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1、第一节第一节 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义 解解一、问题的提出一、问题的提出含有自变量，未知函数以及未知函数的导数或微含有自变量，未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫分的方程叫微分方程微分方程.例如例如实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程微分方程:未知函数是一元的，称为未知函数是一元的，称为常微分方程常微分方程，未知函数是多元的，称为未知函数是多元的，称为偏微分方程偏微分方
2、程，微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的导数或微分的导数或微分的最高阶数最高阶数称为称为微分方程的阶数微分方程的阶数；一阶一阶二阶二阶n阶阶一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：高阶高阶(n)微分方程的一般形式：微分方程的一般形式：线性与非线性微分方程：线性与非线性微分方程：单个微分方程与微分方程组：单个微分方程与微分方程组：线性线性非线性非线性若方程中未知函数及其导数都是若方程中未知函数及其导数都是一次一次的，的，则称为则称为线性微分方程线性微分方程微分方程的解微分方程的解:微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:若微分方程的解中包含的若微分方
3、程的解中包含的独立的独立的任意任意 常数常数个数个数与微分方程的与微分方程的阶数阶数相同，此解称为相同，此解称为方程方程的通解的通解。代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该方程的解该方程的解.(2)(2)特解特解:依所给条件确定通解中任意常数依所给条件确定通解中任意常数以后的解称为方程的特解以后的解称为方程的特解.定解条件定解条件:用来确定通解中任意常数的条件用来确定通解中任意常数的条件.见例一见例一 常见的定解条件为常见的定解条件为初值条件初值条件如一阶如一阶如二阶如二阶一阶一阶:二阶二阶:解的图象解的图象:微分方程的特解的几何图形是一条微分方程的特解的几何图形是一条平面曲线，通常称为平面曲线，通常称为积分曲线积分曲线，而通解表示一，而通解表示一族曲线，称为族曲线，称为积分曲线族积分曲线族。解解所求特解为所求特解为