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1、第一节第一节 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质一、无穷级数的概念定义1 对于数列u1,u2,un,,用“+”号将其连接起来,得 u1+u2+un+,简记为 .称其为无穷级数,简称级数,称其第n项un为通项或一般项.无穷多项相加意味着什么?怎样进行这种“相加”运算?“相加”的结果是什么?定义2 称为级数 的前n项和(n=1,2,).简称部分和.由此可由无穷级数 ,得到一个部分和数列若 存在,则称级数 收敛,并称此极限值S为级数的和,记为 .若 不存在,则称级数 发散.定义3 若 收敛,则称为级数 的余项.定义4 若
2、中每项 皆为常数,则称 为常数项级数.若 且为常数,则称 为正项级数.若对于某些n,un可以取正值,对于另一些n,un 可以取负值,则称 为任意项级数.若 中至少有一项 为(非常数)函数,则称 为函数项级数.特别如果 ,则称 为幂级数.例1 试判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和因此所给级数 发散.例2 判定级数 的收敛性.解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1,则所给几何级数转化为例1,可知其发散.若 ,所给级数前n项和当|r|1时,因而 ,即级数 发散.当r=1时,其前n项和可知 不存在.因此 发散.综合上述,可知例3 判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和可知故所给级数
3、收敛,且和为1.二、级数的基本性质性质1 ()若级数 收敛,其和为S,又设k为常数,则 也收敛,且和为kS.()若 发散,且k0,则 必定发散.证 ()设 ,由于 收敛,因此应有 .由极限的性质可知即 收敛,且其和为kS.故 发散.()用反证法.若 设 收敛,则由()知 亦收敛,矛盾.例4 判定级数 的收敛性.解 由例2与性质1可知性质2 若 收敛,其和为S;收敛,其和为 ,则 必收敛,其和为 .例5 判定 的收敛性.解 注意到 与 皆为几何级数,其公比分别为 与 ,由例4可知 与 皆收敛,且由性质2可知 收敛,且其和为 .性质3 在 中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.证
4、在 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ,当项数给定之后,两者的部分和之差是一个常数,因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.性质3表明,级数 的收敛性,与其前面有限项无关,而是取决于n充分大以后的 的状况.例6 判定 的收敛性.解 级数 为等比级数,公比 ,由性质3可知性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛,且其和不变.证 若 收敛.任意添括号得到一个新级数,如第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于 ,所以 .因此即加括号之后所得新级数收敛,且和不变.注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如 (11)+(11)+(11)+收敛于0,但是去括号
5、后可得新级数为发散级数.(1)若 收敛,发散,则 必定发散.(2)若 发散,也发散,则 不一定发散.(3)若 发散,则 与 不一定都发散.(4)若添号之后的级数发散,则原级数必定发散.(5)若 发散,则添括号的新级数不一定发散.以下命题请给出证明或反例.性质5(级数收敛的必要条件)若 收敛,则必有证 这只需注意 .由于 收敛,因此 .有必要指出,这个性质的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零,并不一定能保证 收敛.由极限的运算可知例7 判定级数 的收敛.解 添括号得到新级数:取其前n项(每个括号内算一项),记其和为 ,则可见 ,即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛,由性质4知,添号以后级数亦必收敛,从而矛盾.级数称为调和级数.调和级数 的一般项 ,它满足 但 不收敛.利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知:若 或 不存在,则 必定发散.这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.例8 判定级数 的收敛性.解 所给级数的通项 ,可知 为发散级数.例9 选择题设级数 为收敛级数,则下列级数收敛的有()分析 由级数的基本性质1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质3可知C,D也收敛.综合之,本例应选A,C,D.由于 收敛,由性质4(级数收敛的必要条件)可知 ,因此 .由级数发散的充分条件可知 发散.即B不收敛.