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1、第二章函数第一节：函数解析式、定义域、值域常考题型：选择题分值：5分（一道）难度：中低档2第一节：函数解析式、定义域、值域考点一：函数的概念考点一：函数的概念3第一节：函数解析式、定义域、值域4第一节：函数解析式、定义域、值域C5第一节：函数解析式、定义域、值域C6函数定义域的类型和求法1.当函数是整式时例如 那么函数的定义域是实数集R。2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x0。5.对数的真数必须大于零。6.对数的底数满足大于零且不等于1。求函数定义域注意以下几点：一、常规型即给出
2、函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。例1求函数 的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足 由解得x-3或x5 由解得x5或x-11 由和求交集得x-3且x-11或x5 故所求函数的定义域为x|x-3且x-11x|x5。(-2,-11,2)(2x4且x3（1/2,1X1/10,且x1）二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域。其解法是:已知f(x)的定义域是a,b求
3、fg(x)的定义域是解ag(x)b,即为所求的定义域。例1 已知f(x)的定义域为2,2,求f(x2-1)的定义域。解：令-2x2-12，得-1x23，即0 x23，因此，从而 故函数的定义域是（2）已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例2 已知f(2x+1)的定义域为1,2,求f(x)的定义域。解：因为1x2,22x4,32x+15.即函数f(x)的定义域是x|3x5。(3)已知f(2x-1)的定义域是0,1,求f(3x)的定义域。解:因为0 x1,02x2,-12
4、x-11.所以函数f(3x)的定义域是-13x1即 x|-1/3x1/3。例3 已知函数 的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m0，使一切xR都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当m0时，mx2-6mx+8+m0是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是 综上可知0m1。注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。例4 已知函数 的定义域是R，求实数k的取值范围。解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+30恒成立,因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根当k0
5、时，=16k2-43k0恒成立，解得 当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k的取值范围是 四.实际问题型:函数的定义域除满足解析式外,要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。例5 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解:设矩形一边为x,则另一边长为 于是可得矩形面积由问题的实际意义，知函数的定义域应满足故所求函数的解析式为,定义域为(0,)常用的求函数的值域的方法有以下几种：1.直接法2.配方法3.换元法4.判别式法5.分离系数法6图像法1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数
6、的值域。例例1：求函数：求函数 的的值域域二、配方法：形如形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数常用配方法求的函数常用配方法求函数的函数的值域域,要注意要注意 f(x)的取的取值范范围.例例2(1)求函数求函数 y=x2+2x+3 在下面在下面给定定闭区区间上的上的值域域:-4,-3;-4,1;-2,1 三：换元法通通过代数代数换元法或者三角函数元法或者三角函数换元法元法,把无把无理函数化理函数化为代数函数来求函数代数函数来求函数值域的方法域的方法(关注新元的取关注新元的取值范范围).例例3 求函数求函数 的的值域域:注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题
7、的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。y=x-x-1 3、求下列函数的值域：、求下列函数的值域：（1）y=x+解：设解：设 t=则则 x=1 t 2 且且 t 0 y=1 t 2+t xyo1由图知：由图知：故函数的值域为故函数的值域为（2）y=2x 3+解：设解：设 t=xyo由图知：由图知：故函数的值域为：故函数的值域为：四、判四、判别式法式法例例4 求函数求函数 y=的值域的值域.主要适用于形如主要适用于形如 y=(a,d不同时为零不同时为零)的函数的函数(最好是满足分母恒不为零最好是满足分母恒不为零).ax2+bx+c dx2+ex+f 能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C
8、(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域.求函数求函数 y=的值域的值域解：由题知解：由题知 x R，则有，则有2yx 2+2yx+y=x 2 2x 3(2y 1)x 2+2(y+1)x+(y+3)=0故函数的值域为故函数的值域为 4，1 例例5、求下列函数的值域、求下列函数的值域:(1)y=解：由解：由故函数的值域为故函数的值域为分离常数法-可将其分离出一个常数练习求下列函数的值域练习求下列函数的值域(1)y=3x+2(-1x1)(2)解解:(1)-33x3-13x+25 即即-1y5 值域值域是是-1，5y=-1x1解解:(2)y1即函数的即函数的值域值域是
9、是 y|y R且且y 1 求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）y=（2）y=（3）y=x2+4x+3 (-3x1x1)（4）y=3-2x-x2 x-3,1变式变式:(1)求函数求函数 的值域的值域(2)求函数求函数 ,x 3,5 的值域的值域（5）、求下列函数的值域）、求下列函数的值域:（1）y=|x+1|1 x|解：由解：由 y=|x+1|x 1|当当 x 1 时，时，y=(x+1)+(x 1)=2当当 1 x 1 时，时，y=(x+1)+(x 1)=2x当当 x 1 时，时，y=(x+1)(x 1)=2xy1122o由图知：由图知：2 y 2故函数的值域为故函数的值域为 2，3 第一
10、节：函数解析式、定义域、值域35 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.二、求函数解析式的常用方法有：一、函数的解析式:(1)代入法(2)待定系数法(3)换元法(4)配凑法(5)方程组法例例1（1）代入法（1）代入法设 求例2 已知一次函数yf(x)，f(1)1，f(-1)-3，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(3)（2）待定系数法思路分析：一次函数的一般形式，根据题设条件求待定系数即可1.已知一次函数已知一次函数f(x)满足足ff(x)4x6，则f(x)_.2.已知二次函数已知二次函数f(x)满足足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求，求该二次函数的解析式二次函数的解析式（3）换元法适合：已知fg(x)的解析式,求f(x).换元法例3 已知 求 ，（4）拼凑法例4.已知函数f(x1)x22x，求f(x)_.l解：因为 f(x1)=x22xl (x22x1)(4x4)3l (x1)24(x1)3，l 所以f(x1)(x1)24(x1)3，l 即f(x)x24x3.(换元法)令x1t，则xt1，可得f(t)(t1)22(t1)t24t3，即f(x)x24x3.例5 已知，求解：由解得消元法（5）方程组法适合:同时含有1.已知求f(x)的解析式.解：1.已知反比例函数f(x),满足f(3)6，求f(x)的解析式.巩固作业