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1、变形监测数据处理变形监测数据处理第二章第二章 数理统计的有关理论数理统计的有关理论许承权30141842301418421363529107813635291078前言前言误差不可避免。误差不可避免。测量平差的两大任务：测量平差的两大任务：1、由一系列带有观测误差的观测值，依据某种最优、由一系列带有观测误差的观测值，依据某种最优化准则，求定未知量的最佳估值。化准则，求定未知量的最佳估值。2、评定测量成果的质量（精度评定）。、评定测量成果的质量（精度评定）。变形分析的的内涵就是如何从平静中找出变化，变形分析的的内涵就是如何从平静中找出变化，从变化中找出规律，由规律预测未来。从变化中找出规律，由规
2、律预测未来。变形监测数据处理变形监测数据处理v2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布2.1.4 泰勒级数2.1.5 误差分布与精度指标2.1.6 协方差传播律及权2.1.7 最小二乘原理2.1.8 间接平差v2.2 2.2 假设检验原理与方法假设检验原理与方法v2.3 2.3 随机过程及其特征随机过程及其特征主要内容主要内容变形监测数据处理变形监测数据处理2.随机现象2.1.1.1 2.1.1.1 随机现象：自然界中有两类现象1.确定性现象每天早晨太阳从东方升起;水在标准大气压下加温到100oC沸腾;掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？一天内进入某超市的顾客数;某种型号电视机的寿
3、命;2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 2.1.2.1.1 1 随机变量的基本概念变形监测数据处理变形监测数据处理随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象同结果的现象称为随机现象.特点特点：1.1.结果不止一个结果不止一个;2.2.事先不知道哪一个会出现事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为定的规律性，这种规律性称之为统计规律性统计规律性.偶然误差偶然误差2.1.1 随机变量的基本概念2.1 2.1
4、 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理若随机变量若随机变量 X X 可能取值的个数为可能取值的个数为有限个有限个或或 可列个可列个，则称，则称 X X 为为离散离散随机变量随机变量.若随机变量若随机变量 X X 的可能取值的可能取值充满充满某个区间某个区间 a a,b b，则称，则称 X X 为为连续连续随机变量随机变量.两类随机变量两类随机变量2.1.2.1.1 1 随机变量的基本概念2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理直观定义直观定义 事件事件A A 出现的可能性大小出现的可能性大小.统计定义统计定
5、义 事件事件A A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率.2.1.1.2 2.1.1.2 概率概率的定义及其确定方法的定义及其确定方法2.1.2.1.1 1 随机变量的基本概念随机变量的基本概念2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行.进行n次重复试验，记 n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.2.1.2.1.1 1 随机变量的基本概念2.1.1.2 2.1.
6、1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理 1 1、设、设X X为一个随机变量，对任意实数为一个随机变量，对任意实数 x x，称，称 F F(x x)=)=P P(X X x x)为为 X X 的的（累积累积）分布函数）分布函数.基本性质基本性质：(1)(1)F F(x x)单调不降；单调不降；(2)(2)有界：有界：0 0 F F(x x)1 1，F F()=0 0，F F(+)=1 1；(3)(3)右连续右连续.2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布随机变量的概率分布2.1 2.1 随机
7、变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 1、连续随机变量的分布列、连续随机变量的分布列变形监测数据处理变形监测数据处理2 2、离散随机变量的分布列、离散随机变量的分布列设离散随机变量设离散随机变量 X X 的可能取值为：的可能取值为：x x1 1，x x2 2，x xn n，称称 p pi i=P P(X X=x xi i)，i i=1,2,=1,2,为为 X X 的的分布列分布列.分布列也可用表格形式表示：分布列也可用表格形式表示：Xx1x2xnPp1p2pn2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理
8、分布列的基本性质分布列的基本性质 (1)(1)p pi i 0 0，(2)(2)(正则性)(非负性)2 2、离散随机变量的分布列、离散随机变量的分布列2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理注注 意意 点点 (1)(1)求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.2 2、离散随机变量的分布列、离散随机变量的分布列2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理注注 意意 点
9、点 (2)(2)对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.2 2、离散随机变量的分布列、离散随机变量的分布列2.1.2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理例例2.1.12.1.1已知已知 X X 的分布列如下：的分布列如下：X012P1/31/61/2求 X 的分布函数.解：2 2、离散随机变量的分布列、离散随机变量的分布列2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分
10、布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理3 3、连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数连续随机变量连续随机变量X X的可能取值充满某个区间的可能取值充满某个区间 (a a,b b).).因为对连续随机变量因为对连续随机变量X X，有，有P P(X X=x x)=0)=0，所以所以无法无法仿离散随机变量用仿离散随机变量用 P P(X X=x x)来描述连续来描述连续随机变量随机变量X X的分布的分布.2.1.2 随机变量的概率分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理定义：定义：设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函
11、数为F(x),则称则称X 为为连续随机变量连续随机变量，若存在非负可积函数若存在非负可积函数 p(x)，满足：满足：称称p(x)为为概率密度函数概率密度函数，简称，简称密度函数密度函数.2.1.2 随机变量的概率分布3 3、连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理密度函数的基本性质密度函数的基本性质满足满足(1)(2)的函数都可以看成某个的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数.(非负性非负性)(正则性正则性)2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布3 3、连续随机变
12、量的密度函数连续随机变量的密度函数2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理注意点(1)(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布3 3、连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理(4)PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=F(b)F(a).注意点(2)2.1.2.1.2 2 随机变量的概率分布3 3、连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数2.1 2.1 随机变
13、量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理连续型1.密度函数X p(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(a0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.1.3.1 2.1.3.1 正态分布正态分布2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布yxO2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理正态分布的性质(1)p(x)关于 是对称的.在 点p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若固定,改变,p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲
14、线越平坦;越小曲线越陡峭.2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布p(x)x0小大2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理(x)的计算(1)x 0时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则P(|X|a)=P(aXa)=(a)(a)=(a)1(a)=2(a)12.1.3 数理统
15、计中几个常用的抽样分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理一般正态分布的标准化定理设X N(,2),则Y N(0,1).推论:若XN(,2),则2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理正态分布的 3 原则设X N(,2),则P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3)=0.9973.（极限误差）2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理2
16、.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布 2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布 2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布 2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 变形监测数据处理变形监测数据处理 2.1 2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布补充：补充：Matlab数据统计处理数据统计处理1.1最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数
17、的调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。变形监测数据处理变形监测数据处理(2)y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。例求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量x中的最大值y,l=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置变形监测数据处理变形监测数据处理2求矩阵
18、的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2)Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。(3)max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。变形监测数据处理变形监测数据处理3两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1)U=max
19、(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。(2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。变形监测数据处理变形监测数据处理1.2求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。变形监测数据处理变形监测数据处理prod
20、(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。变形监测数据处理变形监测数据处理1.3平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X的算术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A
21、的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。变形监测数据处理变形监测数据处理1.4累加和与累乘积在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X
22、)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。变形监测数据处理变形监测数据处理1.5标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)
23、返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。变形监测数据处理变形监测数据处理2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵
24、。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。变形监测数据处理变形监测数据处理例生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)变形监测数据处理变形监测数据处理变形监测数据处理变形监测数据处理一、偶然误差的特性一、偶然误差的特性观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表
25、示表示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用表示。表示。几个概念几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li表表示。示。变形监测数据处理变形监测数据处理1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：变形监测数据处理变形监测数据处理1、方差、方差/中误差中误差f(
26、)00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标方差：方差：中误差：中误差：提示：提示：越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。变形监测数据处理变形监测数据处理方差的估值：二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标变形监测数据处理变形监测数据处理2、平均误差、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。与中误差的关系：与中误差的关系：二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标变形监测数据处理变形监
27、测数据处理3、或然误差、或然误差f()0闭合差50%二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标变形监测数据处理变形监测数据处理4、极限误差、极限误差5、相对误差、相对误差中误差与观测值之比，一般用中误差与观测值之比，一般用表示。表示。二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标变形监测数据处理变形监测数据处理三、协方差传播律三、协方差传播律（一）协方差（一）协方差对于变量对于变量X，Y，其协方差为：其协方差为：变形监测数据处理变形监测数据处理表示表示X、Y间互不相关，对于正态分布间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。而言，相互独立。表示表示X、Y间相关间相关三、协方差传播律三、协方差传播律变形监测数据处理
28、变形监测数据处理对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其将其元素间的方差、协方差阵表示为：元素间的方差、协方差阵表示为：矩阵表示为：矩阵表示为：方差方差-协方差阵协方差阵三、协方差传播律三、协方差传播律变形监测数据处理变形监测数据处理特点特点：I对称对称II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，为等精度观测。对角元素相等时，为等精度观测。三、协方差传播律三、协方差传播律变形监测数据处理变形监测数据处理若：若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。三、协方差传播律三、协方差传播律变形监测数据处理变形
29、监测数据处理（二）观测值线性函数的方差（二）观测值线性函数的方差已知：那么：变形监测数据处理变形监测数据处理各分量两两独立时各分量两两独立时:（二）观测值线性函数的方差（二）观测值线性函数的方差变形监测数据处理变形监测数据处理（三）多个观测值线性函数的协方差阵（三）多个观测值线性函数的协方差阵已知：可写为：变形监测数据处理变形监测数据处理（三）多个观测值线性函数的协方差阵（三）多个观测值线性函数的协方差阵变形监测数据处理变形监测数据处理（三）多个观测值线性函数的协方差阵（三）多个观测值线性函数的协方差阵两个函数的互协方差阵两个函数的互协方差阵Y关于Z的互协方差阵：变形监测数据处理变形监测数据处
30、理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(
31、逐项求导逐项求导,积积分等分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰求函数的泰勒展开式勒展开式.间接法的优点间接法的优点:比直接展开更为简洁比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非的非线性函数：线性函数：已知：假设X有
32、近似值：变形监测数据处理变形监测数据处理将Z按台劳级数在X0处展开：（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理令：则：（四）非线性函数的情况（四）非线性函数的情况变形监测数据处理变形监测数据处理（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵变形监测数据处理变形监测数据处理（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵变形监测数据处理变形监测数据处理（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵变形监测数据处理变形监测数据处理协方差传播律应用步骤协方
33、差传播律应用步骤:v根据实际情况确定观测值与函数根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出具体表达式v写出观测量的协方差阵写出观测量的协方差阵v对函数进行线性化对函数进行线性化v协方差传播律应用协方差传播律应用变形监测数据处理变形监测数据处理四、权与定权的常用方法v权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表定的误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值征精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值之间的精度，除了可以应用方差之外，还可以通过之间的精度，除了可以
34、应用方差之外，还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低，这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字低，这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征称为权，特征称为权，所以权是表征精度的相对的数字指标。所以权是表征精度的相对的数字指标。变形监测数据处理变形监测数据处理四、权与定权的常用方法权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可作为衡量精度的标准。如有一组观测值时等量上可作为衡量精度的标准。如有一组观测值时等精度的，那么，在平差时，应该将它们同等对待，精度的，那么，在平差时，应该将它们
35、同等对待，因此说这组观测值是等权的，而对于一组不等精度因此说这组观测值是等权的，而对于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易理解，的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重，或，或者说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等者说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等精度的观测值应给予不同的权。精度的观测值应给予不同的权。变形监测数据处理变形监测数据处理一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。四、权与定权的常用方法变形监测数据处理变形监测数据处理（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比
36、较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。四、权与定权的常用方法变形监测数据处理变形监测数据处理二、单位权中误差三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权或四、权与定权的常用方法变形监测数据处理变形监测数据处理2、边角定权、边角定权四、权与定权的常用方法变形监测数据处理变形监测数据处理五、五、协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵变形监测数据处理变形监测数据处理变换形式为：QXX为协因数阵不难得出：五、五、协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律变形监测数据处理变形监测数据处理特点特点：I对称，对角元素为权倒数对称
37、，对角元素为权倒数II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。为等精度观测，单位阵。五、五、协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律变形监测数据处理变形监测数据处理二、权阵与协因数阵二、权阵与协因数阵五、五、协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律变形监测数据处理变形监测数据处理数学模型数学模型函数模型函数模型随机模型随机模型六、六、参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理随机模型：随机模型：变形监测数据处理变形监测数据处理为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑
38、平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：为例：条件的个数条件的个数r=n-t n n。所以误差方程有无穷组解。而满足所以误差方程有无穷组解。而满足 解只有一组。由于向
39、量解只有一组。由于向量V V是向量是向量 的函数，按数学的函数，按数学上求自由极值的方法有：上求自由极值的方法有：七、间接平差七、间接平差变形监测数据处理变形监测数据处理转置后得：转置后得：将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V V，得得因为因为 ，所以上式有，所以上式有唯一解。唯一解。即为法方程。即为法方程。七、间接平差七、间接平差变形监测数据处理变形监测数据处理令令
40、则则 由上式解出参数由上式解出参数 后，代入误差方程可得到改正数后，代入误差方程可得到改正数V V。进而可求得观测值的平差值：进而可求得观测值的平差值：七、间接平差七、间接平差变形监测数据处理变形监测数据处理1 1、根据平差问题的性质，选择、根据平差问题的性质，选择 t t 个独立量作为个独立量作为参数；参数；2 2、列出误差方程；、列出误差方程；3 3、组成法方程；、组成法方程；4 4、解算法方程；、解算法方程；5 5、计算改正数、计算改正数V V；6 6、计算观测值的平差值计算观测值的平差值（二）、间接平差的计算步骤二）、间接平差的计算步骤变形监测数据处理变形监测数据处理 间接平差的关键是
41、列误差方程，而列误差间接平差的关键是列误差方程，而列误差方程的关键是选择待估参数（未知数）。方程的关键是选择待估参数（未知数）。1、待估参数的个数 在间接平差中，在间接平差中，待估参数的个数等于必要观待估参数的个数等于必要观测的个数测的个数t t。2、待估参数的选择 原则：a a、所选取所选取t t个待估参数必须相互独立；个待估参数必须相互独立；b b、所选取所选取t t个待估参数与观测值的函数关系容个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。易写出来。（三）、误差方程（三）、误差方程变形监测数据处理变形监测数据处理3、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立（1）、水准网 在水准网平差中，通常选
42、在水准网平差中，通常选t t个待定点的高程平差值作个待定点的高程平差值作为待估参数。这样选为待估参数。这样选 既足数，又独立，既足数，又独立，而且容易写出参数而且容易写出参数 与观测值之间的函与观测值之间的函 数关系。如图，选数关系。如图，选 变形监测数据处理变形监测数据处理于是有：于是有：令令 式中：式中：变形监测数据处理变形监测数据处理例例:水准网如图所示，已知水准网如图所示，已知 =5.000m=5.000m，=3.953m=3.953m，=7.650m=7.650m。各点的近似高程为：各点的近似高程为：观测值见下表，试列出误差方程。观测值见下表，试列出误差方程。(m)(m)123456
43、70.0501.1002.3980.2001.0003.4043.452(m)变形监测数据处理变形监测数据处理解：设解：设于是误差方程为：于是误差方程为：变形监测数据处理变形监测数据处理（2）、GPS网三维无约束平差 在在GPSGPS网三维无约束平差中，常常选某点网三维无约束平差中，常常选某点 i i作为参考点，则该作为参考点，则该点的三维坐标点的三维坐标 、可看作已知数据，其余各点作为待可看作已知数据，其余各点作为待定点。要确定一个点的空间位置，需要定点。要确定一个点的空间位置，需要X X、Y Y、Z Z三个坐标分量，设三个坐标分量，设GPSGPS网中的总点数为网中的总点数为m m个，则必要
44、观测数为个，则必要观测数为 ，因此，可选，因此，可选 个点的坐标平差值作为参数。个点的坐标平差值作为参数。如图，以如图，以A A点为参考点，即点为参考点，即 已知，已知，则则t t个参数为：个参数为：变形监测数据处理变形监测数据处理于是，误差方程为：于是，误差方程为：变形监测数据处理变形监测数据处理（3）、三角网 在三角网平差中，通常选在三角网平差中，通常选m m个待定点的坐标平差值个待定点的坐标平差值作为待估参数，即作为待估参数，即t t=2=2m m 。这样选，既足数，又独立，这样选，既足数，又独立，而且容易写出参数与观测而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般值之间的函数关系。一般
45、 地，角度观测值可由右图地，角度观测值可由右图 表示，于是有：表示，于是有：变形监测数据处理变形监测数据处理 例如右图所示的大地例如右图所示的大地 四边形，其必要观测四边形，其必要观测 数为数为4 4，图中待定点坐，图中待定点坐 标也是标也是4 4，故选：，故选：变形监测数据处理变形监测数据处理于是，误差方程为：于是，误差方程为：变形监测数据处理变形监测数据处理（4）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m m个待定点的个待定点的坐标平差值作为待估参数，即坐标平差值作为待估参数，即t t=2=2m m 。一般地，边长观测值可由下。一般地，
46、边长观测值可由下图表示，于是有：图表示，于是有：变形监测数据处理变形监测数据处理例如在下图，我们选例如在下图，我们选变形监测数据处理变形监测数据处理 于是，误差方程为：于是，误差方程为：变形监测数据处理变形监测数据处理（5）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数导线网为特殊的边角网，其必要观测数t t=2=2m m（m m为为待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类。可以先列角度误差方程：类。可以先列角度误差方程：再列边长误差方程：再列
47、边长误差方程：变形监测数据处理变形监测数据处理 由以上所列误差方程知，角度观测值的误差方程：由以上所列误差方程知，角度观测值的误差方程：边长观测值的误差方程：边长观测值的误差方程：都是非线性误差方程。平差前都必须先线性化。都是非线性误差方程。平差前都必须先线性化。（四）、非线性误差方程的线性化（四）、非线性误差方程的线性化变形监测数据处理变形监测数据处理线性近似方法进行线性化。角度观测值的误差方程：角度观测值的误差方程：令：令：将将变形监测数据处理变形监测数据处理在按台劳级数展开，取至一次项，得：在按台劳级数展开，取至一次项，得：式中：式中：变形监测数据处理变形监测数据处理注意：上式是相对与右
48、图中注意：上式是相对与右图中三点均为代定点导出的。三点均为代定点导出的。1 1、当图中、当图中j j点为已知点时，点为已知点时，由于已知点的改正数为零，由于已知点的改正数为零，即即于是，误差方程变为：于是，误差方程变为：变形监测数据处理变形监测数据处理2 2、当、当h h、k k两点为已知点时，由于两点为已知点时，由于则误差方程变为：则误差方程变为：变形监测数据处理变形监测数据处理3 3、当、当h h或或k k点为已知点时，误差方程变为：点为已知点时，误差方程变为：或或变形监测数据处理变形监测数据处理边长观测值的误差方程：边长观测值的误差方程：令：令：将将按台劳级数展开，取至一次项，得按台劳级
49、数展开，取至一次项，得式中：式中：变形监测数据处理变形监测数据处理注意：注意：1 1、若、若j j点为已知点，则上式变为：点为已知点，则上式变为：2 2、若、若k k点为已知点，则：点为已知点，则：变形监测数据处理变形监测数据处理1 1、单位权方差的估值、单位权方差的估值2 2、的计算的计算直接计算：直接计算：用常数项计算：用常数项计算：（五）、精度评定（五）、精度评定变形监测数据处理变形监测数据处理3 3、基本向量的协因数矩阵、基本向量的协因数矩阵间接平差中，基本向量为观测向量间接平差中，基本向量为观测向量L L，参数向量参数向量 ，改正数向量，改正数向量V V和观测值的平差值向量和观测值的
50、平差值向量 。令。令 变形监测数据处理变形监测数据处理由协因数传播律得：由协因数传播律得：变形监测数据处理变形监测数据处理展开得：展开得：于是：于是：变形监测数据处理变形监测数据处理4 4、待定点、待定点i i的点位中误差的点位中误差 的中误差：的中误差：的中误差：的中误差：i i点的点位中误差：点的点位中误差：变形监测数据处理变形监测数据处理5 5、参数估值函数的中误差、参数估值函数的中误差设参数估值的函数为：设参数估值的函数为：将上式全微分，得将上式全微分，得式中：式中：所以所以于是于是变形监测数据处理变形监测数据处理1 1、水准网如图，观测高差和路线长度为、水准网如图，观测高差和路线长度