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1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质一、复习回顾：一、复习回顾：.FM.抛物线标准方程抛物线标准方程1、抛物线的定义：、抛物线的定义：平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经不经过点过点F)的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线xyoF.xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索其的几何性质探索其的
2、几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的轴对称轴又叫抛物线的轴抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：二、讲授新课：.yxoF(4)离心率离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e e表表示，由抛物线的定义可知，示，由抛物线的定义可知，e=1e=1 只有一个顶点只有一个顶点方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlF
3、yxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔 图图.gsp（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：（标准方程中（标准方程中2
4、p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。基本点：顶点，焦点基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本线：准线，对称轴基本量：基本量：P（决定（决定抛物线开口大小）抛物线开口大小）XY抛物线的基本元素y2=2px 填空练习填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线的几何性质有什么特点？（1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；延伸，但没有渐近线；（
5、2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴，对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、个焦点、个焦点、条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111（5 5）一次项系数的绝对值越大，开口越）一次项系数的绝对值越大，开口越大大变式变式:顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.典型例题：典型例题：例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标顶点在坐标原点原点,并且过点并且过点M(2
6、,),求它的标准方程求它的标准方程.当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论可避免讨论xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦由已知得抛物线的焦点为点为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程的方程为为y=x-1xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两
7、点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法二解法二:由题意可知由题意可知,ABFA1B1H同理同理分析：运用分析：运用抛物线的定抛物线的定义和平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷比较简捷 变式：变式：过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切证明：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引垂引垂
8、线线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EHAA1M1MyxOFd1dd2探究探究4：H练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3 3、已知抛物线、已知抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F F，点，点P P1 1（x x1 1,y,y1 1)、P P2 2(x(
9、x2 2,y,y2 2)、P P3 3(x(x3 3,y,y3 3)在抛物线上，且在抛物线上，且|P|P1 1F|F|、|P|P2 2F|F|、|P|P3 3F|F|成等差数列，成等差数列，则有（则有（）A A B BC C D.D.y2=8x分析分析:直线与抛直线与抛物线有一个公共物线有一个公共点的情况有两种点的情况有两种情形：一种是直情形：一种是直线平行于抛物线线平行于抛物线的对称轴；的对称轴；另一种是直线与另一种是直线与抛物线相切抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程
10、得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离2、已知抛物线方程、已知抛物线方程y2=4x,当当b为何值时为何值时,直线直线l:y=x+b与与抛物线抛物线(1)只有一个公共点只有一个公共点(2)两个公共点两个公共点(3)没有公共点没有公共点.当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少的最大值是多少?xyBAFO解：因为直线解：因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为xyBAFOxyBAFO例例3在在抛
11、抛物物线线 y2=8x 上上求求一一点点P，使使P到到焦焦点点F 的的距距离离与与到到 Q(4，1)的距离的和最小，并求最小值。的距离的和最小，并求最小值。解：解：K练习练习1 1、抛物线、抛物线y=-xy=-x2 2上的点到直线上的点到直线4x+3y-4x+3y-8=08=0的距离的最小值是（的距离的最小值是（）作业：作业：1、抛物线、抛物线y2=x和圆和圆(x-3)2+y2=1上最近上最近的两点之间的距离是的两点之间的距离是()2、已知直线、已知直线y=x+b与抛物线与抛物线x2=2y交交于于A,B两点两点,且且OAOB(O为坐标原点为坐标原点),求求b的值的值.练习练习2:2:已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小中点纵坐标的最小值。值。FABM解：xoy解法二：xoyFABMCND练习练习2:2:已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小中点纵坐标的最小值。值。