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1、3.1.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念教学目标教学目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。教学重点教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。教学难点教学难点：复数及其相关概念的理解计数的需要计数的需要自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）表示相反意义的量表示相反意义的量解方程解方程x+3=1整数整数测量、分配中的等分测量、分配中的等分解方程解方程3 x=5有理数有理数度量的需要度量的需要解方程解方程x2=2实数实数解方程解方程x2=1NZQR自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）整数整数有理数有理数实数实数合情推理，
2、类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？中，该问题能得到圆满解决呢？思考？思考？引入一个新数：引入一个新数：规定规定规定规定 一元二次方程一元二次方程 在实数集在实数集范围内的解是范围内的解是？引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家数学家数学家数学家大胆引入大胆引入大胆引入大胆引入一个新一个新一个新一个新数数数数 i i ，把把把把 i i 叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单
3、位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：(1)(1)i i 2 2 2 21 1 1 1；(2)(2)实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算,在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分包括交换律、结合律和分包括交换律、结合律和分包括交换律、结合律和分配律配律配律配律)仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立.问题解决问题解决:现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，
4、把把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：（1）i21；（2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结包括交换率、结合率和分配率合率和分配率)仍然成立。仍然成立。形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.讲解新课讲解新课讲解新课讲解新课实部实部实部实部1.复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为
5、称为虚数单位虚数单位。讲解新课讲解新课讲解新课讲解新课说出下列复数的实部和虚部练一练复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论讨论讨论讨论？2.2.复数的分类：复数的分类：00 ba，非纯虚数=00 ba，纯虚数 0b虚数=0b实数虚数集虚数集复数集复数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集N Z Q R C1.1.说明下列数中，那些是说明下列数中，那些是实数实数，哪些是，哪些是虚虚数数，哪些是，哪些是纯虚数纯虚数，并指出复数的实部与，并指出复数的实部与虚部。虚部。5 +8，0 0例例1:实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 （1）实数？）实数？（2）虚数？（）
6、虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数(3)m=-2(3)m=-2(1)m=(1)m=(2)m(2)m 3.3.规定：规定：如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别分别相等相等，那么我们就说这那么我们就说这两个复数相等两个复数相等注：注：2)一般来说，两个复数只能说相等或不相一般来说，两个复数只能说相等或不
7、相等，而不能比较大小了等，而不能比较大小了.例例2:已知已知 ，其中其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得解题思考：解题思考：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想1 1、若、若x x，y y为实数，且为实数，且 求求x x，y.y.2.2.若若(2x(2x2 2-3x-2)+(x-3x-2)+(x2 2-5x+6)=0-5x+6)=0，求，求x x的的值值.x=2x=2当堂练习当堂练习1.a=0是复数是复数a+bi(a,bR）为纯虚数的）为纯虚数的（）A 必要条件
8、必要条件 B 充分条件充分条件 C 充要条件充要条件 D 非必要非充分条件非必要非充分条件2.以以3i-2的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的实部为虚部 的复数是的复数是 （）A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i3.若复数若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数a的的 值为值为 。4.复数复数4-3a-a2i与复数与复数a2+4ai相等，则实数相等，则实数a的的 值为值为 。1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部、虚部、虚部复数相等
9、复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数计数的需要计数的需要自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）表示相反意义的量表示相反意义的量解方程解方程 x+3=1整数整数测量、分配中的等分测量、分配中的等分解方程解方程 3 x=5有理数有理数度量的需要度量的需要解方程解方程 x2=2实数实数解方程解方程 x2=1NZQR复数复数？C 1.指出复数z的实部和虚部;2.实数m为何值时，（1）实数？（2）虚数？（3）零？（4）纯虚数？（5）负数？机动题机动题机动题机动题1、已知两个复数、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于大于2x+2+(y2-1)i试求实数试求实数x,y的取值范围的取值范围 唯物辨证法认为，唯
10、物辨证法认为，事物是发展变化的，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系更大的数系.数系每次扩充的基本原则：数系每次扩充的基本原则：第一，增加新元素；第一，增加新元素；第二，原有的运算性质仍然成立；第二，原有的运算性质仍然成立；第三，新数系能解决旧数系中的矛盾第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.复数的发展史
11、复数的发展史 虚数这种假设虚数这种假设,是需要勇气的是需要勇气的,人们在当人们在当时是无法接受的时是无法接受的,认为她是想象的认为她是想象的,不存在的不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位但这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研的假设研究究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学意大利有名的数学“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量诡辩量”.几乎过了几乎过了100年，年，笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一个名字取了一个名字虚数虚数但是又过了但
12、是又过了140年，年，欧拉欧拉还是说这种数只是存还是说这种数只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用（imaginary，即，即虚幻的缩写）来表示它的单位虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学后来德国数学家家高斯高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用用1830年，高斯详细论述了用直角坐标系年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数的复平面上的点表示复数，使复数有了立足，使复数有了立足之地之地,人们才最终承认了复数人们才最终承认了复数.到今天复数已到今天复数已经成为现代科
13、技中普遍运用的数学工具之一经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.CA1DB1ABCD1111EFBD2=2古老古老的问题的问题:“正方形的对角线是个正方形的对角线是个奇怪奇怪的数的数”BD =？关于无理数的发现关于无理数的发现 古希腊的古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为,世间任何数都世间任何数都可以用整数或分数表示可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条.有一天有一天,这个学派中的一个成员这个学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现突然发现边长边长为为1 1的正方形的对角线是个奇怪的数的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究于是努力研究,终于证明出它不能
14、用整数或分数表示终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕但这打破了毕达哥拉斯学派的信条达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外于是毕达哥拉斯命令他不许外传传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯毕达哥拉斯大怒大怒,要将他处死要将他处死.希伯斯连忙外逃希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住然而还是被抓住了了,被扔入了大海被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数希伯斯发现的这类数,被称为无理数被称为无理数.无理数的发现无理数的发现,导致了第一次数学危机导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡为数学的发展做出了重大贡献献.