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1、第二章第二章 工业机器人运动学工业机器人运动学1、齐次坐标及对象物的描述、齐次坐标及对象物的描述2、齐次变换及运算、齐次变换及运算3、工业机器人连杆参数及其、工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵齐次变换矩阵4、工业机器人运动学方程、工业机器人运动学方程 机器人实际上可认为是由一系列关节连接机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆所组成。我们把坐标系固连在机器起来的连杆所组成。我们把坐标系固连在机器的每个连杆关节上的每个连杆关节上,可以用齐次变换来描述这些可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置和方向。齐次变换具有坐标系之间的相对位置和方向。齐次变换具有较直观的几何意义较直观的几何意义,
2、而且可描述各杆件之间的关而且可描述各杆件之间的关系系,所以常用于解决运动学问题。所以常用于解决运动学问题。一、点的位置描述一、点的位置描述 在选定的直角坐标系在选定的直角坐标系AA中中,空间任一空间任一点点P P的位置可用的位置可用3131的位置矢量的位置矢量A Ap p表示表示,其其左上标代表选定的参考坐标系左上标代表选定的参考坐标系:2-1齐次坐标及对象物的描述齐次坐标及对象物的描述式中式中P PX X,P,PY Y,P,PZ Z是点是点P P在坐标系在坐标系AA中的三个位中的三个位置坐标分量置坐标分量,如图如图2-12-1所示。所示。二、齐次坐标二、齐次坐标 如用四个数组成的如用四个数组
3、成的(41)(41)列阵列阵 表示三维空间直角坐标系表示三维空间直角坐标系A中点中点p,则列阵则列阵Px Py Pz 1T称为三维空间点称为三维空间点P的齐次坐标。的齐次坐标。必须注意必须注意,齐次坐标的表示不是唯一的。我们齐次坐标的表示不是唯一的。我们将其各元素同乘一非零因子将其各元素同乘一非零因子w后后,仍然代表仍然代表同一点同一点P,即即式中：式中：a=w px;b=w py;c=w pz三、坐标轴方向的描述三、坐标轴方向的描述 如图如图如图如图2-22-2所示所示所示所示,i,j,ki,j,k分别是直角坐标系中分别是直角坐标系中分别是直角坐标系中分别是直角坐标系中X X、y y、Z Z
4、坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来描述描述描述描述X X、y y、Z Z轴的方向轴的方向轴的方向轴的方向,则则则则例例2.1 2.1 用齐次坐标写出图用齐次坐标写出图2-32-3中矢量中矢量u v wu v w的方向列阵。的方向列阵。动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述系各坐标轴方向的描述
5、系各坐标轴方向的描述系各坐标轴方向的描述,现以两个实例说明。现以两个实例说明。现以两个实例说明。现以两个实例说明。1.1.1.1.刚体位置和姿态的描述刚体位置和姿态的描述刚体位置和姿态的描述刚体位置和姿态的描述 机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态置和该刚体在空间的姿态置和该刚体在空间的姿态置和该刚体在空间的姿态,则这个刚体在空间上是完全确定的。则这个刚体在空间上是完全确定的。则
6、这个刚体在空间上是完全确定的。则这个刚体在空间上是完全确定的。四、动坐标系位姿的描述四、动坐标系位姿的描述四、动坐标系位姿的描述四、动坐标系位姿的描述 刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴方向来表示。令方向来表示。令n o a分别为分别为X、y、Z坐标轴的单位方向矢量坐标轴的单位方向矢量,每个单位方向矢每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系各量在固定坐标系上的分量为动坐标系各坐标轴的方向余弦坐标轴的方向余弦,用齐次坐标形式的用齐次坐标形式的(4X1)列阵分别表示为列阵分别表示为:n=nx因此,图2-4中刚体的位姿可用下面(44)矩阵来,描述：很明显很明显,对刚体
7、对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体位姿的描述就是对固连于刚体Q坐坐标系。标系。O xyz位姿的描述位姿的描述.例例2-2 图图2-5表示固连于刚体的坐标系表示固连于刚体的坐标系B位于位于OB点点,xb=10,yb=5,zb=0.Zb轴与画面垂直轴与画面垂直,坐标系坐标系B相对固定坐标系相对固定坐标系A有一个有一个30度的偏转度的偏转,试写出表示刚体位姿的坐标试写出表示刚体位姿的坐标系系B的（的（44）矩阵表达式。）矩阵表达式。1T所以,坐标系B的(44)矩阵表达式为 2.手部位置和姿态的表示手部位置和姿态的表示 机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐
8、标系部的坐标系B的位姿来表示的位姿来表示,如图如图2-6所示。所示。坐标系坐标系B可以这样来确定可以这样来确定:取手部的中心点为原点取手部的中心点为原点OB:关节轴为关节轴为ZB轴轴,ZB铀的铀的单位方向矢量单位方向矢量O称为接近称为接近矢量矢量,指向朝外指向朝外;二手指的二手指的连线为连线为yB后轴后轴,yB轴的单位轴的单位方向矢量。称为姿态矢量方向矢量。称为姿态矢量,指向可任意选定指向可任意选定,xB轴与轴与yB后铀及后铀及ZB轴垂直轴垂直,X后轴的后轴的单位方向矢量单位方向矢量n为法向矢量为法向矢量,且且n=oa,指向符合右手指向符合右手法则。法则。手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系B原原点的矢量点的矢量p,手部的方向矢量为手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的。于是手部的位姿可用（位姿可用（4X4）矩阵表示为）矩阵表示为五、目标物齐次矩阵表示五、目标物齐次矩阵表示五、目标物齐次矩阵表示五、目标物齐次矩阵表示如图如图如图如图2.82.8所示所示所示所示,楔块楔块楔块楔块QQ在图（在图（在图（在图（a a ）的情况下）的情况下）的情况下）的情况下,其其其其位置和姿态可用位置和姿态可用位置和姿态可用位置和姿态可用6 6个点描述个点描述个点描述个点描述,矩阵表达式为矩阵表达式为矩阵表达式为矩阵表达式为