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1、2022/11/2312.4抛物线的标准方程及抛物线的标准方程及简单的几何性质简单的几何性质2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学2课前复习课前复习：椭圆、双曲线的第二定义：椭圆、双曲线的第二定义：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数是常数e的点的的点的轨迹轨迹当当0e 1时，是椭圆，时，是椭圆，MFl0e 1lFMe1FMle=1当当e1时，是双曲线。时，是双曲线。当当e=1时，它又是什么曲线？时，它又是什么曲线？2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学3生活中生活中存在各种存在各种形式的形式的抛物线，请试着举例说明抛物线，请试
2、着举例说明2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学42022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学5 我们知道我们知道,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象是一条的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它还有哪些几何性么，抛物线到底有怎样的几何性质？它还有哪些几何性质？质？探究点探究点1 1 抛物线的定义抛物线的定义MHFE思考：思考：如图，点如图，点F F是定点，是定点，l是不是不经过点经过点F F的定直线的定直线.H.H是是l上任意一上任意
3、一点，经过点点，经过点H H作作MHMHl，线段，线段FHFH的的垂直平分线垂直平分线m m交交MHMH于点于点M.M.拖动点拖动点H H，观察点，观察点M M的轨迹的轨迹.你能发现点你能发现点M M满满足的几何条件吗？足的几何条件吗？m m2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学6一条经过点F且垂直于l 的直线抛物线的定义抛物线的定义:在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)距离相等距离相等的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做抛抛物线物线.MFl焦点d准线点点F叫做叫做抛物线的焦点抛物线的焦点,直线直线l 叫做叫做抛物线的准线抛物线的准线.想
4、一想：想一想：定义中当直线定义中当直线l 经过定经过定点点F F，则点，则点M M的轨迹是什么的轨迹是什么?lF 设设 点点建建 系系以过点以过点F F且垂直于直线且垂直于直线 l 的直线为的直线为x x轴轴,垂足为垂足为K.K.以以FKFK的中点的中点O O为坐标原点建为坐标原点建立直角坐标系立直角坐标系x xO Oy y.xKyOFMl（x,y）设设M M（x x，y y）是抛物线上任意一点，）是抛物线上任意一点，H点点M M到到l的距离为的距离为d dd由抛物线的定义，抛物线就是点的集合由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点探究点2 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程（p p0 0）
5、，），2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学8化化 简简列列 式式两边平方两边平方,整理得整理得xKyOFMl（x,y）Hd其中其中p p为正常数，它的几何为正常数，它的几何意义是意义是:焦点到准线的距离焦点到准线的距离方程方程 y y2 2=2=2pxpx（p p0 0）表示焦点在）表示焦点在x x轴正轴正半轴上的抛物线半轴上的抛物线2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学9 若若抛物线的开口分别朝抛物线的开口分别朝左、朝左、朝上、朝下上、朝下，你能根据你能根据上述办法求出它的标准方程吗？上述办法求出它的标准方程吗？抛物线的标准方程还有哪些不同形式抛物线的标准方程还有哪些不
6、同形式?FMlNyxFMlNHFMlNOFMlNxHyOxyoFMlNK开口开口向左向左开口开口向上向上xyoFMlNK开口开口向下向下xyoFMlNK2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学13准线方程焦点坐标标准方程焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)F
7、(-.2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学14（1 1）若一次项的变量为）若一次项的变量为X X（或（或Y Y），则焦点就在），则焦点就在X X轴轴（或（或Y Y轴）上；轴）上；如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2 2）一次项的系数的正负决定了开口方向）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！【提升总结提升总结】2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学15【例例1 1】(1)1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y y2 2=6 6x x,求它
8、的焦点坐标求它的焦点坐标和准线方程和准线方程 (2)(2)已知抛物线的焦点是已知抛物线的焦点是F(0,-2)F(0,-2)，求它的标准方程，求它的标准方程.解解:(1)(1)因为因为，故抛物线的焦点坐标为，故抛物线的焦点坐标为 ，准线准线方程为方程为 (2)2)因为抛物线的焦点在因为抛物线的焦点在y y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且故故所求抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为x x2 2=-8=-8y.y.例例题精精讲2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学161.1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)(1)焦点是（焦点是（0 0，-3-3）；
9、）；(2)(2)准线是准线是 .2.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x(1)y=8x2 2；(2)x(2)x2 2+8y=0.+8y=0.x2=-12yy2=2x焦点 ，准线焦点 ，准线【提升总结提升总结】(1)(1)用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程求抛物线标准方程,应应先确定抛物线的形式先确定抛物线的形式，再求再求p p值值.(2)(2)求抛物线的求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程抛物线的标准方程.【变式练习】2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学17【例例2 2】一种卫星接收天线
10、的轴截面如图一种卫星接收天线的轴截面如图(1)(1)所示所示.卫卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径已知接收天线的口径(直径直径)为为4.8m,4.8m,深度为深度为0.5m0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标的标准方程和焦点坐标.例例题精精讲2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学18,即即p=5.76.解：如图解：如图(2)，在接收天线的轴截面所在，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的平面内
11、建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是所以所以，所求抛物线的标准方程，所求抛物线的标准方程是是 ,焦点焦点坐标是坐标是（2.88，0）.由由已知条件可得，点已知条件可得，点A的坐标是的坐标是（0.5，2.4），代入方程得），代入方程得xyOAB(2)(2).F F2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学19平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l(l不经过点不经过点F)F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.一个定义：一个定义：两类问
12、题：两类问题：三项注意：三项注意：四种形式：四种形式：1.1.求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；2.2.已知方程求焦点坐标和准线方程已知方程求焦点坐标和准线方程.1.1.定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l不经过点不经过点F;F;2.2.p p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离；3.3.标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标坐标 轴轴的抛物线的抛物线.抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种：y y2 2=2px(p0),y=2px(p0),y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)，x x2 2=2py(p0),x
13、=2py(p0),x2 2=-2py(p0).=-2py(p0).2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学20作业：练习题作业：练习题1、2、32022/11/23212.4抛物线简单几何性质抛物线简单几何性质2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学22 抛物线有许多重要性质抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标我们根据抛物线的标准方程准方程研究它的一些简单几何性质研究它的一些简单几何性质.抛物线抛物线的简单几何性质的简单几何性质2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学231.1.范围范围 因为因为p0，由方程（，由方程（1）可知，对于）可知，对于抛物线抛物线（1）上
14、的点）上的点M(x，y)，x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y轴的右轴的右侧，开口方向与侧，开口方向与x轴正向相同轴正向相同;当当x的值增大时，的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸和右下方无限延伸2.2.对称性对称性 以以y代代y，方程，方程（1）不变，所以这条抛物线关于不变，所以这条抛物线关于x轴轴对称对称.我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线的轴2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学243.3.顶点顶点 抛物线抛物线和它的轴的交点叫做和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.在方在方程程（1
15、）中，当）中，当y=0时，时，x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1）的）的顶点就是坐标顶点就是坐标原点（原点（0,0）4.4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e表示由抛表示由抛物线的定义可知，物线的定义可知，e=12022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学25解：解：因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），所以，可设它的标（，），所以，可设它的标准方程为准方程为因为点因为点M M在抛物线
16、上，所以在抛物线上，所以因此因此,所求抛物线所求抛物线的的标准方程标准方程是是【例例1 1】已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点为轴对称，它的顶点为坐坐标原点标原点，并且经过点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程.即即p=2.p=2.例例题精精讲2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学26 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径.焦半径公式：焦半径公式：xyOFP5.5.焦半径焦半径2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学27对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分对于四种形式的
17、抛物线来说其焦半径的长分别为：别为：2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学28练习练习.已知抛物线已知抛物线y2=4x上的一点上的一点A，有，有 求求A点的坐标。点的坐标。xOyA(x0，y0)BF(1,0)-12022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学29xyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的弦弦ABAB，称为抛物线的，称为抛物线的通径通径.通通径是所有焦点弦中最短的弦径是所有焦点弦中最短的弦.抛物线草图的画法：抛物线草图的画法：利用利用抛物线的抛物线的顶点顶点、通通径径的两个端点可较准确的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线
18、基本特征的草图征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.6 6.通径通径2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学307.焦点弦焦点弦xOyABFxOyABF2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学31(4)xOyABF(6)(5)(7)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切以过焦点的弦为直径的圆和准线相切N2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学32(10)若若AO的延长线交准线于的延长线交准线于C，则，则BC平行平行于于x轴，反之，若过点轴，反之，若过点B平行于平行于x轴的直线交准线于点轴的直线交准线于点C，则，则A,O,C共线共线C2022/1
19、1/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学34练习练习1.已知过抛物线已知过抛物线y2=4x的焦点的焦点F的一条直线和抛的一条直线和抛物线相交于物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),（1）=.（2）若线段）若线段AB中点的横坐标为中点的横坐标为3，则，则 .练习练习2.已知过抛物线已知过抛物线y2=8x的焦点的焦点F且倾斜角为且倾斜角为45度的直线与抛物线相较于度的直线与抛物线相较于A,B两点，则两点，则(1)该直线被抛物线截得的弦长为：该直线被抛物线截得的弦长为：.(2).28162022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学35例例题精精讲分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直
20、线分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的的斜率为斜率为1 1，所以可以求出直线，所以可以求出直线l的方程；与的方程；与抛物线抛物线 的的方程联立，可以求出方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两两点的坐标；利用两点点 间间的距离公式可以求出的距离公式可以求出 AB.这种方法虽然这种方法虽然思路思路 简单简单，但是需要复杂的代数运算，但是需要复杂的代数运算.2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学36下面，我们介绍另外一种方法下面，我们介绍另外一种方法数形数形结合法结合法.x xy yO OF FA AB BB BA A 2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学
21、37题题点点线线lxyOFABBA2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学38还可以如何求x1+x2?2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学39答疑解惑答疑解惑2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学40镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学41多学多多学多练2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学42多学多多学多练2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学432022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学442022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学45多学多多学多练2022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学462022/11/23镶黄旗第一中学镶黄旗第一中学47