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1、第一节第一节 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质一、无穷级数的概念定义1 对于数列u1,u2,un,，用“+”号将其连接起来，得 u1+u2+un+,简记为 .称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？定义2 称为级数 的前n项和(n=1,2,).简称部分和.由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .若 不存在，则称级数 发散.定义3 若 收敛，则称为级数 的余项.定义4 若
2、中每项 皆为常数，则称 为常数项级数.若 且为常数，则称 为正项级数.若对于某些n，un可以取正值，对于另一些n，un 可以取负值，则称 为任意项级数.若 中至少有一项 为(非常数)函数，则称 为函数项级数.特别如果 ，则称 为幂级数.例1 试判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和因此所给级数 发散.例2 判定级数 的收敛性.解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若 ，所给级数前n项和当|r|1时，因而 ，即级数 发散.当r=1时，其前n项和可知 不存在.因此 发散.综合上述，可知例3 判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和可知故所给级数
3、收敛，且和为1.二、级数的基本性质性质1 ()若级数 收敛，其和为S，又设k为常数，则 也收敛，且和为kS.()若 发散，且k0，则 必定发散.证 ()设 ，由于 收敛，因此应有 .由极限的性质可知即 收敛，且其和为kS.故 发散.()用反证法.若 设 收敛，则由()知 亦收敛，矛盾.例4 判定级数 的收敛性.解 由例2与性质1可知性质2 若 收敛，其和为S；收敛，其和为 ，则 必收敛，其和为 .例5 判定 的收敛性.解 注意到 与 皆为几何级数，其公比分别为 与 ，由例4可知 与 皆收敛，且由性质2可知 收敛，且其和为 .性质3 在 中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级数的收敛性相同.证
4、在 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.性质3表明，级数 的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的 的状况.例6 判定 的收敛性.解 级数 为等比级数，公比 ，由性质3可知性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.证 若 收敛.任意添括号得到一个新级数，如第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于 ，所以 .因此即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如 (11)+(11)+(11)+收敛于0，但是去括号
5、后可得新级数为发散级数.(1)若 收敛，发散，则 必定发散.(2)若 发散，也发散，则 不一定发散.(3)若 发散，则 与 不一定都发散.(4)若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.(5)若 发散，则添括号的新级数不一定发散.以下命题请给出证明或反例.性质5(级数收敛的必要条件)若 收敛，则必有证 这只需注意 .由于 收敛，因此 .有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.由极限的运算可知例7 判定级数 的收敛.解 添括号得到新级数：取其前n项(每个括号内算一项)，记其和为 ，则可见 ，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.级数称为调和级数.调和级数 的一般项 ，它满足 但 不收敛.利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：若 或 不存在，则 必定发散.这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.例8 判定级数 的收敛性.解 所给级数的通项 ，可知 为发散级数.例9 选择题设级数 为收敛级数，则下列级数收敛的有()分析 由级数的基本性质1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质3可知C，D也收敛.综合之，本例应选A，C，D.由于 收敛，由性质4(级数收敛的必要条件)可知 ，因此 .由级数发散的充分条件可知 发散.即B不收敛.