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1、第一节第一节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质一、一、两个实例两个实例二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质一一 两个实例两个实例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体的概念）曲顶柱体的概念 底为底为xOy面上的有界闭区面上的有界闭区域域D，其侧面是以，其侧面是以D的边界为的边界为准线，而母线平行于准线，而母线平行于z轴的柱轴的柱面，它的顶是曲面面，它的顶是曲面 ，这里这里 且在且在D上连续。上连续。DxyZO其体积如何计算？其体积如何计算？DxyZO（2）体积的计算）体积的计算 分割分割 将区域将区域D任意分割任意分割成成n个小区域，它们的面
2、积分别个小区域，它们的面积分别记作记作 ，该曲顶柱体被分割成该曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体，体积分别记为个小曲顶柱体，体积分别记为ViVi，（，（i=1i=1，2 2，）。如图。）。如图。近似近似 在在 上任取一上任取一点点 当当 很小时，可以近很小时，可以近似地用一个平顶柱体的体积代替似地用一个平顶柱体的体积代替相应小曲顶柱体的体积，如图。相应小曲顶柱体的体积，如图。从而有从而有 求和求和 将这将这n个小平顶柱体的体积加起来，个小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积的近似值，即就得到曲顶柱体体积的近似值，即 取极限取极限 记记d=n个小区间中直径的最大者个小区间中直径的最大者，并令并令
3、n0，必有，必有2 非均匀分布的平面薄片的质量非均匀分布的平面薄片的质量 设质量非均匀分布的平面薄片占有设质量非均匀分布的平面薄片占有xOy平面上平面上的有界闭区域，在点的有界闭区域，在点(x,y)处的面密度为处的面密度为 ，它是它是D上的连续正值函数，求此薄片质量。上的连续正值函数，求此薄片质量。我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。OxyD 分割分割 将区域将区域D任意划分任意划分为为n个小区域，个小区域，用用 表示第表示第 个小区域的面积，个小区域的面积，这样，平面这样，平面薄板被分割成薄板被分割成n个小薄板。个小薄板。近似近似 当当 很小时，很
4、小时，可近似地将其看作质量均匀分可近似地将其看作质量均匀分布，因而可用质量均匀分布的布，因而可用质量均匀分布的值作其质量的近似值。值作其质量的近似值。于是在于是在 上任取一点上任取一点 ，可得质量可得质量 的近似值：的近似值：求和求和 将所得的将所得的n个数值相加，就得到这个数值相加，就得到这个平面薄板质量的近似值：个平面薄板质量的近似值：取极限取极限 记记d=n个小区域中的直径最大者个小区域中的直径最大者，并令，并令d0，取上述和的极限，即得此平面薄，取上述和的极限，即得此平面薄片的质量：片的质量：以上两问题的性质虽然不同，但我们发现处理以上两问题的性质虽然不同，但我们发现处理这两个问题时所
5、用的方法是一样的。实际中还有很这两个问题时所用的方法是一样的。实际中还有很多问题的处理方法也与它们相同，抛开它们的实际多问题的处理方法也与它们相同，抛开它们的实际意义，可以抽象出二重积分的概念。意义，可以抽象出二重积分的概念。二 二重积分的定义1 定义定义设函数设函数 在有界闭区域在有界闭区域D上连续，上连续，.将区域将区域D任意划分为任意划分为n个小区域：个小区域：其中其中 也同时表示第个小区域的面积。也同时表示第个小区域的面积。.在在 上任取一点上任取一点 作积作积 .求和求和 .求极限求极限其中其中d=n个小区域中的直径最大者个小区域中的直径最大者 若上述极限存在，则称其为函数若上述极限
6、存在，则称其为函数 在在区域区域D上的上的二重积分二重积分，记作，记作 即即函数函数 称为称为被积函数被积函数，称为称为积分变量积分变量，D称为称为积分区域积分区域，称为称为面积元素面积元素或或积分元素积分元素，称为称为被积表达式被积表达式。在此定义下，我们有在此定义下，我们有 （1）曲顶柱体的体积和非均匀分布的薄板质曲顶柱体的体积和非均匀分布的薄板质量为量为 （2）二重积分二重积分 只和被积函数只和被积函数 及积分区域及积分区域D有关系，与积分区域如何划有关系，与积分区域如何划分及点分及点 的取法无关，也与积分变量的取法无关，也与积分变量 用何用何字母表示无关。字母表示无关。（3）若被积函数
7、）若被积函数 在区域在区域D上连续，上连续，则二重积分则二重积分 必存在。必存在。2 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当函数当函数 时，二重积分时，二重积分 表示表示曲顶柱体的体积；曲顶柱体的体积；当函数当函数 时，二重积分时，二重积分 表示表示曲顶柱体的体积的相反数，即为负值；曲顶柱体的体积的相反数，即为负值；当函数当函数 在在D上有正有负时，二重积分上有正有负时，二重积分 表示表示xOy面上放的曲顶柱体体积之和减面上放的曲顶柱体体积之和减去去xOy面下方的曲顶柱体体积之和。面下方的曲顶柱体体积之和。三 二重积分的性质性质性质1 性质性质2 性质性质4S表示区域表示区域D的面积的面积性质性质3其中其中D=D1+D2性质性质6 其中其中m，M分别为被积函数分别为被积函数 在在D上的最小和上的最小和最大值，最大值，S为为D的面积。的面积。性质性质7 7（积分中值定理积分中值定理）设函数设函数 在有界在有界闭区域闭区域 D D上连续，上连续，S S为为D D的面积，则在的面积，则在D D上至少存在上至少存在一点一点 ，使得，使得性质性质5 若在区域若在区域D上有上有 则有则有