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1、2.3 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和1.1.通过教学使学生理解等差数列的前通过教学使学生理解等差数列的前n n项和公式的推导过项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题；程，并能用公式解决简单的问题；2.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想思想 重点：重点：等差数列的前等差数列的前n n项和公式的推导和应用项和公式的推导和应用 难点：难点：获得推导公式的思路获得推导公式的思路等差数列：等差数列：公公 差：差：
2、通项公式：通项公式：等差中项：等差中项：重要性质重要性质:注意：注意：这里这里m,n,p,qm,n,p,q N N*.a an+1n+1-a-an n=d=d（常数）（常数）d da an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d2A=2A=a+ba+b(1)(1)a an n=a am m+(n-m)d+(n-m)d(2)(2)当当m+nm+n=p+qp+q时时a am m+a+an n=a ap p+a+aq q高斯高斯(1777(177718551855）德国著名数学家德国著名数学家1+2+3+1+2+3+98+99+100=+98+99+100=？高斯高斯1010岁时曾很快算出这一
3、结果，岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？如何算的呢？我们先看下面的问题我们先看下面的问题.1+2+3+100=?下面再来看下面再来看1+2+3+1+2+3+98+99+100+98+99+100的高斯算法的高斯算法.设设S S100100=1+2+3+=1+2+3+98+99+100+98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+=100+99+98+3+2+1+3+2+1+作作加加法法+作作加加法法多少个多少个101?101?100100个个1011012S100=101+101+101+101+101+101/+作作加加法法所以所以S S100100=(1+100)
4、(1+100)100100？首首项项尾尾项项？总总和和？项项数数这就是等差这就是等差数列前数列前n n项项和的公式！和的公式！=5050=5050+得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an n+a+a1 1)以下证明以下证明aan n 是等差数列，是等差数列，S Sn n是其前是其前n n项和，则项和，则证：证：S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n即即S Sn n=a a1 1an+a+a2 2+a+an
5、-1n-1+a a3 3a an-2n-2+2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+)+(a+(a1 1+a+an n)多少个(a1+an)?共有共有n n个个(a1+an)由等差数列的性质：由等差数列的性质：当当m+nm+n=p+qp+q时，时，a am m+a+an n=a ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a an n+a+a1 1，所以所以式可化为：式可化为：=n n(a(a1 1+a+an n)这种求和的方这种求和的方法叫倒序相加法叫倒序相加法！
6、法！因此，因此，等差数列的前等差数列的前n n项和公式的其它形式项和公式的其它形式例例1 20001 2000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学实施关于在中小学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网学建成不同标准的校园网.据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校校通校通”工程的经费为工程的经费为500500万元万元.为了保证工程的顺利实施，为了保证工程的顺利实施，
7、计划每年投入的资金都比上一年增加计划每年投入的资金都比上一年增加5050万元万元.那么从那么从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是工程中的总投入是多少？多少？解：解：根据题意，从根据题意，从2001-20102001-2010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校通校校通”工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加5050万元万元.所以，可以建立一个所以，可以建立一个等差数列等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入的资金，其中年起各年投入的资金，其中 本题的设计意图：本题的设计意图：培养学生的阅读能力
8、，引导学生从中提取有效信息培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈学反馈.例例2 2 已知一个等差数列已知一个等差数列 前前1010项的和是项的和是310310，前，前2020项项的和是的和是1220.1
9、220.由这些条件能确定这个等差数列的前由这些条件能确定这个等差数列的前n n项和项和的公式吗？的公式吗？分析：分析：将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和的公式后，可得项和的公式后，可得到两个关于到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以求得的二元一次方程，由此可以求得 与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式.技巧方法：技巧方法：此例题，目的是建立等差数列前此例题，目的是建立等差数列前n n项和与项和与解方程组之间的联系解方程组之间的联系.已知几个量，通过已知几个量，通过解方程组，得出其余的未知量解方程组，得出其余的未知量.让我们归让我们归纳一下！纳一下！说明：两个求和公式的使用说明：两个求和公式的使用-知三求一知三求一.要使山谷肥沃，就得时常栽树。我们应该注意培养人才。约里奥居里