、义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)实数m的取值范围为0m1,综上,m的取值范围为0m1.(2)当m=0时,y=2;当0m1时,y=,ymin=.f(m)=(0m1).f(m)的值域为0,2.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.求函数的解析式虽然是一个小问题,但解决不了这个问题就等于解决不了后面的问题,故要对求函数的解析式倍加关注.2.求函数的定义域渗透在函数的各类问题中,特别要注意复合函数定义域的确定.对于含参数的函数求定义域的问题,或已知
17、定义域求参数的范围的问题,都要注意对参数的讨论.3.求函数最值与值域,其本质是相同的,解决此类问题的关键是记住基本函数的值域,熟悉不同结构特点的函数所适用的求值域的方法,此外还要注意求值域过程中定义域的约束作用,以及单调性的决定性作用.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例求函数y=的值域.【错解】y=,yx2+yx+6y=x2+x-1,(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0.方程是关于x的二次方程,它有实根的充要条件是=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0,第二章第二章 2.1 函数的解析式
18、、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)即(y-1)(23y+5)0,解得-y1.原函数的值域为y|-y1.【剖析】事实上,当y-1=0,即y=1时,方程不再是关于x的二次方程了,就不能再用判别式了.判别式存在的前提:一是二次项前的系数必须不等于零,二是函数的定义域必须是R.【正解】y=,第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0,当y-1=0,即y=1时,方程为7=0,不成立,故y1;当y-10,即y1时,=
19、(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0,即(y-1)(23y+5)0,解得-y1.综上,原函数的值域为y|-y1.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)基础角度思路一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)1.(基础再现)设f(x)=则f(f(2)等于()(A)2.(B)1.(C)-1.(D)-2.【解析】f(2)=lg21,f(f(2)=f(lg2)=10lg2=2.【答案】A第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理
20、科)2.(基础再现)下列图形中,不可能作为函数y=f(x)图像的是()【解析】在C图像中,一个x与两个函数值对应,故C不可能为函数图像.【答案】C第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)3.(视角拓展)若f(2x-1)=x2+1,则f(x)的解析式为()(A)f(x)=.(B)f(x)=.(C)f(x)=.(D)f(x)=.【解析】令2x-1=t,则x=,所以f(t)=()2+1=,即f(x)=.【答案】A第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一
21、轮复习用书数学数学(理科理科)4.(视角拓展)已知函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值为()(A)-1或3.(B)-1.(C)3.(D)以上都不对.【解析】由题知a=-1.【答案】B第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)5.(视角拓展)已知函数f(x)=x+(1x3),则函数f(x)的值域为()(A)(3,).(B)(2,).(C)2,).(D)2,3.【解析】函数f(x)=x+(1x3,2f(x).【答案】C第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值
22、域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(基础再现)函数f(x)=的定义域为.【解析】由题知-2x-或x0时,f(x)=(x+1)2-4-3;当x0时,f(x)=-x-4-4.f(x)的最小值为-4.【答案】-4第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)9.(高度提升)设函数f(x)=|4-x2|,若0ab,且f(a)=f(b),则ab的取值范围为.【解析】作出函数f(x)=|4-x2|的图像如图所示,由图可知0a2b.
23、f(a)=4-a2=f(b)=b2-4,即a2+b2=82ab,ab4,又0ab,0ab4.【答案】(0,4)第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)10.(基础再现)函数f(x)=-3.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域.【解析】(1)由题知-2x2+3x-10,(2x-1)(x-1)0,x1,函数f(x)的定义域为,1.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(
24、理科理科)(2)-2x2+3x-1=-2(x-)2+,0 .-3f(x)-3,函数f(x)的值域为-3,-3.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)11.(高度提升)已知函数f(x)=x2+4ax+2a+6.(1)若函数的值域为0,+),求a的值;(2)若f(x)0恒成立,求g(a)=-a|a+3|+2的值域.【解析】(1)由题知f(x)的开口向上,值域为0,+),=16a2-4(2a+6)=0,2a2-a-3=0,a=-1或a=.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值
25、域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)f(x)0恒成立,0,16a2-4(2a+6)0,2a2-a-30,-1a,g(a)=-a(a+3)+2=-a2-3a+2(-1a),g(a)的对称轴为a=-,开口向下,g(a)在-1,上是减函数,g(-1)=-1+3+2=4,g()=-+2=-.函数g(a)的值域为-,4.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)12.(高度提升)若函数f(x)=x2-ax满足对任意的x1,x20,1都有|f(x1)-f(x2)|2恒成立,求实数a的取值范围
26、.【解析】函数f(x)的图像的对称轴为x=,开口向上.当a0时,f(x)在0,1上是增函数,f(x)max=1-a,f(x)min=0,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=1-a2,-1a0.第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)当a2时,f(x)在0,1上是减函数,f(x)min=f(1)=1-a,f(x)max=f(0)=0,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=|f(0)-f(1)|=a-12恒成立,2a3.当0a2时,函数f(x)在0,a上是减函数,在a,1上是增函数,当0a0,f(0)=0,f(x)min=f()=-,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=1-a+2恒成立,得0a1;当1a2时,f(1)=1第二章第二章 2.1 函数的解析式、定义域、值域函数的解析式、定义域、值域高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)-a0,f(0)=0,f(x)min=,|f(x1)-f(x2)|2恒成立.0a2.综上,实数a的取值范围为-1,3.