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1、2.2.2等差数列的前等差数列的前n项和项和中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学 如图堆放一堆钢管，最上一层放了如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，根，下面每一层比上一层多放一根，共下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆层，这堆钢管共有多少根？钢管共有多少根？这堆钢管从上到下的数这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。量组成一个等差数列。其中其中a1=4，公差，公差d=1.最下一层中最下一层中a8=11。即求即求4+5+6+11=?我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根根.因此
2、钢管的总数是因此钢管的总数是(4+11)82=60(根根)这种算法对于等差数列前这种算法对于等差数列前n项和的计算具有一般性项和的计算具有一般性。等差数列的前等差数列的前n项和公式推导项和公式推导等差数列等差数列an中，中，a1，a2，a3，an，的公差为的公差为d.Sn=a1a2 a3 an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)dSn=anan1 an2 a1=an+(and)+(an2d)+an(n1)d两式相加得两式相加得即即 这就是说，等差数列的前这就是说，等差数列的前n项和等于项和等于首首末两项的和与项数乘积的一半末两项的和与项数乘积的一半。公式中代入等差数列的通项公式
3、公式中代入等差数列的通项公式得到得到例例1等差数列等差数列an的公差为的公差为2，第，第20项项a20=29，求前求前20项的和项的和S20.解：因为解：因为29=a1+192，解得，解得a1=9，所以所以 例例2已知数列已知数列an的前的前n项和公式为项和公式为Sn=2n230n （1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；公式；（2）求使得）求使得Sn最小的序号最小的序号n的值。的值。解：（解：（1）将）将n1代入到数列的前代入到数列的前n项和公式，项和公式，得得Sn1=2(n1)230(n1)，因此因此an=SnSn1=4n32，(n2)，当当n=1
4、时，时，a1=S1=230=28，也适合上式，也适合上式，所以这个数列的通项公式是所以这个数列的通项公式是an=4n32。（2）因为）因为 又因为又因为n是正整数，是正整数，所以当所以当n=7或或=8时，时，Sn最小，最小，最小值是最小值是112.对对Sn的深入认识的深入认识nanOan=4n14已知一个等差数列已知一个等差数列an=4n14 它是一个关于它是一个关于n的一次的一次函数，它的图象是在一条函数，它的图象是在一条直线上的若干点。直线上的若干点。nSnO6Sn=2n212n它的前它的前n项和是项和是 Sn=2n212n 这是一个关于这是一个关于n的二次函数，的二次函数，且二次函数的常
5、数项为且二次函数的常数项为0.反之若一个数列反之若一个数列an，它的前，它的前n项和的表达式是关于项和的表达式是关于n的二次的二次函数，且二次函数的常数项为函数，且二次函数的常数项为0，则这个数列是等差数列，则这个数列是等差数列它的图象是抛物线上的若干点。它的图象是抛物线上的若干点。例例3李先生为今年上高中的儿子办理了李先生为今年上高中的儿子办理了“教育教育储蓄储蓄”，从，从8月月1日开始，每个月的日开始，每个月的1号都存入号都存入100元，存期三年：元，存期三年：（1）已知当年）已知当年“教育储蓄教育储蓄”存款的月利率为存款的月利率为2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多，问到期时，李先
6、生一次可支取本息共多少元？少元？（2）已知当年同档期的）已知当年同档期的“零存整取零存整取”储蓄的月储蓄的月利率是利率是1.725，问李先生办理，问李先生办理“教育储蓄教育储蓄”比比“零存整取零存整取”多收益多少元？多收益多少元？解：（解：（1）100元元“教育储蓄教育储蓄”存款的月利息是存款的月利息是1002.7=0.27（元），（元），第第1个个100元存元存36个月，得利息个月，得利息0.2736（元）（元）;第第2个个100元存元存35个月，得利息个月，得利息0.2735（元）（元）;第第36个个100元存元存1个月，得利息个月，得利息0.271（元），（元），此时李先生获得利息此时李
7、先生获得利息 0.27(1+2+3+36)=179.82(元元)，本息和为本息和为3600+179.82=3779.82元；元；（2）100元元“零存整取零存整取”的月利息为的月利息为 1001.725=0.1725（元），（元），存存3年的利息是年的利息是 0.1725(1+2+3+36)=114.885(元元)，因此李先生多收益因此李先生多收益 179.82114.885(120%)=87.912元元.答：李先生办理答：李先生办理“教育储蓄教育储蓄”比比“零存整零存整取取”多收益多收益87.912元元1.若数列的前若数列的前n项和为项和为 则数列（则数列（）(1)是公差为是公差为2的等差数
8、列的等差数列(2)是公差为是公差为5的等差数列的等差数列(3)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列(4)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列C练习：练习：2.在在等等差差数数列列an中中，a2+a4=p，a3+a5=q则则其其前前6项的和项的和S6为为()(A)5(p+q)/4 (B)3(p+q)/2 (C)p+q (D)2(p+q)B3.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a4=18 a5，则，则S8等于（等于（）A.18 B.36 C.54 D.72 D解法三：解法三：设设a1+a2+a10=A，a11+a12+a20=B，a21+a22+a30=C，则则A，B，C成等差数列，成等差数列，且且A=10，A+B=30,解得解得B=20，所以所以C=30，S30=A+B+C=60.